善用舊知·遷移新知·溝通關系·內化技能

曾慶欣

六年級上學期數學教學的重頭戲是分數乘除法的解決問題。分數除法的解決問題歷來是老師教學的難點，更是學生學習的難點。由于理解困難，學生往往靠記憶題型來解決問題，又或者有部分老師，在教學伊始就直接告知學生：“求比較量，用乘法;求”單位1”，用除法”的方法。這就失去了這種題型教學培養學生解決實際問題能力的作用。

本學期，筆者第一次執教六年級，毫無教學經驗可言。而筆者又承擔了執教《解決問題（“已知一個數的幾分之幾是多少求這個數”）》這一內容的研究課教學任務。當時接到這節課任務的時候，筆者就開始犯難：究竟這節課的教學重難點是什么？如何去定位？查看網上的一些資料，這節課的課題按以前來說，應該叫“簡單的分數除法應用題”。那是否只要學生判斷出單位“1”已知，用乘法算;單位“1”未知，用除法算？又或者直接告訴學生，用“具體量÷對應的分率=單位“1””這個公式，讓學生運用公式去解決問題就可以了呢？而至于為什么求“單位1”就可以用除法算？估計大部分學生是說不出原因的。可是，我翻看了一下教科書和教學用書，都只是呈現了列方程的方法，而一點都沒有提到可以用除法計算。難道，筆者的教學里面，也只能呈現這種方法嗎？……

第一次試教的時候，筆者把分析關鍵句、找“單位1”作為重點，然后再通過例題的分析數量關系與舊知進行比較，從而掌握解決“已知一個數的幾分之幾是多少求這個數”的實際問題”的方法。

【教學設計1】

一、談話激趣，復習鋪墊

1.下列各題中，應該把哪個量看做單位“1”？并找出題中的數量關系。

（1）爸爸的體重的是小軍的體重。

爸爸的體重×=小軍的體重。

（2）故事書的本數占圖書總數的。

（3）圖書總數×=故事書的本數。

2.師生交流

例題信息：根據測定，成人體內的水分約占體重的，兒童體內的水分約占體重的。

3.復習舊知

師：老師知道我們班的***體重就是35千克，你們能幫他算出他體內水分的質量嗎？請同學們分析好數量關系，并列式解答。

（學生獨立解答后匯報）

師：你是怎樣算的？為什么用乘法算？你們在解決“小明體內水分質量”的時候，是把誰看做“單位1”？

電腦顯示：兒童體內的水分約占體重的

？kg ? ? ? ? 單位“1”

生回答后出示：兒童的體重× =兒童體內水分的重量

35×=28（千克）

其實，我們還可以通過線段圖表示人體內水分與體重之間的關系。

兒童體內的水分約占體重的【交互式】

？kg ? ? ? ? 單位“1”35

兒童的體重×=兒童體內水分的重量

師：奇怪了，你們為什么不乘“”呢？

小結：是的，我們必須根據問題選擇相關的信息去解決問題，特別在解決分數應用題的時候，一定要找準“單位1”。而我們在解決有關分數問題的時候，一般有三種方法：第一，借助有分率的句子找出單位“1”和所求數量，然后得出此題的數量關系;第二，可以借助線段圖清楚表達單位“1”和所求數量之間的關系;有了這兩種方法為基礎，我們搭建解題的數量關系式就輕而易舉了。

4.揭示課題

二、引導探究，解決問題

1.課件出示例題

根據測定，成人體內的水分約占體重的，兒童體內的水分約占體重的。小明體內有28kg水分。小明重多少千克？

2.合作探究

獨立思考，理清關系。

師：請選擇一種喜歡的分析數量關系的方法，先分析好數量關系，會畫線段圖的，也可以畫上線段圖幫助自己理解，再列式計算。

3.學生匯報

【展示學生作品，板書】

方程法與算數法

師：因為除法是乘法的逆運算，所以，根據乘除法之間的關系，我們除了可以用方程解決以外，還可以直接用除法來計算。

4.回顧與反思。

（1）如何檢驗結果是否合理？

（2）題目里面還有“成人體內的水分約占體重的”這一信息，有用上嗎？為什么？

小結：有時候題目中出現的信息比較多，但并不是所有信息都是解決問題所需要的，我們要善于通過思考和分析，根據問題篩選出有用的信息來解決問題。

（3）方法對比。【同時出示兩個線段圖】

①和前面復習題進行比較一下，看看這題和復習題有什么相同的地方？

②這題和復習題有什么不相同的地方？

強調：解決分數乘除法，關鍵是分析分率句。【PPT強調】

三、看書質疑（P37）

四、 聯系實際，鞏固提高

一節課下來以后，從復習、新知再到對比反思，用時已經超過25分鐘，比較的費時。而且，在教學的過程中，老師強調了分析數量關系，列了乘法的數量關系式，但又允許學生既可以用列方程的方法，也可以用除法去解決問題。學生例題似乎很懂，但在練習環節，感覺學生就無所適從。學生在做練習的時候，不知該用乘法還是用除法：有人寫了乘法關系式，可是又很想用除法算，因為除法書寫簡便，能俘虜學生們的心，最終把乘法數量關系式擦走，硬寫了個毫無意義的除法關系式，甚至有些學生直接列了乘法算式……感覺就是學生原來心里好像挺清楚明白的東西，最終，變得很混亂很模糊，所以這節課的教學效果……費時而凌亂，極其低效。

為什么會這樣呢（Why）？幾許反思，找出幾點原因：（1）在復習的時候，老師復習了求一個數的幾分之幾用乘法計算，而在探究新知的時候，老師沒有強調運用的是同一個數量關系，只要求學生用自己喜歡的方法嘗試做題。而最后老師只是簡單地小結“因為除法是乘法的逆運算，所以，根據乘除法之間的關系，我們除了可以用方程解決以外，還可以直接用除法來計算。”也就是說，學生還沒能真正掌握好一種方法，而老師又允許可用兩種方法去解決，因此，學生的思緒還是呈現了混亂、左右為難的狀態。（2）老師沒有考慮到，部分學生能用除法直接列式，個別有可能是暑假期間在校外機構有學習過的，已經掌握方法的，但不明確其掌握方法的途徑，學生在掌握方法之前，是否有經歷探究方法的過程。為什么可直接用除法列式，學生們都是很茫然的。（3）老師的目標還不夠明確：究竟只需學生懂得掌握方法去解決問題，還是讓全部學生都經歷探討結論的過程，最后再運用方法解決問題呢？（4）書本例題，只呈現用方程去解決，而沒有出現用除法，一定有其原因。也就是說，用方程解決的方法，應該是所有學生都應該掌握的方法，老師在設計教學設計的時候，就應該尊重教材，讀懂編者的意圖。

究竟怎樣修改才會更合理呢（How）？該怎么處理好乘和除的關系，不會讓學生有糾結的感覺呢？“具體量÷對應的分率=單位“1””這一公式，這節課是否需要告訴學生呢？根據學生的心理認知特點，要讓學生要知其然也要知其所以然，有了充分認識才能內化為自己所掌握的技能。

因此，筆者對教學設計重新進行定位，“善用舊知”，以舊有的分析數量關系方法分析數量關系;“遷移新知”，在原有分數乘法的知識基礎上寫出數量關系式;“溝通關系”，在得出數量關系式的基礎上，用列方程解決“單位1”不知道的問題，并以列方程教學為主;“內化技能”，在列方程已經掌握相對熟練和有充分感知的情況下，再根據乘除法之間的關系，滲透“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數可以用除法來計算”。經過反復的思考和修改，最終確定第二份教學設計。

【教學設計2】

一、復習舊知，回顧方法

1.激趣引入

由“水潤”一詞引入人體內的水分占體重的幾分之幾的話題PPT出示：

①根據測定，成人體內的水分約占體重的，②兒童體內的水分約占體重的。

2.復習分數乘法應用問題的分析方法與數量關系

（1）解決“多余信息”。（例4的其中一個知識點前移）

師：如果知道小明的體重是35千克，你們能幫他算出他體內水分的質量嗎？是不是這兩個信息都用上呢？為什么？

小結：是的，我們在解決問題的時候，要根據問題選擇相關有用的信息。

整理信息與問題，板書：

小明的體重是35千克，兒童體內的水分約占體重的。小明體內的水分重多少千克？

（2）復習分析數量關系的方法。

學生分析關鍵句，畫線段圖，寫數量關系式并列式解答。

強調：根據分數乘法的意義寫出數量關系式和列式。

板書：分數乘法的意義：求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算。

二、學習新知，遷移方法

1.調整復習題的條件與問題，引出例4，揭示課題

2.解決問題

（1）復習解決問題的步驟。

（2）閱讀與理解。

你知道了什么？與剛才的復習題比較，什么變了？什么沒變？

（3）分析與解答。

關鍵句沒有改變，意味著什么？（解題的思路與分析數量關系的方法應該也不變，線段圖等不需要重新畫）條件和問題改變了，那在原來的基礎上怎么改一改就行呢？請大家想一想，說一說。

（學生到黑板上修改）

關鍵句：兒童體內的水分約占體重的

線段圖：

關系式：小明的體重×=小明體內水分的質量

35 ? ? ? ? ? ? ? ? ？

？ ? ? ? ? ? ? ? ?28

師：體重不知道，怎么辦？可以怎樣解決呢？

學生嘗試列式計算

匯報提問：為什么列方程？用除法計算，你根據的是什么？（要緊扣數量關系式）

（4）回顧與反思

師：回顧與反思環節需要我們做些什么？

PPT出示：檢查審題與解題方法是否正確。

檢驗計算結果是否合理、正確。

回顧解題過程，總結解題的思路與方法。

學生檢驗計算結果。

回顧解題過程，通過對比總結解題的思路與方法。

①這一道題是怎樣從復習題變過來的呢？它整一個解題的思路與步驟跟復習題相比較，有什么相同的地方？

小結：解決問題仍然是用我們已經熟悉的方法來分析數量關系，仍然是根據分數乘法的意義列出乘法的數量關系式進行解答。

②為什么復習題列乘法算式，而這一題卻列方程或除法呢？

3.看書質疑

三、鞏固練習，運用方法

師：既然列方程的方法是順著來思考的，那么我們先鞏固列方程的方法，好嗎？

1.練習八第1題

我國幅員遼闊，東西相距5200km，東西距離是南北的。南北相距多少千米？

強調：根據乘法的意義列出等量關系式。若有學生用除法列式，要強調依據的也是乘法的等量關系式。

2.練習八第4題：求圖書館共有多少本書？

強調：應根據問題選擇相關有用的信息去解決問題。

3.按要求選擇合適的條件與問題

640 ? ? ? ? ？

？ ? ? ? ? 240

【設計意圖：強調學生要緊扣關鍵句，得出數量關系式。當全校人數知道，求女生人數時，用乘法計算;當女生人數已知，求全校人數的時候，就列方程來解決了】

4.選一選

【設計意圖：既復習了依據“總長×3/7=已修的長度”這個數量關系式得出列方程解決的方法;同時結合線段圖比較直觀地引出：具體量÷對應的分率=單位“1”的量 這種較簡單的解決問題方法 】

5.填空：（ ? ）的是60

你是怎樣算的？為什么用除法來計算呢？（結合關系式“（ ? ）×=60”）

也就是說，已知“一個數”的幾分之幾是多少，求原來這個數，可以直接用除法來計算。

6.PPT出示：

今天我們學習的例題與做的這幾道練習，都是已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，都可以用列乘法方程或列除法算式的方法來解決，依據都是分數乘法的意義。

四、總結反思，強調方法

“善用舊知、遷移新知、溝通關系、內化技能”。通過反思和改進，學生在分數乘法這一舊知的基礎上，通過分析數量關系，先理解并掌握了用方程解決“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”這一問題的方法，再通過一系列的對比、對應及變式練習，能讓學生在充分的認識和理解以后，感受到，除法是乘法的逆運算，在解決“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”這一類型的問題時，還可以用“具體量÷對應的分率=單位“1””這一較簡單方法來解決。數學教學強調教會學生善于選取優化方法去解決問題，相信學生們也更樂于選擇此方法去解決問題。有質量的教學，不光只體現在學生會運用方法，更重要的是讓學生經歷和探討結論的過程。在“知其然也知其所以然”的基礎上掌握了一種更優化的方法，何樂而不為呢？