貝葉斯公式的一些應用

彭峰集

摘 要：貝葉斯公式是概率論與數理統計中一個非常重要的定理，它是一種非常重要的統計推斷方法。本文主要討論貝葉斯公式的一些簡單應用。

關鍵詞：貝葉斯公式; 統計推斷; 全概率公式

中圖分類號：O211 ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1006-3315（2020）8-123-001

貝葉斯公式是概率論與數理統計課程中一個非常重要的定理。貝葉斯公式又被稱為貝葉斯定理或者貝葉斯規則，它是概率統計中應用所觀察到的現象對有關概率分布的主觀判斷進行修正的標準方法[1]。

貝葉斯公式是由英國數學家和數理統計學家托馬斯·貝葉斯于18世紀提出來的。貝葉斯在數學方面的主要研究是概率論。他首先將歸納推理法用于概率論的基礎理論研究，并創立了貝葉斯統計理論。他對于統計決策函數、統計推斷、統計的估算等方面做出了非常大的貢獻。他對統計推理的主要貢獻是使用了“逆概率”這個概念，并把它作為一種普遍的推理方法提出來，這就是概率統計中的貝葉斯公式，也稱為逆概公式[2]。貝葉斯公式與其他統計學推斷方法的一個明顯的不同之處在于，它是建立在主觀判斷的基礎之上的。

一、貝葉斯公式的內容

貝葉斯公式要用到乘法公式和全概率公式，它是乘法公式和全概率公式的綜合運用，它以乘法公式為基礎，可以看成全概率公式的逆，所以很多時候我們把貝葉斯公式也叫做“逆概公式”。

設事件A1，A2，…An是樣本空間[Ω]的一個劃分，即他們滿足

AiAj=[?] （i[≠]j）;[Uni=1]Ai=[Ω]

且P（Ai）[>]0（i=1，2，…n），B為樣本空間[Ω]中的任意一個事件且P（B）[>0]，則

P（[AK] B）=[P（AkB）P（B）]=[P（Ak）P（BAk）i=1nP（Ai）P（BAi）] ，（k=1，2，…，n）

這個公式就是貝葉斯公式，也稱為逆概公式。

從直觀上來說，貝葉斯公式表明，當已知事件B已經發生的條件下，并且我們知道導致事件B發生有下列n個原因：A1，A2，…An。此時，我們可以反過來推斷每個原因Ak導致它發生的概率P（[AK] B），（k=1，2，…，n）。

二、貝葉斯公式的應用

貝葉斯公式在實際生產和生活中有很多的應用。當今社會飛速發展，市場競爭日趨激烈，生產商和營銷商必須通過市場的現狀和以往的情況，對市場的下一步發展做出合理的推斷，對公司的發展給出英明的決策。這個時候，貝葉斯公式是進行決策分析的一個重要工具了，它主要用來處理先驗概率和后驗概率。另外，在醫學判斷、信號處理和其他一些不確定性問題等方面，貝葉斯公式也有很多作用。我們通過下面的例子來說明貝葉斯公式的一些實際應用。

例1：某電信公司將兩個信息分別編碼為“+”和“-”傳送出去，接收站收到時，“+”被誤收作“-”的概率為0.02，而“-”被誤收作“+”的概率為0.01，信息“+”和信息“-”傳送的頻繁程度為2：1。若接收站收到的信息是“+”，問該公司原始發出的信息確實是“+”的概率是多少？

解：設A1={發出信號“+”}，A2={發出信號“-”}，B={接收信號“+”}，本題要求的是P（[A1] B）。由題意可知，

P（A1）=[23]，P（A2）=[13]，P（[B] A1）=0.98，P（[B] A2）=0.01。

由全概率公式可知，

P（B）=P（A1）P（[B] A1）+P（A2）P（B/A2）=[23][×]0.98+[13][×]0.01=[197300]。

再由貝葉斯公式可知，

P（[A1] B）=[P（A1B）P（B）]=[P（A1）P（BA1）P（B）]=[23×0.98197300]=[196197]。

這樣，我們可以看出若接收站收到的信息是“+”，則該公司原始發出的信息確實是“+”的概率是[196197]，這說明這個信號是可信的。

在實際應用中，貝葉斯公式和全概率公式經常聯系在一起進行統計推斷。貝葉斯公式通過已經發生的事件來反過來推斷導致其發生的各種原因的出現的概率，這種推斷方式在實際生活中有很多的用處，值得我們進行深入的探討和學習。

參考文獻：

[1]概率論與數理統計，浙江大學，高等教育出版社，2008

[2]概率論與數理統計，中山大學數學系，高等教育出版社，1988