淺析導數的概念及其應用

摘 要：本節探討一元函數的導數的概念，引導學生思考如何用數學的語言精確地研究函數的相對變化率問題，進一步地分析導數在不同專業和背景問題下的實際應用。

關鍵詞：變化率; 瞬時速度; 切線斜率

中圖分類號：0172 ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1006-3315（2020）8-125-001

高等數學是大學新生普遍會開設的一門數學基礎課，其對學生其他數學專業課程的學習起著重要的基礎作用。然而，較強的邏輯推導和繁雜的公式讓許多學生望而生畏。如何在數學課程的教學中將理論知識與實際應用緊密結合起來[1]，這在高等數學課程的教與學中是一個值得探討的問題。

在高等數學第一章中，我們介紹了函數連續的概念以及性質[2]。函數的連續性體現在某一點處對函數絕對改變量的分析。但是在很多理論和實際問題中，例如如何求解變速運動的瞬時速度等問題中僅僅知道絕對改變量的分析是不夠的，如何研究相對改變量呢？這就是本節探討的問題。

一、變速直線運動中的瞬時速度

講解著名物理學家牛頓的故事。結合引例的分析引導學生思考如何從求平均速度到求質點在某一點的瞬時速度。思考如何利用極限的思想，從計算平均速度的公式出發，通過求極限來推導出瞬時速度。

引例1：設某質點沿直線作變速運動，在時刻t的位置s=f（t）。如何描述質點在變速直線運動中的瞬時速度？

分析：引導學生思考在已知（t0，t0+△t）內的平均速度后，如何求在t0的瞬時速度。即瞬時速度是平均速度的極限形式：

v=[lim△t→0][f（t+△t）-f（t）△t]=[limt→t0][f（t）-f（t0）t-t0]

二、切線的斜率

講解著名數學家萊布尼茲的故事，了解牛頓與萊布尼茲如何殊途同歸，分別從物理和幾何兩個方面給出了導數的基本定義。讓學生體會“以直代曲”這種將復雜問題轉化成我們已知的簡單問題的一種基本方法。

引例2：設光滑曲線C：y=f（x），M（x0，y0）是曲線C上的一點，如何定義C在M的切線？

分析：

*割線MN的斜率

*切線MT的斜率

k=tai

三、導數的定義

在前面分別從物理中的瞬時速度和幾何中切線斜率兩個方面計算導數的基礎上，給出導數的基本定義。

定義1：設函數y=f（x）在U（x0）內有定義，若[lim△x→0][△y△x]=[limx→x0][f（x）-f（x0）x-x0]存在，則稱函數f（x）在點x0處可導，此極限為y=f（x）在點x0的導數，記[dydx]x=x0或f（x0）。

在這一過程中要求引導同學們理解變速直線運動的瞬時速度以及切線的斜率這兩個導數的具體例子，將極限、“以直代曲”等基本思想貫穿始終[3]。

四、導數的計算

引入了導數的概念后，如何計算導數就成一個教學的難點問題。主要分為三個步驟：第一步是計算函數的增量，注意增量可正可負。函數值的增量為：△y=f（x+△x）-f（x）;接下來求解函數的增量比：[△y△x][=f（x+△x）-f（x）△x];最后通過極限的計算求解函數的瞬時變化率：f'（x）=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][f（x+△x）-f（x）△x]。

通過具體例子讓學生熟練掌握用導數的定義來計算導數的基本方法。

例1 求函數y=ex在x=0處的導數。

解：首先求解函數的增量△y=f（0+△x）-f（0）=e0+△x-e0，然后計算函數的增量比值：[△y△x]=[e△x-1△x]，最后求解增量比值的極限：

[y']x=0=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][e△x-1△x]=1。

本節段采用特殊到一般的方式展開對難點的分析，學會判斷函數在某點的導數是否存在，接下來才能使用求導的一些公式來進行求解。特別強調如果直接用求導公式，實際上是已經假定了函數的導數是存在的，這就會犯本末倒置的錯誤。

五、總結與拓展

本節探討了一元函數的導數。引導學生理解在理論和實際中有著廣泛應用的導數的概念。結合實例啟發學生深刻理解導數的概念：從變速直線運動的速度以及切線的斜率兩個方面歸納出導數的定義，結合幾何知識讓學生體會微積分中經常用到的“以直代曲”的數學思想。通過科學家的人物介紹培養學生的數學素養，在數學專業的學習中注入人文思想[4]。

參考文獻：

[1]左玲.淺談人工智能時代的工科數學教育，考試周刊，1673-8918，2018

[2]高等數學，第七版上冊，同濟大學數學系，高等教育出版社，2018

[3]Joel Hass，Christopher Heil，Calculus，Pearson，2003

[4]Richard Courant，Fritz Jo，Introduction to Calculus and Analysis，Springer，2008