數(shù)學(xué)讓環(huán)形公交更暢通

王 莉

1 問(wèn)題提出

泰安因五岳之首泰山聞名于世，近幾年每年接待游客約5000 萬(wàn)人次，為滿足游客需求和方便居民出行，泰安市公交公司開(kāi)辟了K39 路環(huán)形公交路線。該路線連接著泰安市中心與東部新區(qū)，由泰山火車(chē)站出發(fā)，途徑岱廟、天外村、紅門(mén)、方特歡樂(lè)世界等旅游景點(diǎn)，以及泰安一中、山東服裝職業(yè)學(xué)院、泰山職業(yè)技術(shù)學(xué)院三所學(xué)校，共計(jì)43 站。

存在問(wèn)題：由于路線較長(zhǎng)，站點(diǎn)較多，市區(qū)交通阻塞，等車(chē)時(shí)間時(shí)長(zhǎng)時(shí)短，到站速度也是時(shí)快時(shí)慢，高峰時(shí)段車(chē)輛超載率高，乘客舒適度較差，反映強(qiáng)烈。

K39 是單車(chē)場(chǎng)環(huán)形運(yùn)行，是不是調(diào)度上存在不合理因素？如何既能保證公交公司的經(jīng)濟(jì)利益，又能增加乘客的滿意度呢？

2 問(wèn)題分析

本問(wèn)題要求設(shè)計(jì)一個(gè)環(huán)形公交車(chē)調(diào)度表，要同時(shí)考慮到完善城市交通環(huán)境、改進(jìn)乘客出行狀況、提高公交公司的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益等諸多因素。如果僅考慮提高公交公司的經(jīng)濟(jì)效益，則只要提高公交車(chē)的滿載率，如果僅考慮方便乘客出行，只要增加車(chē)輛的次數(shù)。顯然這兩種方案是對(duì)立的。所以需要在這幾個(gè)因素中找出一個(gè)合理的匹配關(guān)系，使得雙方的滿意度達(dá)到最高。

3 問(wèn)題調(diào)查

首先要對(duì)K39 路車(chē)客流情況進(jìn)行調(diào)查，收集數(shù)據(jù)。基礎(chǔ)數(shù)據(jù)有：線路總長(zhǎng)：42×500 ≈21000 米，對(duì) 環(huán) 形 路 線，運(yùn) 行 時(shí) 間 即 周 轉(zhuǎn) 時(shí) 間：21000÷333 ≈64 分鐘（時(shí)速按20KM/H），首末站停車(chē)時(shí)間：平峰期間首末站平均停站時(shí)間t=0.21tn(10 ≤tn≤100)min。則有：t=0.21×64 ≈14min。調(diào)查方法采用票據(jù)法和隨車(chē)調(diào)查相結(jié)合。調(diào)查情況見(jiàn)附件。

4 提出假設(shè)

（1）交通情況、路面狀況良好，無(wú)交通堵塞和車(chē)輛損壞等意外情況。

（2）全程為單一票價(jià)。

（3）線路上的公交車(chē)為同一型號(hào),核定載客量為50 人。

（4）單位時(shí)間內(nèi)的上下客車(chē)人數(shù)服從均勻分布。

（5）始末車(chē)站乘客數(shù)不重復(fù)計(jì)算。

（6）為了便于敘述，本文把公交車(chē)運(yùn)營(yíng)時(shí)間6：00 ～18：00 分為12 個(gè)時(shí)間段，分別為1，2，...，12。

5 模型建立與解決

根據(jù)問(wèn)題分析，環(huán)形運(yùn)行方式為單車(chē)場(chǎng)的單車(chē)型運(yùn)行問(wèn)題的多目標(biāo)優(yōu)化模型。我們?cè)谠O(shè)計(jì)調(diào)度表時(shí)，應(yīng)該考慮此表帶給公交公司和乘客兩方的利益，即公交公司和乘客對(duì)應(yīng)的日平均滿意度mg 和mc，各時(shí)段的滿意度mgj和mcj，我們對(duì)影響各自滿意度的因素做分析。

1）各時(shí)段的最大客容量，建立模型如下。

其中，ajk為第j 時(shí)間段第k 站的上車(chē)人數(shù)，bjk為第j時(shí)間段第k 站的下車(chē)人數(shù)。

運(yùn)用模型和調(diào)查統(tǒng)計(jì)的上下乘客數(shù)，算出各個(gè)時(shí)間段內(nèi)最大客容量。

2） 各個(gè)時(shí)段的發(fā)車(chē)次：由于公交車(chē)每輛標(biāo)準(zhǔn)載客50 人，車(chē)輛滿載率在60%～120%之間，當(dāng)zj 接近60 人，由模型。

可以計(jì)算出各時(shí)間段的發(fā)車(chē)次數(shù)cj，公交公司要滿足最遲不超過(guò)15 分鐘發(fā)一趟車(chē)，于是發(fā)車(chē)車(chē)次依次如下：7，9，8，6，6，7，6，7，5，5，9，8。

3）發(fā)車(chē)時(shí)間間隔：取每個(gè)時(shí)段60 除以車(chē)次數(shù)，得到該時(shí)段的平均發(fā)車(chē)時(shí)間間隔：sj=60/cj分鐘，依次如下。

8.6，6.7，7.5，10，10，8.6，10，8.6，10，10，6.7，7.5。

為滿足公交車(chē)載完每一段的乘客，綜合1-3 的計(jì)算，得出了該工作日內(nèi)的公交車(chē)應(yīng)按如下方案調(diào)度。

4） 公交公司滿意度：公交公司的滿意度取決于公交車(chē)的平均載客量，公交車(chē)平均載客量越多，公交公司發(fā)車(chē)車(chē)次就少，對(duì)公交公司利益就大。在乘客源一定的情況下，影響mgj的主要因素是車(chē)上的乘客數(shù)即載客量zj，其中，一般情況下30 ≤zj≤60 。我們?nèi)「鱾€(gè)時(shí)段的平均載客量zj的滿意度

5）乘客滿意度：對(duì)于乘客，影響mcj的主要因素是乘客的等車(chē)時(shí)間tj與車(chē)上的平均載客量zj。設(shè)mctj，mczj分別是各時(shí)段乘客因tj與zj的影響而產(chǎn)生的滿意度，則mcj即 可 以 表 示 為：mcj=(mctj，mczj)A 其 中，A 是 關(guān) 于因素tj與zj的權(quán)重集。

考慮到，對(duì)于乘客，mctj，mczj對(duì)mcj的影響不是相等的，車(chē)輛的滿載率達(dá)120%時(shí)，超載的20%由于缺少座位，注重舒適度的影響大于等待時(shí)間的影響；當(dāng)滿載率小于100%時(shí)，乘客因?yàn)橛凶瑹o(wú)需過(guò)分考慮舒適，更多的是考慮等車(chē)時(shí)間的影響。

表1 各個(gè)時(shí)間段內(nèi)最大客容量

表2 該工作日內(nèi)公交車(chē)的調(diào)度方案

由每時(shí)段的乘客滿意度mcj，每時(shí)段的乘客最大客容量lj，一天最大客容量人數(shù)為可以算出乘客平均日滿意度為各時(shí)段的滿意度的加權(quán)平均值。

（6）合理調(diào)度情況分析。

對(duì)于公交公司，當(dāng)滿載60 人時(shí)公交公司最滿意，人數(shù)越少，滿意度越來(lái)越低。對(duì)于乘客，可知當(dāng)?shù)溶?chē)時(shí)間不超過(guò)5 分鐘，車(chē)輛滿載率不超過(guò)100%時(shí)，乘客滿意度為1，隨著等待時(shí)間增加和車(chē)載率的上升，乘客滿意度會(huì)逐漸下降。我們?nèi)‘?dāng)公交車(chē)平均載客人數(shù)分別為60 人，50 人，30 人時(shí)作分析。

（1） 當(dāng) zj→60 人， 則 乘 客 日 均 滿 意 度 mg1=乘客的滿意度mc1=0.7103。

（2）當(dāng)zj→50 人時(shí)，公交公司滿意度mg1=0.8326,乘客的滿意度為mcj=0.9278。

（3） 當(dāng)zj→30 人時(shí) ，此時(shí)公交公司的利益達(dá)到最小，相應(yīng)的乘客滿意度會(huì)變大，公交公司滿意度mg1=0.3907, 乘客滿意度mc1=0.9813。

a、根據(jù)公交公司的滿意度和乘客的滿意度的對(duì)應(yīng)關(guān) 系，(0.9811，7103)(0.8326，0.9278)(0.39207，0.9813)，可以利用二次擬合得出公交公司和乘客的函數(shù)f(mg1)。

本題要求我們最大照顧到乘客和公交公司雙方的利益，這就要求R=mc1+mg1能盡可能取大，即滿足雙方的利益最大化；同時(shí)我們也要使得雙方滿意度的差不能太大，即W=|mc1-mg1|盡可能取小。于是我們建立目標(biāo)函數(shù)max=R-W=mc1+mg1-|mc1-mg1|，尋找出滿足雙方的滿意度之和最大同時(shí)滿足之差最小的最優(yōu)滿意度。聯(lián)系函數(shù)分析，求的乘客和公交公司雙方的匹配問(wèn)題的最優(yōu)滿意度為mc1=0.8576，mg1=0.85676。

根據(jù)4-6 的計(jì)算，由最優(yōu)滿意度設(shè)計(jì)K39 路環(huán)形公交調(diào)度方案。

6 分析總結(jié)

該模型從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，用常規(guī)方法做出的結(jié)果與實(shí)際情況較為統(tǒng)一。模型中涉及公交公司的滿意度和乘客的滿意度的擬合，為進(jìn)一步合理設(shè)計(jì)新的調(diào)度方案提供依據(jù)。

存在不足：統(tǒng)計(jì)天數(shù)少，致使調(diào)查數(shù)據(jù)缺乏代表性。另外，乘客數(shù)量因天氣、節(jié)假日等變動(dòng)較大，如下雨下雪天，乘客人數(shù)增加，周末職業(yè)學(xué)院學(xué)生出行較集中，節(jié)假日游客增多也會(huì)使得乘車(chē)人數(shù)增加等等。這些情況，需要公交公司要適時(shí)調(diào)整調(diào)度表。

表3 最優(yōu)滿意度的K39 路環(huán)形公交調(diào)度方案