學好數學需要掌握四大“法寶”

□孫志灤

前后知識聯系，學會融會貫通

數學是關于空間形式和數量關系的一門科學，具有抽象性、嚴謹性和應用廣泛性的特點。同時，教學是以培養學生的計算能力、邏輯思維能力和空間想象能力為宗旨。所以說，要想學好數學，必須用聯系的觀點、發展的觀點、辯證的觀點來看待理論和實際問題。一句話，我們在學習每一部分數學知識時，都應該和前后知識建立聯系，從中找到它們本質的關聯。我們以初一數學第三章“一元一次方程”為例，看似平淡無奇的“簡單方程”，其中蘊含著豐富的關聯要素。

現在以經典的“雞兔同籠”為例加以說明，看看如何用一題多解解決實際問題。對這個問題，可能有的學生會繼續采用小學的算術法（兩種），到了初中又有了一元一次方程和二元一次方程組的解法。

例題1：某農戶積極發展庭院養殖，家中的大鐵籠里面喂養了若干只雞和兔子。從上面數有20個頭，從下面數有56條腿，問該農戶實際飼養了多少只雞和多少只兔子？

（一）算術解法

將它們全部都當成雞。則應該有40條腿，現在有56條腿，多出來的16條腿就是兔子的。一只兔子比一只雞多2條腿，那么16條腿就對應8只兔子，于是雞有12只。

將它們全部當成兔。則應該有80條腿，現在有56條腿，少了24條腿，少的腿就是雞的。一只雞比一只兔子少2條腿，那么24條腿就對應12只雞。于是兔子有8只。

（二）一元一次方程解法

設有x只雞，則有20-x只兔子，由題意可得：

2x+4（20-x）=56，即2x=24 ，x=12。

所以有雞12只，有兔子8只。

（三）二元一次方程組解法

設有x只雞，有y只兔子，由題意，

計算可得，有12只雞和8只兔子。

掌握數學思想方法，靈活解決具體問題

數學思想方法是指對數學知識和方法形成的規律性認識，是解決數學問題的根本策略。數學思想方法揭示了概念、原理、規律的本質，是溝通基礎知識與數學能力的橋梁，是數學知識的重要組成部分。數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數學知識的發生、發展和應用的過程中。教師和家長要善于培養孩子學會靈活運用其解決問題，才能夠有效提高他們的解題能力。

在初中的數學學習過程中，最常用到的數學思想方法有：數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、整體思想、轉化思想等。家長在輔導孩子功課時，要注意其在課本和教輔的例題、習題中的體現。學生們只要掌握了它們的實質，就可以把所學的知識融會貫通，解題時觸類旁通。下面我以數形結合的思想方法為例加以說明。

數形結合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（以形助數）；或利用數量關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（以數解形）的一種數學思想。

例題2：（中考真題）如圖，直線y=k1x+b與雙曲線交于A（1，2）、B（m，-1）兩點。

（1）求直線和雙曲線的解析式；

（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）為雙曲線上的三點，且 x1＜x2＜0＜x3，請直接寫出 y1，y2，y3的大小關系式；

題意分析：本題屬于反比例函數與一次函數的問題。

（1）主要鍛煉學生的計算能力。只要將點A（1，2）代入雙曲線求出k2的值，再將B（m，-1）代入所得解析式求出m的值，最后用待定系數法求出k1x和b的值，可得兩函數解析式y=x+1。

（2）結合圖象，根據反比例函數的增減性在不同分支上進行探討。在第三象限內y隨x的增大而減小，故y2＜y1＜0，又y3是正數，故y3＞0，y2＜y1＜y3。

幾何解題變式訓練，培養學生發散思維

思維的培養是一個內在的活動，而數學教學活動往往是外在的。這就需要借助一個好的鏈接，這個鏈接就是“變式訓練”。所謂“變式訓練”，就是在學生已有的知識儲備下，有針對性地設計一組題，可以是一題多解、多題一解、多圖一題、一題多變、逆向運用等方法，對初始題目加以發展變化，從邏輯推理上演繹出幾個或一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關知識系統化、結構化、深入化，從而提高學生的解題能力。

例題3：已知長方形ABCD，BD為對角線，將△BCD沿BD翻折得到△BED。

（1）求證：AF=EF。

此問，可以運用全等三角形的方法證明三角形ABF和三角形EDF全等；也可以用等角對等邊證出FB=FD，再由翻折AD=BC=EB，得出AD-FD=EB-FB即AF=EF。而且證三角形全等時也有兩種方法，用直角三角形的斜邊、直角邊判定定理或角角邊都可以證出。

（2）若連結AE，求證：AE∥BD。

在第一問的結論下，很快就可以根據等邊對等角，得出角等，再結合三角形的內角和從而得出內錯角相等，即兩直線平行，得以證明結論。

（3）延長BA、DE，交于點P，求證：PB=PD。

這一問，又可以用不同的方法來證明，運用三角形的全等能夠得出結論，運用等腰三角形等角對等邊的判定定理也可以證出結論，還可以通過線段的和得出結論。總之，本題通過幾何問題的一題多問，達到了訓練學生發散思維的目的。

學習為了應用，應用中深化理解

注重生活中的應用是學好數學的一個竅門。有不少學生總以為數學是個老大難問題，不僅學習起來非常費腦筋，而且學會了也用不上。其實，這是對數學學科的誤解。可以說，數學文化和人類文明的發展息息相關。正是因為在生活和生產實踐中需要用數學知識解決問題，才有力地促進了數學學科的發展和建設。所以，從實踐中引入數學，又回到現實中去解決問題，學以致用，這是數學的生命力，也是學生們學好數學的初衷。

教師在課程講授中注意到了這些有機的聯系，在此也提醒家長朋友，在輔導孩子的學習中，不要僅僅做表面的一些式子題，更應該重視對應用題的學習，這往往也是階段考試和中考的重點內容之一。其中，函數思想的運用就是將一個實際問題或數學問題，構建一個相應的函數模型，從而用數學模型一般化地解決問題。

例題4：為解決中小學大班額問題，某縣今年將改擴建部分中小學，計劃對A、B兩類學校進行改擴建，根據預算，改擴建2所A類學校和3所B類學校共需資金7800萬元，改擴建3所A類學校和1所B類學校共需資金5400萬元。

（1）改擴建1所A類學校和1所B類學校所需資金分別是多少萬元？

（2）該縣計劃改擴建A、B兩類學校共10所。若國家財政撥付資金不超過11800萬元；地方財政投入資金不少于4000萬元，其中地方財政投入到A、B兩類學校的改擴建資金分別為每所300萬元和500萬元。請問共有哪幾種改擴建方案？

題意分析：

（1）可根據“改擴建2所A類學校和3所B類學校共需資金7800萬元，改擴建3所A類學校和1所B類學校共需資金5400萬元”，列出方程組求出每所學校所需資金的答案。

（2）要根據國家財政撥付資金不超過11800萬元，地方財政投入資金不少于4000萬元，列出不等式組，判斷出不同的改造方案。

本題訓練了一元一次不等式組、二元一次方程組的應用能力。解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求量的數量關系。