數(shù)學(xué)閱讀理念與中學(xué)數(shù)學(xué)課程體系建設(shè)

文圖_王耀楊

在北大附中工作的這十年，王耀楊一直在探索基于數(shù)學(xué)閱讀理念的初高中一體化數(shù)學(xué)課程建設(shè)。作為一名以數(shù)學(xué)教師為業(yè)的數(shù)學(xué)愛好者，談及開發(fā)這門課程的初衷，王耀楊認(rèn)為很大程度上與自己的成長(zhǎng)歷程密不可分。也許多年后，當(dāng)年的學(xué)習(xí)者早已忘記具體的成績(jī)，但王老師希望每一位和他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人都能留下“我感覺自己還挺行的”心理體驗(yàn)。

王耀楊：北大附中數(shù)學(xué)教師，第五屆全人教育獎(jiǎng)獲得者

引言：以“數(shù)學(xué)閱讀”視角理解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程的嘗試

我在北京大學(xué)附屬中學(xué)工作了十年，一共帶了兩屆學(xué)生，每一屆都是從初一帶到高二（我校高三年級(jí)是與其他部門相對(duì)隔離的獨(dú)立部門）。在這十年里，我的主要任務(wù)是建設(shè)一門初高中一體化的數(shù)學(xué)課程。這期間始終縈繞在我腦海中的問題是：在一個(gè)少年人努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，他的內(nèi)心世界實(shí)際上都經(jīng)歷了什么？很大程度上，我的各方面嘗試和思考都是圍繞這個(gè)問題展開的。

“數(shù)學(xué)閱讀”是我在努力理解學(xué)習(xí)者內(nèi)心體驗(yàn)的嘗試中逐漸選擇的一種視角。簡(jiǎn)單講，“數(shù)學(xué)閱讀”就是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)文本的過程。它并不是什么新鮮概念，但卻很有可能是理解學(xué)習(xí)者內(nèi)在體驗(yàn)的一個(gè)絕佳視角。

舉例而言，初學(xué)數(shù)學(xué)之人往往習(xí)慣于在課堂上聽教師講授，隨著年級(jí)增高則逐漸可以自己閱讀教材來學(xué)習(xí)。究其根源，數(shù)學(xué)文本是以特別注重精確性的專門語(yǔ)言來書寫的，并且在書寫時(shí)格外看重說理的價(jià)值。初學(xué)者要適應(yīng)這種與日常語(yǔ)言迥然不同的新語(yǔ)言，特別是要將其中價(jià)值內(nèi)化為自身的主動(dòng)追求，是一定要狠狠花番功夫的。而掌握之后，便可以獨(dú)立應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)文本，我們說某人“在數(shù)學(xué)方面有自學(xué)能力”，就是這個(gè)意思。

又如，初學(xué)數(shù)學(xué)之人在遇到“難題”時(shí)，往往會(huì)有一籌莫展之感，而通常所說解題水平較高之人，則總可以利用已有知識(shí)從特定條件切入問題，進(jìn)行某些有意義的探索。這樣的探索未必總能到達(dá)終點(diǎn)，但確實(shí)常常可以實(shí)現(xiàn)有價(jià)值的推進(jìn)。從“應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)文本”的角度講，具有較好解題能力的人實(shí)際上是熟悉數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的各種常見條件的含義，因而能夠在頭腦中將它們與自身所掌握知識(shí)建立聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上找到探索的切入點(diǎn)。

再如，有時(shí)我們遇到一個(gè)困難的數(shù)學(xué)問題，怎么想也想不出，只好翻開答案來讀，這時(shí)差異就出現(xiàn)了：有人看了答案后便逐漸理解了其中的方法，有人卻一頭霧水不知所云。其實(shí)這個(gè)差異還是在于數(shù)學(xué)閱讀能力：答案是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言書寫的，而不能正確掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言的人，看到的依舊是“天書”。

更進(jìn)一步，有時(shí)在媒體上看到：當(dāng)我們還在日常學(xué)習(xí)的題目中掙扎時(shí)，“別人家孩子”都已經(jīng)自己查閱數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，甚至已經(jīng)能夠完成論文習(xí)作！人和人相比，差別怎么就這么大呢？其實(shí)，對(duì)于一個(gè)研究者來說，閱讀文獻(xiàn)的過程仍然是“應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)文本”，目標(biāo)也仍然是理解其中的方法，特別是與自身原有知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)化為一個(gè)整體；在這個(gè)意義上說，與我們自己讀數(shù)學(xué)教材學(xué)知識(shí)的過程并沒有太大不同。

概括起來，以“數(shù)學(xué)閱讀”的視角來理解學(xué)習(xí)者的內(nèi)在體驗(yàn)，包括以下兩個(gè)要點(diǎn)：

1. 數(shù)學(xué)文本是以專門的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來書寫的，這種語(yǔ)言有自己獨(dú)特的形式、結(jié)構(gòu)特別是價(jià)值。

2. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，無(wú)論是學(xué)習(xí)新知、完成習(xí)題、挑戰(zhàn)難題還是自主探索，都可以從“獨(dú)立應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)文本”的角度來理解。

基于上述分析，我在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要面對(duì)的第一個(gè)難題就是：如何幫助學(xué)習(xí)者掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言？

粗略地講，我嘗試將初一到高二這五年劃分成四個(gè)部分：初中入門、初中進(jìn)階、高中入門和高中進(jìn)階。其中，入門階段大致上對(duì)應(yīng)第一年，主要任務(wù)是幫助學(xué)習(xí)者掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而到了進(jìn)階時(shí)段，則可以嘗試引領(lǐng)學(xué)習(xí)者進(jìn)行相對(duì)自由和多元的探索。下面我就分階段介紹一下自己以往的一些探索性的努力。

在日常學(xué)習(xí)中，最基本的數(shù)學(xué)文本就是數(shù)學(xué)教材，學(xué)習(xí)者可以通過自己讀教材來學(xué)習(xí)新內(nèi)容，圖源_網(wǎng)絡(luò)

一、如何引領(lǐng)初一學(xué)生進(jìn)入“數(shù)學(xué)閱讀”的大門？

從發(fā)展心理學(xué)角度講，七年級(jí)新生正處于自主意識(shí)日益增強(qiáng)的階段，“擁有獨(dú)立應(yīng)對(duì)文本的能力”對(duì)于這個(gè)年齡段的學(xué)習(xí)者來說天然具有不可抗拒的誘惑性。當(dāng)然，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)還要注意方法，特別是要循序漸進(jìn)。

第一步是激發(fā)學(xué)習(xí)者的興趣，使其覺得“掌握這門新語(yǔ)言”是一件既重要又有趣的事情，同時(shí)還有一定的挑戰(zhàn)性。在日常課堂教學(xué)中，這樣的活動(dòng)幾乎隨處可見。例如，在介紹有理數(shù)乘法的符號(hào)規(guī)則時(shí)，為了說明“負(fù)負(fù)得正”的自然性，有的教材會(huì)以沿直線爬行的小蟲為例加以解釋：向右和左爬行所對(duì)應(yīng)的速度分別是正數(shù)和負(fù)數(shù)，“此后”和“此前”所對(duì)應(yīng)的時(shí)間也可分別對(duì)應(yīng)于正數(shù)和負(fù)數(shù)。于是，當(dāng)小蟲向左爬行時(shí)，此前某時(shí)刻的位置就可以用兩個(gè)負(fù)數(shù)的乘法表示出來，其結(jié)果當(dāng)然是正數(shù)。在課堂上，可以專門拿出一點(diǎn)時(shí)間邀請(qǐng)所有學(xué)生一起讀教材這一段，接著請(qǐng)同座位兩人互相為對(duì)方解釋，再互相點(diǎn)評(píng)一下，看看誰(shuí)的說法更能得其要領(lǐng)。這個(gè)活動(dòng)的目的是雙重的：一是幫助學(xué)習(xí)者意識(shí)到自己可以通過讀教材來學(xué)習(xí)新內(nèi)容，二是分享一個(gè)判斷理解水平的標(biāo)準(zhǔn)——能夠給別人解釋清楚，說明自己理解得還不錯(cuò)。

類似的活動(dòng)還有很多，比如請(qǐng)一位同學(xué)通過口頭描述向另外幾位同學(xué)講解某個(gè)圖形，接著對(duì)比不同人畫出的圖形；還可以請(qǐng)其他同學(xué)點(diǎn)評(píng)該同學(xué)的講解語(yǔ)言，討論并加以改進(jìn)。這個(gè)活動(dòng)的意義在于幫助學(xué)習(xí)者在親自駕馭新語(yǔ)言時(shí)意識(shí)到，數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化實(shí)際上是非常精確的。初學(xué)者常犯的“沒看清條件”錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)上很可能是沒有意識(shí)到這門新語(yǔ)言的特點(diǎn)，或者說沒有掌握閱讀該語(yǔ)言的基本方法。

在學(xué)情允許的前提下，還可以通過擴(kuò)大閱讀范圍來激發(fā)學(xué)習(xí)者的熱情。一般來說，我推薦采取學(xué)習(xí)者分享的方式。具體地講，可以開展類似“讀書節(jié)”之類的活動(dòng)，請(qǐng)每位學(xué)生分享自己喜歡的一本課外讀物，特別是根據(jù)個(gè)人閱讀體會(huì)制作一份推介材料，以圖文結(jié)合（還可包含實(shí)例）的方式向他人介紹這本書的美妙之處。在活動(dòng)的過程中，教師可以根據(jù)個(gè)體的實(shí)際情況給出針對(duì)性指引，引導(dǎo)不同個(gè)體通向“感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言的獨(dú)特魅力”這一共同目標(biāo)。

第二步相對(duì)困難些，是努力與初學(xué)者分享數(shù)學(xué)文本的價(jià)值傾向，即看重說理。事實(shí)上，我們可以把這一價(jià)值傾向看成是界定“數(shù)學(xué)文本”的標(biāo)準(zhǔn)。眾所周知，數(shù)學(xué)書的最常見任務(wù)是討論數(shù)學(xué)命題，但這種討論遠(yuǎn)不止于確認(rèn)其對(duì)錯(cuò)，而是嘗試將這些看似彼此孤立的東西用邏輯聯(lián)系成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，使學(xué)習(xí)者在最終建立總體理解之后感受到一種特有的理性之美。這樣的價(jià)值導(dǎo)向其實(shí)是貫徹?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的。比如，從前有人創(chuàng)作過名叫《長(zhǎng)方形過生日》的漫畫：長(zhǎng)方形過生日時(shí)，平行四邊形、梯形、三角形甚至圓都來祝壽，原來它們都可以通過圖形割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形進(jìn)而求得面積。其中的知識(shí)每個(gè)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生都能看懂，但是其背后的思想，卻是數(shù)學(xué)中最核心也最優(yōu)美的東西。

這樣的例子在初中數(shù)學(xué)中更是不少。例如在學(xué)習(xí)平行線時(shí)，短短2頁(yè)篇幅中就出現(xiàn)了關(guān)于平行公理、平行的性質(zhì)和判定等共8個(gè)命題；實(shí)際上，它們之間可以形成一個(gè)與前述面積研究類似的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，并且該結(jié)構(gòu)的大部分細(xì)節(jié)都是初學(xué)者可以理解的。

幾年前，我本人在教學(xué)實(shí)踐中還“勇敢”地嘗試把這種價(jià)值以更豐富的形式呈現(xiàn)出來。記得在一次課上，有學(xué)生指出我對(duì)于“曲折”這個(gè)詞中的“曲”讀音錯(cuò)誤，我當(dāng)時(shí)并未給出明確結(jié)論，而是建議大家課后檢索工具書，判斷這個(gè)多音字的各個(gè)義項(xiàng)與讀音之間的聯(lián)系。原來，在標(biāo)準(zhǔn)的文字學(xué)工具書中，這個(gè)字至少有十幾個(gè)義項(xiàng)，但是通常以“彎曲”作為其本意且讀作陰平聲，而其他義項(xiàng)則是由此衍生而來。至于讀作上聲表示“樂曲”的那個(gè)義項(xiàng)，則是因?yàn)闃非茡P(yáng)婉轉(zhuǎn)而自本義衍生而來。這樣一番整理，我們可以模仿前面整理常見圖形面積公式那樣，將“曲”字的義項(xiàng)與讀音變化整理成樹狀結(jié)構(gòu)，并在其中看到漢字發(fā)展演變的脈絡(luò)。對(duì)于七年級(jí)學(xué)生來說，在查閱漢字工具書時(shí)感受到與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)類似的美學(xué)體驗(yàn)，大概會(huì)是一種極為難忘的成長(zhǎng)經(jīng)歷吧。

圖源_網(wǎng)絡(luò)

分享價(jià)值無(wú)疑是困難的，但是一旦堅(jiān)持并形成一種獨(dú)特的“氣場(chǎng)”，學(xué)生就會(huì)更積極地歡迎數(shù)學(xué)文本帶來的挑戰(zhàn)，主動(dòng)將其中的知識(shí)按照個(gè)人方式內(nèi)化，進(jìn)而建立自己的知識(shí)系統(tǒng)。

二、初中數(shù)學(xué)閱讀的進(jìn)階活動(dòng)

所謂的“進(jìn)階”，其實(shí)仍然要從日常課堂學(xué)習(xí)出發(fā)，原則上希望每個(gè)學(xué)習(xí)者都能在活動(dòng)中獲得應(yīng)有的體驗(yàn)和提升。

在日常學(xué)習(xí)中，最基本的數(shù)學(xué)文本就是數(shù)學(xué)教材。基于教材中原有的內(nèi)容，我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過自主閱讀來進(jìn)行探索。在閱讀和探索之間的橋梁，就是教師提供的引導(dǎo)性問題。學(xué)習(xí)者通過這些問題檢驗(yàn)自主閱讀的效果，再基于這些問題進(jìn)行拓展探索。比如，某版本的七年級(jí)數(shù)學(xué)教材在某章后附閱讀材料中介紹了“為什么0.999……＝1？”這樣一個(gè)趣味主題。這個(gè)問題在純數(shù)學(xué)具有一定的理論意義，卻未必適合初學(xué)者深入探討；對(duì)于七年級(jí)學(xué)習(xí)者，它可能更適合推廣為一個(gè)算法，將一般的無(wú)限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)形式。為此，我設(shè)計(jì)了一系列與此相關(guān)但有遞進(jìn)層次的問題，在給學(xué)生較為充分的閱讀與思考時(shí)間之后，將問題一攬子拋給大家，請(qǐng)每個(gè)人結(jié)合自己的理解和興趣選擇問題來探索。這次嘗試的回報(bào)是豐厚的：大多數(shù)學(xué)生基于我的引導(dǎo)補(bǔ)全了原文中計(jì)算過程的主要說理細(xì)節(jié)，并將其推廣為一般的轉(zhuǎn)化算法；少數(shù)同學(xué)對(duì)于這個(gè)問題的理論價(jià)值進(jìn)行了相關(guān)拓展閱讀，并結(jié)合個(gè)人體會(huì)書寫了閱讀摘要；個(gè)別同學(xué)則提出了新的實(shí)例，并將無(wú)限求和問題與尺規(guī)作圖近似問題聯(lián)系起來，給出了一些新的有趣的結(jié)果。后來，我將其中一篇習(xí)作推薦給面向高中生的數(shù)學(xué)小論文比賽，這位八年級(jí)學(xué)生獲得了二等獎(jiǎng)。

對(duì)于水平相對(duì)高一些的學(xué)生，可以試著將日常學(xué)習(xí)內(nèi)容的某些推廣結(jié)果作為探索課題。例如，八年級(jí)學(xué)生在課堂上會(huì)學(xué)習(xí)三角形的全等判定定理，特別是體驗(yàn)定理從提出到證明的思維過程。在此基礎(chǔ)上，“四邊形的全等判定”就是一個(gè)不錯(cuò)的探索問題。學(xué)業(yè)水平較高的學(xué)生可以類比三角形的研究思路，通過畫圖提出猜想，再通過類比給出完整的證明。其中最有熱情的一些個(gè)體可能會(huì)嘗試建立一個(gè)“完備”的判定系統(tǒng)，這就有一定的難度，或者對(duì)于這些個(gè)體而言，就相當(dāng)有樂趣了。

這里我分享一種設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)閱讀進(jìn)階活動(dòng)的方法：書寫閱讀探究材料。總體上講，適合初中生進(jìn)行自主閱讀進(jìn)而展開探索的數(shù)學(xué)文本是很少的，盡管市面上可以找到很多與日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的普及型讀物，但是要用來承載有明確教學(xué)目標(biāo)的課堂活動(dòng)，它們還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。另一方面，基于中學(xué)數(shù)學(xué)課堂內(nèi)容而可以生長(zhǎng)出的探索性問題卻是相對(duì)豐富的，即使是對(duì)于并未掌握很多數(shù)學(xué)知識(shí)的初中生，情況也還是如此。因此，一位有野心的數(shù)學(xué)教師可以考慮根據(jù)自己學(xué)生的實(shí)際情況，合理選擇探索主題并書寫相應(yīng)的數(shù)學(xué)閱讀探究材料。

王耀楊老師在課堂上

比如，在從古典天文學(xué)到現(xiàn)代制造業(yè)的很多領(lǐng)域中都會(huì)出現(xiàn)“尋找有理近似值”的問題，而基于連分?jǐn)?shù)的計(jì)算則是處理該問題的典型方法。為此，我們可以在文字材料中介紹相關(guān)的背景問題和連分?jǐn)?shù)計(jì)算方法，接著設(shè)計(jì)一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生探索計(jì)算原理、相關(guān)應(yīng)用以及連分?jǐn)?shù)的某些理論問題。再如，教材上通常會(huì)建議初學(xué)幾何的學(xué)生動(dòng)手制作紙盒子，感受平面展開圖與立體結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系；也許有人會(huì)覺得這個(gè)活動(dòng)不夠“高大上”，那我們就把它改造一下！我曾經(jīng)寫過這樣一份閱讀材料，第一部分是請(qǐng)讀者結(jié)合某種盒子的立體結(jié)構(gòu)與平面展開圖，分析二者之間的聯(lián)系，這部分相當(dāng)于是教材內(nèi)容的細(xì)化；第二部分則是介紹一些形制奇特的紙盒子的局部設(shè)計(jì)，請(qǐng)讀者分析其設(shè)計(jì)思路；第三部分提出“如何將不同局部組合”的問題，并請(qǐng)讀者在已有研究基礎(chǔ)上通過重組和改造來提出新的設(shè)計(jì)。學(xué)生要提交的“作業(yè)”不僅包括一份閱讀研究報(bào)告，還有具體的設(shè)計(jì)圖和親手制作的實(shí)物。

如前所述，這里所說的“進(jìn)階”并不是刻意追求高深或者困難，而是希望幫助每位學(xué)習(xí)者感受到數(shù)學(xué)知識(shí)自身固有的生長(zhǎng)性，在此基礎(chǔ)上體驗(yàn)自主性。無(wú)論是對(duì)教材內(nèi)容的挖掘與改造，還是不憚?dòng)凇翱罩袠情w”嫌疑的書寫閱讀材料，根本目的都是為了幫助學(xué)生。

三、如何重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力？

不可否認(rèn)的是，高中階段的學(xué)業(yè)壓力比初中可不是大上一點(diǎn)半點(diǎn)，無(wú)論是學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)量還是難點(diǎn)的艱澀程度，都有顯著的提高。而正如本文一開始就明確分析過的，這些學(xué)業(yè)活動(dòng)都可以從數(shù)學(xué)閱讀的視角來加以理解。或者更直白地講，正因?yàn)閷W(xué)生有困難，正因?yàn)槲蚁Ｍ麕椭麄儯晕腋褦?shù)學(xué)閱讀的教學(xué)理念做到位。

要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，根本還是幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言。如果說初中階段承載所學(xué)內(nèi)容的語(yǔ)言至少在形式上與日常用語(yǔ)還比較相近的話，那么高中數(shù)學(xué)的語(yǔ)言已經(jīng)完全呈現(xiàn)出一副冷峻的面貌，令初學(xué)者望而生畏，心生退意。然而這副面貌其實(shí)是一種假象，如果學(xué)習(xí)者能夠定下心神好好品味一番其中滋味，原本是可以逐步渡過這一難關(guān)的。舉例而言，說到“增函數(shù)”這個(gè)詞，相信絕大多數(shù)人的腦海中都會(huì)浮現(xiàn)出一條逐漸升高的曲線，也就是一個(gè)增函數(shù)的圖象；但是如果追問它的定義，想來不會(huì)有幾個(gè)人還能記得。甚至于大多數(shù)人腦海中倒是要泛起一些不愉快的回憶，只因當(dāng)年在不怎么理解這個(gè)定義的情況下強(qiáng)行“應(yīng)用它解決問題”的體驗(yàn)，實(shí)在是不那么美好。但是，這個(gè)看似“生人勿進(jìn)”的定義，實(shí)際上是從前面那個(gè)直觀圖象的樸素感覺中自然生長(zhǎng)出來的，換句話說，只要我們每個(gè)人肯多花一點(diǎn)時(shí)間去感受這個(gè)逐漸生成的過程，不僅能更好地掌握解題技能，更可以享受美好得多的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，進(jìn)而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中擁有更多的成就感。

如果數(shù)學(xué)語(yǔ)言看起來不是那么陌生，是不是就會(huì)顯得親切了一些？有時(shí)也未必。比如，“若A則B”這句話表示A可以推出B，這個(gè)表述看起來與我們?nèi)粘Ｉ钣谜Z(yǔ)差別不是很大。實(shí)際上，我們還是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)它作為“理論模型”的意義，也就是說，將它作為基本工具去理解其他的內(nèi)容。比如，我們的日常表述“只要A就會(huì)B”意味著A能推出B，而“只有A才能B”則意味著B推出A（當(dāng)我們看到B發(fā)生時(shí)，由“只有”可以判斷出A一定發(fā)生了，因此是由B推出A）。這個(gè)在日常語(yǔ)言中主要靠經(jīng)驗(yàn)和感覺來解釋的問題，在這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言中獲得了明確的區(qū)分。在此基礎(chǔ)上，“A當(dāng)且僅當(dāng)B”的含義是“當(dāng)B成立時(shí)A成立”并且“只有B成立時(shí)A才成立”，也就是A能夠推出B并且B能夠推出A。也就是說，幾種形式上似乎沒有顯著關(guān)聯(lián)的表述實(shí)際上都是由“若A則B”這個(gè)基本元件變化和組合而得到的。在這里，我們又一次看到了結(jié)構(gòu)的美感：一些看似彼此無(wú)關(guān)的事情，依靠邏輯聯(lián)系形成了整體結(jié)構(gòu)，這樣的審美體驗(yàn)是無(wú)與倫比的。

對(duì)于我來說，幫助高一學(xué)習(xí)者的重點(diǎn)在于盡力幫助其理解和掌握高中數(shù)學(xué)的語(yǔ)言。在這個(gè)過程中，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種不同于日常用語(yǔ)的新語(yǔ)言”始終是重要的，但是在強(qiáng)調(diào)的同時(shí)，也應(yīng)努力幫助每個(gè)學(xué)習(xí)者感受“這種新語(yǔ)言是在各種具體情境中逐漸生成的”，特別是盡量幫助學(xué)習(xí)者感受進(jìn)而理解這一生成過程的自然性。

四、高中數(shù)學(xué)閱讀的進(jìn)階活動(dòng)

和初中生相比，高中生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和心智水平的整體發(fā)展決定了可選閱讀材料變得更為豐富；與之相應(yīng)地，個(gè)體差異問題也越來越凸顯分明。在前面的分析中，我把“幫助學(xué)生重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力”作為頭等要緊的任務(wù)。事實(shí)上，這個(gè)任務(wù)對(duì)于很多學(xué)生來說，可能要持續(xù)非常久，甚至貫穿了整個(gè)高中階段。或者說，將高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)閱讀側(cè)面分成“入門”和“進(jìn)階”兩個(gè)時(shí)段，其實(shí)是一個(gè)過于簡(jiǎn)化的模型；它們似乎更像是彼此糾纏和協(xié)同發(fā)展的兩個(gè)部分。

因此，在為高中生選擇合適的數(shù)學(xué)閱讀材料時(shí)，更應(yīng)著重考慮多元性。

從我個(gè)人的實(shí)踐體驗(yàn)來看，相對(duì)有較廣大受眾的材料不妨稱為“數(shù)學(xué)與文化”類讀物。這類讀物往往具有以下特點(diǎn)：通常沿著歷史脈絡(luò)講述以便讀者能夠從人類文明史的背景中理解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，并非依照數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來講解而是基于背景問題自然地引發(fā)數(shù)學(xué)問題，以及最友好的特征是，即便跳過某些較困難的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)也不會(huì)明顯影響閱讀。需要說明的是，其實(shí)很多讀者在閱讀這類文本時(shí)往往是以“不數(shù)學(xué)的方式”來閱讀的，不僅跳過了很多細(xì)節(jié)，也完全沒有把握到說理線索。為了引導(dǎo)讀者，可以提供一些閱讀方法指導(dǎo)，例如建議讀者按照某種方式書寫閱讀報(bào)告。當(dāng)然，對(duì)于更廣大的群體來說，即使是以“不數(shù)學(xué)的方式”來閱讀，終究也是保持通向“數(shù)學(xué)閱讀”的一扇門開啟著。

對(duì)于原本就對(duì)數(shù)學(xué)興趣十足的學(xué)習(xí)者，多元性也是重要的。比如，熱衷于競(jìng)賽數(shù)學(xué)和癡迷于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)者通常會(huì)對(duì)不同類型的拓展讀物感興趣，而具有科研探索潛質(zhì)的學(xué)習(xí)者，則可以接觸內(nèi)容和難度合適的論文，國(guó)內(nèi)外面向中學(xué)生研究的期刊和相應(yīng)的文章都有不少。對(duì)于特定的拓展主題，書寫專門的閱讀探究材料也仍然是一種有意義的選擇。

在很大程度上講，選擇以數(shù)學(xué)閱讀為核心理念來建設(shè)數(shù)學(xué)課程，與我個(gè)人的成長(zhǎng)歷程密不可分。我心目中最理想的情況是：也許在很多年后的某一天，那些曾經(jīng)跟隨我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)者在回想起自己少年時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷時(shí)，并不記得自己當(dāng)年的具體成績(jī)，但是內(nèi)心深處留下的心理體驗(yàn)是“我感覺自己還挺行的”。我希望每一位曾經(jīng)和我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人都能感到自己“挺行的”，或許，那就是我作為數(shù)學(xué)教師的最大成就了吧。