“古為今用”數學文化融入中考試題命制剖析

張安軍

近年來在中考數學試題的命制過程中。以數學史為背景，取材于數學名題、數學名著中的問題，適當地加以改編。是命制中考數學文化試題的一個熱點。本文以一元二次方程的幾何解法為例。分析和研究數學文化試題命制的方法。為老師們提供參考。

1 源于數學史料的數學文化題的編擬

文依據數學文化題的取材分為兩類，一類是取材于數學史中的問題。包括數學名著中的問題以及數學歷史中的問題;另一類是取材于文化事物，其中包括文化符號（例如弦圖）、文化物品（如趙州橋）、文化事件（如田忌賽馬、“嫦娥一號”發(fā)射成功）等等。文依據數學文化試題的內容。將試題中的數學文化劃分為：數學史、數學與生活、數學與藝術、數學與科學，但并不涉及數學思想、數學方法和數學精神等。為了敘述方便。本文將數學文化試題分為數學史和其他數學文化問題。以數學史為背景的中考試題主要包括數學名題、數學名著中的問題、數學圖形（如趙爽弦圖等）、數學史上的標志性問題、數學符號等等。

以數學史料為背景的試題。可以極大地激發(fā)學生的學習興趣。那么如何命制這類數學試題呢？學者汪曉勤把數學史融入課堂劃分為附加式、復制式、順應式和重構式四類。其中附加式和復制式沒有直接改變教學內容的實質。都以顯性的形式直接展示歷史上的數學問題及其數學家圖片，生平事跡等，那么中考數學試題中數學史料的運用可以借鑒上述數學史料融入課堂，把附加式和復制式合為一種，得到以下三種命制方法。具體見表1.

以下對來自數學史料的數學文化試題的命制進行探討。為了更好地認識和理解這類試題的命制方式。下面以一元二次方程的解法命制為背景談數學文化試題命制。

2 一元二次方程的幾何解法命制

2.1 重現一元二次方程的幾何解法

命制剖析：本題是以浙教版數學教材八年級下冊的“閱讀材料”學習“一元二次方程的發(fā)展小記”為背景，試題在命制時直接呈現數學名著《原本》中的幾何解法。命制的手法系重現式。以選擇題的形式讓學生對圖中的線段進行辯認。辨認的過程是思維監(jiān)控與反思的過程，也是融合了計算、推理等理性思維的過程。它要求學生能讀懂尺規(guī)作圖等數學語言。從中提取問題信息，并在此基礎上利用勾股定理等知識進一步計算比較各條線段的長度。試題將作圖和計算融為一體，既具備了一定的開放度，又包含了一定的思維量，滲透了數學文化，讓學生感受到數學的魅力。同時以教材內容為素材，進行試題編制或改編，能夠引導師生對教材內容的重視，而不是把精力放在刷題上，回歸教材。

2.2改編條件或結論

案例2（2018杭州）

命制剖析：本題也是以浙教版數學教材八年級下冊的“閱讀材料”學習“一元二次方程的發(fā)展小記”為背景，但不同于案例1，在《原本》中原有問題條件的基礎上適度地增加一些條件。從而引發(fā)出了3個不同層次的問題。第（1）小題考查特殊三角形中的角度關系，理清關系就可計算;第（2）小題①把數學史引入考題，體現了中考試題中人文教育;第（2）小題②探索圖形特殊化后的圖形要素之間的關系。具有更高的理性思維含量。改編時充分考慮了本題中所蘊含的基礎知識、基本技能和思想方法，展示數學知識的產生、發(fā)展和應用的過程。體現數學的人文價值。以數學名著中的問題為背景，適度增加條件引伸出不同層次的結論，它拓寬了數學命題的思路，有效地避免了試題命制的模式化，使學生擺脫“題海”。倡導教師要致力于教材資源價值的開發(fā)。讓教材發(fā)揮其應有的“范本”功能。進而提高教師開發(fā)以教材為主的課程資源的能力。此外，試題命制盡量給學生留有多個解題的窗口，通過不同的方法嘗試均能獲得成功。這樣的試題對教師教學的啟示是：多留一點時間給學生，慢一點，等一等落后的靈魂。教學中多給學生一分時間，他們會還你十分精彩。

2.3 方法的遷移或拓展

2.3.1 對方法的模仿遷移

命制剖析：本題選自以北師大版數學教材九年級上冊的一元二次方程的幾何解法“閱讀材料”。以數學家趙爽的解法為背景，通過改編原有方程的數字系數，考查學生學生閱讀理解、信息提取的能力。由于命制者把原有問題中一次項系數從正數變成負數。要求學生相應地要從數到形的轉變。學生只有在理解古代數學家解法的基礎上，從觀察比較到方法的領會，從方法的領會到模仿和創(chuàng)新。本題難點在于一元二次方程的一次項系數為負數的時候。如何用幾何的方法進行再創(chuàng)造。試題背景清晰，構思獨特，滲透數學文化核心價值，即數學的精神、思想和方法，陶冶學生心靈，讓學生感受數學的魅力。使考試成為數學文化的傳播過程。

2.3.2 對方法和結論的拓展

案例4（2017臺州）在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數根。比如對于方程x²-5x+2=0.操作步驟是：

第一步：根據方程的系數特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）;

第二步：坐標平面中移動一個直角三角板。使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B;

第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時。點C的橫坐標m即為該方程的一個實數根（如圖5）;

第四步：調整三角板直角頂點的位置，當它落在x軸上另一點D處時。點D的橫坐標n即為該方程的另一個實數根。

（1）在圖6中，按照“第四步”的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）;

（2）結合圖5，請證明“第三步”操作得到的m就是方程x²-5x+2=0的一個實數根;

（3）上述操作的關鍵是確定兩個固定點的位置。若要以此方法找到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠O，b²-4ac≥0）的實數根，請你直接寫出一對固定點的坐標;

（4）實際上，（3）中的固定點有無數對。一般地，當m₁，n₁，m₂，n₂與a，b，c之間應該滿足怎樣的關系時，點P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）就是符合要求的一對固定點？

命制剖析：蘇格蘭作家卡萊爾（Thomascarlyle，1795-1881）在他的《平面解析幾何》記載了一元二次方程的幾何解法。如圖7.關于x的一元二次方程：x²+bx+c=0，他以（0，1）和（-b，c）為直徑的兩個端點作圓。若方程有兩個實數解，這個圓與x軸就有兩個交點，這兩個交點的橫坐標是x²+bx+c=0的根。由于直徑所對的圓周角為直角。命制者改編原來的背景，對原來的結論進行拓展，用直角三角板為工具，移動直角三角板到特定的位置，就能找到已知一元二次方程的實數根。既易于學生操作又充滿好奇。學生在理解題意的基礎上先進行模仿遷移。而后在操作中學會思考，為什么移動直角三角板就能得到一元二次方程的解。在理性上進行確認。再從具體的方程推廣到一般方程。以開放的視角讓學生寫出一對固定點的坐標。最后基于逆向思維尋求固定點的坐標和已知一般方程系數之間的關系。思維的層次在不斷地引向縱深。一元二次方程的求根蘊含在操作游戲中，好玩、好奇又具有挑戰(zhàn)性，能讓學生感受到數學文化。領會好玩的背后蘊含思維的深刻性。

3 對融入數學文化試題的命制進一步思考

上述基于一元二次方程幾何方法求解的歷史。可以發(fā)現世界各大文明古國中最初都是用幾何方法求解，浙教版在閱讀材料中介紹歐幾里德的《幾何原本》中形如“x²+ax=b²”的圖解法。北師大版也在閱讀材料中介紹了中國古代數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法，同時還介紹阿拉伯數學家花拉子密的方法。其實歷史上還有很多的數學家曾經研究過一元二次方程的幾何解法。當然幾何圖法只能求出其中的一個正根。由于命制方法和命制者的立意不同。開發(fā)出不同特色的數學文化試題。學生從中可以了解到數學知識的產生和發(fā)展。以及數學方法的古為今用。數學試題不完全都是冰冷的。通過挖掘史料，突顯數學人文性。解題方法多樣性。思維的火熱性。因此在教學中數學文化并不是因為中考要考查才顯得重要。不管是從學生學習的角度。還是從教師教學的角度來看，或是就數學本身而言。數學文化都是非常重要的。為了使數學文化更好、更自然融入日常數學教學中，通過中考數學文化試題的考查去引領日常教學，還需要注重以下幾點。

3.1 試題命制要突出數學文化的核心價值

教育部考試中心發(fā)布的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》中把數學文化列入高考試題中。雖然上述對高中來說的，但對初中仍有指導意義。那么何謂“數學文化”？《普通高中數學課程標準（2017年版）》界定數學文化是指“數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義。以及與數學相關的人文活動”。因此數學文化試題命制時，要強調數學文化試題的立意，突出理性價值，即數學精神、思想和方法。數學史料的融入可以是顯性的。也可以是隱性的。如上述案例1雖然是顯性的，但不是為文化而文化。學生要理解數學語言，尺規(guī)作圖，數和形的相互轉化，計算和推理的結合，從中才能得到正確的結論;案例2從知識走向能力的立意，突出數學思維過程與方法。案例3突出方法的遷移，案例4基于具體的操作背景，自主探索，從質疑走向驗證。從特殊走向一般層面的推理認證。基于理性的思考。對方法關鍵的剖析。這是理性思維必不可少的環(huán)節(jié)。

3.2 加強開放性的試題命制嘗試

上述數學文化試題都是從條件到結論的封閉型試題，能否與數學開放題相結合呢？其實我國數學開放題歷經30多年的研究。有著豐富的研究成果。也可以將數學文化題與開放題結合嘗試，例如。著名數學家華羅庚非常重視“數形結合”去思考和解決問題，對于一元二次方程“x²+2x-35=0（x>0）”用幾何圖形給出解法（如圖8（1）），正方形ABCD是由4個相同的矩形和一個正方形EFGH組成。矩形的長比寬大2.請你構造一個不同于圖8（1）的幾何圖形解法，重新設計方程“x²+2x-35=0（x>0）”幾何圖形解法。

事實上，除了圖8（1）的幾何解法外，以方程“x²+2x-35=0為例，還有如圖8（2）、（3）不同的幾何解法。以開放的視角培養(yǎng)學生探究能力。激發(fā)學生創(chuàng)新意識，也是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的重要目標之一。《標準》還指出學生的學習應是現實的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的，要求結合學生的生活實際（諸如生活中的測量、方案最優(yōu)化設計等問題），從數學的角度發(fā)現、提出和設計問題，并用數學方法加以探索、研究和解決問題。

3.3 數學文化試題命制應挖掘和拓寬數學史料中的相關內容

唯有這樣，中外兼顧，可以讓學生以更廣闊的視野看待數學對人類社會發(fā)展所做出的貢獻。