周期性往復運動中的幾種單停止運動規律

姜 華

（上海旭恒精工機械制造有限公司，上海 201814）

0 引言

往復運動是一種常見的運動形式，具有周期性強、機構占用空間少、運動精度高等優點，從而廣泛應用在各種印刷、包裝機械中[1]。因往復運動自身的原因，它同時還具速度不均勻、穩定性差、沖擊性強等缺點，導致機構在高速時經常會出現定位不準、運行抖動等問題。劉曉敏等采用不完全齒輪和齒條研制了一種等速無沖擊直線往復運動機構，該機構可以實現等速直線往復運動且行程不受限制[2]。陳宇等提出了一種利用非圓齒輪機構與正弦機構串聯組合的機構，可以嚴格實現從動件等速往復運動規律[3]。唐文艷等基于可拓學的可拓策略生成方法設計了刨床刨刀往復運動機構[4]。然而以上機構結構比較復雜，凸輪機構具有結構簡單、工作可靠、便于控制等特點[5-6]，可以快速實現往復運動。不同運動規律的凸輪曲線其動態性能差異較大[7-8]，在滿足工作要求的條件下，設計出合適的運動規律對于改善運動性能至關重要[9]。雖然凸輪曲線的設計理論已較為成熟，但許多包裝機械單位不能根據自己的實際情況科學地加以應用[10]。根據實際工程中單停止往復運動的要求，文中分別利用多項式和諧波函數分析設計了3種運動規律，均可滿足工程應用，其中 4-5-6-7-8多項式單停運動規律的綜合性能較好。

1 單停止往復運動

所謂單停止往復運動，是指在往復運動的2個端點中，運動在其中一個端點沒有停留，僅作為折返點，而另一個端點是停留點，停留時間可根據工況需求來設定。一般情況下在停留點停留時間段的起、停時刻，運動所承受的負載會有較大的變化，而在折返點負載的變化會較小或沒有變化。如周期（間歇）性往復定位機構，定位動作是在停留時間段內完成的，定位和定位釋放均會產生負載變化，而另一端只是返回過程，沒有增加或減少額外的負載。為減少在停留點起、停時刻的運動沖擊，提高運動穩定性，要求或希望在起、停時刻的速度（V）、加速度（A）、躍度（J）均要為零；而在折返點是把起、停時刻合并為一個時刻，可以稱為轉向時刻，只需要滿足速度（V）為零，而加速度（A）和躍度（J）可以不需要為零。這就是單停止往復運動和一般雙停止往復運動的最大區別。

2 單停止往復運動規律的函數及曲線

根據單停止往復運動的特性，本文選擇3種運動規律的函數及曲線來進行解析。

2.1 采用雙停運動規律來合成單停運動規律

雙停運動規律有很多，常用的有正弦（擺線）加速度運動規律、修正正弦加速度運動規律、梯形加速度運動規律、修正梯形加速度運動規律、多項式（3-4-5，4-5-6-7）運動規律等，各自的特性也不相同。這里選擇在運動的起點和終點的躍度（J）均為零的 4-5-6-7多項式運動規律來合成一個單停運動規律，求解出SVAJ的函數表達式并做出圖形。

根據雙停運動要求設定邊界條件。B為升程運行時間（此處按半周期180分度計算）；時間T=0時：S=0；V=0；A=0；J=0；T=B時：S=1；V=0；A=0；J=0。

可求解出升程運動的 4-5-6-7多項式運動規律的SVAJ函數表達式為

回程運動規律如下：

根據升、回程運動規律的函數表達式，做出如下SVAJ函數曲線圖（圖1）。從圖1中可以看出在中間折返點，加速度出現了一次不必要的回零，從而造成了躍度曲線的一次額外波動（圖1中A和B這2個波峰）。但所有曲線都是連續的，說明這是一種可以接受的運動規律。

2.2 采用二個不同周期的諧波函數合成單停運動規律的函數

根據單停止往復運動在折返點加速度可以不為零的特點，其加速度函數可以利用周期性諧波函數來合成，如圖2所示，利用一個半周期諧波函數和一個全周期諧波函數相疊加，得到一個新的雙諧波函數，合成前的2個諧波函數的振幅是相同的，合成后新的雙諧波函數就可以滿足起點加速度為零而折返點加速度不為零的要求。

因此，先設定所求升程加速度的函數為：

式中：B為升程運行時間（此處按半周期 180分度計算）；T為時間，T=[0～B]。

對上述加速度函數積分得速度的函數式為

圖1 4-5-6-7多項式函數運動規律曲線圖

圖2 雙諧波函數合成示意圖

同理得位移函數為

根據單停運動要求設定邊界條件，T=0時，S=0，V=0，A=0；T=B時，S=1，V=0。

可解得雙諧波單停運動中升程運動規律的函數表達式為

采用上述相同的方法，得回程運動規律的函數表達式為

根據雙諧波單停運動升、回程運動規律的函數表達式，繪出SVAJ函數曲線圖（圖3）。從圖中可以看出，在曲線的中間折返點處，加速度沒有回零，減小了躍度曲線的一次波動，所有的曲線都是連續的，也是一種可以接受的運動規律。相對于2.1的加速度曲線，最大加速度值會略高一些（圖4）。

圖3 雙諧波函數運動規律曲線圖

圖4 加速度曲線對比圖

2.3 利用邊界條件計算出的多項式單停運動規律

單停往復運動可以描述成：起動→折返→停止，以整個運動過程做為研究對象，設立邊界條件（B為升、回程總運動時間，此處按全周期360分度計算）：時間T=0時，S=0，V=0，A=0，J=0；時，S=1；T=B時，S=0，V=0，A=0，J=0。

建立S、V、A、J函數表達式為

式中：T為時間，T=[0～B]。

根據邊界條件，利用Matlab等解算軟件，可得多項式單停往復運動規律的函數表達式為

按上述位移函數中各項的指數，此組函數可稱為4-5-6-7-8多項式單停運動規律，繪出SVAJ函數曲線圖（圖5）。從圖中可以看出，同2.2雙諧波函數一樣，在曲線的中間折返點處，加速度沒有回零，同2.1函數曲線相比，躍度曲線減小了一次波動；所有的曲線都是連續的；最大加速度和2.1函數曲線的最大加速度接近（圖4）；最大速度比2.1和2.2函數曲線的最大速度都略低一些（圖6）；是一種較好的單停往復運動規律。

3 三種運動規律的特性值計算及分析

無綱量運動參數中的最大速度、最大加速度、最大躍度和最大慣性距（同一時刻速度和加速度的乘積），稱為運動規律的特性值，分別用Vm、Am、Jm、Qm表示。通過這些特性值，可以了解運動規律所適合的運動（工況）條件，沒有任何一種運動規律所有的特性值都是最低的，所以在不同的工況條件下需要選擇不同的運動規律，如高速運動的機構選擇加速度較小的運動規律，負載較重時選擇速度較小的運動規律等，這些在許多文獻內均有詳細說明。

通過SVAJ曲線可以看出，各特性值均是所在曲線的一個極值點，只需得到曲線上該極值點的橫坐標，代入相關函數式即可。極值點處的一階導數為零，所以很容易得到該極值點的橫坐標。以計算4-5-6-7-8多項式單停運動規律的最大躍度為例如下：

圖5 4-5-6-7-8 多項式運動規律曲線圖

當j=0時可求出躍度曲線的極值點橫坐標值。

分別代入無綱量躍度計算式后得4個值，其中絕對值最大的是 4-5-6-7-8多項式單停運動規律的最大躍度特性值：

Jm=±31.6207

根據同樣方法，計算出上述3種運動規律的特性值見表1。

圖6～圖8是把3種運動規律的特性進行橫向比較，從中不難看出4-5-6-7-8多項式運動規律的特征值的絕對值最小，則機構實際運行過程中所承受的直接沖擊和柔性沖擊在此3種運動規律中也是最小的可以使往復運動更加平穩。設計出的4-5-6-7-8多項式運動規律曲線應用在自己的實際工程中，且效果很好，各項參數優異，是文中的核心和創新，而凸輪曲線運動規律的設計問題是個無休止問題，可能還存在比4-5-6-7-8多項式參數更好的曲線A，后面還會設計出比A好的B，但是設計的復雜性極具增加，或許沒有必要。

表1 特性值對照表

圖6 速度曲線對比圖

圖7 躍度曲線對比圖

圖8 慣性距曲線對比圖

4 結論

解析了3種單停止往復運動規律，利用單停往復運動在折返點加速度可以不為零的特點，可以減少躍度曲線的波動，降低運動規律的特性值，從而設計出4-5-6-7-8多項式單停運動規律。這種運動規律具有較好的動態性能，在滿足工程應用的同時可以減小沖擊，保證機構平穩運行。此外，單停曲線的最大加（減）速度經常是出現在折返點處，折返點一般情況下也是運動的最遠點，所以這種特性對于彈簧復位的機構充分利用彈簧的性能是有利的，可以較大幅度提升機構的效率。

樣條曲線的世界豐富多彩，這里僅擷取幾片浪花加以賞析，在實際運用時需同運動條件加以匹配，充分考慮載荷、時間、空間、成本等因素，不要單純套路一些固定公式，適合的，才是最合理的、最美妙的機械運動。