喚醒數學靈魂，突出數學本質
——以《弧度制》教學為例

江蘇省海門市四甲中學 夏 華

蘇教版普通高中教科書必修4 中明確指出本小節的重點：一方面，讓學生理解弧度的意義，并能正確地進行弧度與角度之間的換算，其中弧度的概念是本節課的教學難點；另一方面，弄清1 弧度的角的含義是我們建立弧度概念的關鍵所在。根據筆者多年的教學經歷發現，學生對于“為什么要引入弧度制”以及“如何定義1 弧度的角”始終覺得很突兀，感覺教材中對1 弧度角的“規定”就像是天上掉下來的一樣。下面結合筆者在一次市級比賽中對《弧度制》一課的設計與執教，談談如何在概念教學中運用數學史料，喚醒學生對數學概念產生的過程及背景的探究，感悟概念產生的必要性，突出數學本質。

一、情境創設，提出問題——引入弧度制的必要性

著名數學家華羅庚曾經說過：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。”本節課我們就從這句話開始體會其中的內涵。

師：上節課我們學習了“任意角”的概念，初中時我們度量角的單位是什么？

生：度。

師：1°角有多大？它是如何定義的？

師：1°角還可以細分，1°=60′，1′=60″。

師：將1°角作為角的度量單位，去度量其他角，像這種用度作單位去度量角的單位制叫作角度制。

【設計意圖】現已無法考證古人為什么要將圓周分為360 等份，據說是在公元前4000 年，古希臘人發現隨著四季更替，天上的星座呈現出周期性的變化，并且近似觀察出每360 天循環一次，也就是一年。古時候人們認為天圓地方，因此天（圓）就被等分成了360 份， 1 份即為1 度。雖然后來人們發現了一年大約是365 天，但是因為360 度已經使用多年，成為習慣，并且它在度量一些特殊角（平角、直角和一些正多邊形的內角）數據都是整數，非常好計算，所以就被保留了下來。

師：比如30°角是1°角的30 倍，那30°與sin 30°這兩個量能相加嗎？

生：30°是一個角度，sin 30°是一個實數，它們度量單位不統一，所以不能相加。

【設計意圖】在最初的時候，三角學屬于天文學的一部分，隨著時代的發展，它逐漸脫離天文學，成為數學的一個分支，特別是隨著近代數學的發展，人們發現用度作為角的單位度量角的大小，已不能滿足科學研究的需要。人們發現：如果能統一“角”與“實數”的度量單位，就能解決更多的實際問題。但是“角度運算是60 進制的”，而“實數運算是10進制的”，它更符合我們的日常習慣，于是人們就想：“角的大小能否也用一個實數來度量，這樣實數與實數就能相加。”那么“用什么樣的實數來度量角的大小”就成為我們迫切需要解決的問題。因此，人們就試圖定義一種新的度量角的單位制，經過幾代人數百年的努力，最終確立了另一種度量角的單位制——“弧度制”。

二、探究新知，揭示概念——弧度制的概念及公式表示

問題1：如圖1，在半徑為r的圓中，隨著弧長l的改變，圓心角α會發生怎樣的變化？它們之間有怎樣的關系？

生：弧長越長，角越大；或弧長越短，角越小。

師：反之，是否成立？

生：成立，即角越大，弧長也越長。

師：為什么角隨著弧長的改變而改變呢？大家在已有知識中能否找到依據？——基于代數的證明。

【設計意圖】弧度制不是瞬間確立的，而是經過古人長期的探索與反復實踐，慢慢摸索出來的，在此過程中，人們在思考一個問題：影響角的大小變化的因素有哪些？

師：基于上面的發現，請大家完成以下活動。

學生活動：如圖2，請各小組設計方案，比較∠AOB與∠COD的大小。

生：方案一：量角（量角器）；方案二：量弧長。

【設計意圖】數學探究活動就是讓學生自己動手去操作，進行探究、發現、思考、分析，然后歸納、概括獲得概念，并理解和解決問題的一種教學實施過程。在這個過程中，通過讓學生自己設計方案比較兩個角的大小，進一步體會弧長與角的大小變化的關系。

師：那么是否可以用弧長度量一個角的大小呢？請同學們思考下面一個問題。

問題2：如圖3，在半徑不同的圓中，長度相等的弧所對的圓心角的大小變化有何規律？

【設計意圖】雖然弧長是影響角的大小的一個因素，但不是唯一因素，半徑也是影響角的大小的因素，即在沒有其他限制條件下，弧長與角之間不是一一對應關系。

師：我們能否用一個實數的大小來度量圓心角的大小呢？

師：我們將這種度量角的方式叫作弧度制。

師：類比角度制，首先要定義“1 個單位的角”（即：度量單位）。

師：你能用自然語言給“1 弧度的角”下個定義嗎？

（學生思考并概括歸納）

1 弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1 弧度(radian)的角，記作1 rad（如圖4 所示）。這種用弧度作為角的單位來度量角的單位制叫弧度制(radian measure)。

師：根據角的旋轉方向不同，角有正角、負角、零角之分，相應地，我們也規定：正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數為0。

概念深化：

若圓的半徑為r，則長度為πr的弧所對的圓心角的大小為_rad。（生：π）

若圓的半徑為r，則長度為2πr的弧所對的圓心角的大小為_rad。（生：2π）

生：因為l與r都是長度，所以它們的比值是一個沒有單位的實數。

師：非常棒，也就是說弧度制其實就是用一個沒有單位的實數來度量角的大小。我們給它取了個單位“rad”，只是提醒我們這個數在此表示角。因此，在用弧度表示角的大小時，在不引起誤解的情況下，弧度單位“rad”可以省略不寫。比如：1 rad，2 rad，π rad，可分別簡寫成1，2，π。

三、深入探究，有機融合——弧度制與角度制的相互轉化

師：現在有了兩種度量角的單位制，它們有關系嗎？與角度制相比，1 rad 大約有多大？

教師引導學生通過幾何直觀，初步感受到1 rad 大約比60°略小一點（如圖5）；進一步，2 rad 大約比120°略小一點，是一個鈍角；3 rad 大約比180°略小一點，還是一個鈍角。

師：那么1 rad 到底有多大？弧度制與角度制“如何精確換算”呢？由前面的分析可知，平角的弧度數為π（如圖6），從而有：

例1：填寫下列各角的度數與弧度數的對應表。

度54° 300°2.5弧度

師：根據以上研究我們發現，在弧度制下，每一個角都能用一個實數來度量，反之，每一個實數也都能度量一個角。

這樣，角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R 之間就建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數（這個角的弧度數）與之對應；反之，每一個實數也有唯一的一個角（弧度數等于該實數的角）與之對應（如圖7）。

四、問題解決，遙相呼應——推導弧度制下的弧長及扇形面積公式

例2：如圖8，設長度為r的線段OA繞端點O旋轉形成角α（α為任意角，單位為弧度），若將此旋轉過程中點A所經過的路徑看成是圓心角α所對的弧，設弧長為l。

（1）求弧長l的值（用α與r表示）；

（2）若|α|≤2π，求扇形OAB的面積。

注：弧度制與角度制下的弧長公式與扇形面積公式比較。

弧度制 角度制弧長公式 l=|α|r|α|r2=lr S==lr 扇形面積公式 S=

師：可以發現，無論從結構還是數值上，弧度制下的公式都大為簡化。在今后的學習中，我們還將進一步看到弧度制帶來的便利。

師：回到本節課開始提出的問題，同學們，30°與sin 30°能相加嗎？

五、設計與思考

教科書首先通過類比及章頭圖引出弧度制，給出1 弧度的定義，然后通過探究得到弧度數的絕對值公式，并得出弧度與角度的換算方法。在此基礎上，通過具體例子，鞏固所學概念和公式，進一步認識引入弧度制的必要性。這樣可以盡量自然地引入弧度制，并讓學生在探究和解決問題的過程中更好地形成弧度概念，建立角的集合與實數集的一一對應關系，為學習任意角的三角函數奠定基礎。弧度制的引入，一方面統一了角與實數的度量單位，讓一些運算成為可能，提高了解決問題的效率；另一方面，在弧度制下，很多數學公式能大為簡化（如弧長公式、扇形的面積公式）。總之，弧度制的引入為后續三角函數的學習以及未來大學高等數學的學習奠定基礎。

本節課從高中學生學習數學的動機、需要、興趣出發，立足課堂實踐，運用數學史實施有效的“喚醒”，即從“屏蔽”模式化、經驗式的教學開始，建立基于學情、優化生態、尊重差異的新型課堂結構與價值訴求。

【備注：本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2018 年度課題《高中數學教學中“喚醒”藝術的美學建構研究》（編號D/2018/02/26）的階段性成果之一】