縱有萬變 殊途尋歸
——一道圓習題的變式教學課例

廣東省惠州市惠陽區崇雅實驗學校 李志平 歐陽衛彪

變式教學在初中數學教學中有著非常重要的作用，屬于一種教學方式，在教學過程中應用這一方式，就能將數學中所存在的一些問題、各項條件進行轉換，比如問題的形式、內容、條件等要素，這樣就能夠讓學生養成多角度思考問題的習慣，最大程度地提高學生思維的靈活性，使其解決問題的能力得到有效的提升。以下以一道課本圓習題為例說明幾何題變式教學的一般過程。

一、 變式教學過程

（一）原題導入

1.原題出處：新人教版《數學》教材九年級上冊 P123 復習題6：如圖1，大半圓中有n個半徑相等的小半圓，大半圓的弧長為L1，n個小半圓的弧長和為L2，探索L1和L2的關系并證明你的結論。

2.背景分析：此題在學生學習了圓的弧長及周長公式的基礎上，考查學生對圓弧長及周長公式的理解與靈活掌握。

（二）原題探析

1.思路分析：大圓的半徑實際上等于小圓的半徑之和，所以都乘π 之后，大圓的弧長等于小圓的弧長之和。

2.解題過程：L1=L2。理由如下：設n個小圓半徑依次為r1，r2，…，rn，則大圓半徑為r1+r2+…+rn，L2=πr1+πr2+…+πrn=π（r1+r2+…+rn）=L1。

3.考點分析：此題考查了圓的弧長公式及周長公式，運用總量等于各分量之和的數學思想。

（三）變式拓展

【變式1】如圖2，大半圓中有n個小半圓（每個小半圓半徑不同），大半圓的弧長為L1，n個小半圓的弧長為L2，探索L1和L2的關系并證明你的結論。

1.思路分析：雖然每個小半圓的半徑不同，但是依然不改變總量等于各分量之和，也就是說大圓的半徑實際上等于各小圓的半徑之和，從而得到L1=L2。

2.解題過程：L1=L2。理由如下：設n個小圓半徑依次為r1，r2，…+rn，則大圓半徑為r1+r2+…+rn，L2=πr1+πr2+…+πrn=π（r1+r2+…+rn）=L1。

3.考點分析：此題雖然改變了題目條件，但考點依然和原題保持了一致。

4.設計意圖：改變小半圓半徑的大小或位置（如圖3、圖4、圖5），形成多元化的圖形，增加學生對類似圖形求周長的理解，考查學生對處理各種類似圖形的處理能力，有利于培養學生的歸納能力和邏輯推理能力等數學素養。

【變式2】某公園計劃砌一個形狀如圖6 所示的噴水池（圖中長度單位：m），后來有人建議改為如圖7 的形狀，且外圓的半徑不變，請你比較兩種方案，確定哪一種方案砌各圓形水池的周邊需要的材料多。（提示：比較兩種方案中各圓形水池周長的和）

1.思路分析：先分別求出兩種方案中各圓形水池周長的和，再比較大小。

3.考點分析：本題來自人教版初中數學七年級上冊75 頁第9 題，本題的背景是整式的加減，所以它的考點主要就是含有字母的整式的合并同類項，同時也考查了學生對圓的周長的掌握，考查了總量等于各分量之和的數學思想，其思路方法與原題如出一轍。

4.設計意圖：把原題半圓變成整圓，豐富圖形的樣式，考查了學生的識圖能力，有利于培養學生的幾何直觀和邏輯推理等核心素養。

【變式3】如圖8 所示，大正方形中有n個邊長相等的小正方形，大正方形的周長為L1，內部圖形的周長為L2（不包括與大正方形的重合部分），探索L1和L2的關系并證明你的結論。

1.思路分析：此題延續了原題的風格，都是大含小，而且大小圖形都是相似圖形，但是解題方法卻大不同，對圖形（題目）的理解至關重要。

3.考點分析：本題主要考查了學生對圖形的理解識別能力，在結合代數式變形或整體代入思想的基礎上沿用了原題解題的核心思路，是一道由原題改編而來的創新題型。

4.設計意圖：把圓變成正方形，從求圓的弧長及周長遷移到求正方形的周長，同時也考查了幾何圖形的分析理解能力、等量代換等數學思想。

【變式4】某樓梯的側面視圖如圖9 所示，其中AB=4 m，∠BAC=30°，∠C=90°，因為某種活動要求鋪設紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為多少米？

1.思路分析：由圖可知，把每個小三角形的兩條直角邊分別平移到大直角三角形的邊AC和BC上可知地毯的長度實際上等于大直角三角形的兩條直角邊之和。

3.考點分析：本題考查了學生通過平移來理解總量等于各分量之和，也考查了對勾股定理的應用以及含有30°角的直角三角形的性質。

4.設計意圖：把圓變成直角三角形，從求圓的弧長及周長遷移到求直角三角形的邊長及周長，但依然考查了總量等于各分量之和的數學思想，也考查了幾何圖形平移的性質。

（四）感悟提升

通過變式教學，使學生靈活掌握圓的周長以及弧長公式，正方形的周長以及幾何圖形的平移性質、勾股定理的應用。從幾何過渡到代數，從部分過渡到整體，學生的思維得到了發散，課堂教學效率得到了極大的提高，同時，在問題的有序變化中發現知識之間的內在聯系，從而增強了舉一反三、觸類旁通的解題能力，很好地培養了學生的符號意識、幾何直觀及邏輯推理等數學素養。

（五）檢測評價

1.如圖10，大圓中有n個小圓，大圓的周長為L1，n個小圓的周長和為L2，探索L1和L2的關系并證明你的結論。

2.如圖11，這是一個花臺的平面圖，正方形的邊長為20 米，小圓的半徑均為5 米，求這個花臺的周長。

3.如圖12，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都是0.5 cm。求圖中三個扇形（陰影部分）的面積之和（可拓展到任意多邊形）。

二、小結

本文以教材一道圓習題的變式教學探究為例，說明了幾何題變式教學的“原題導入—原題探析—變式拓展—感悟提升—檢測評價”五步課堂教學模式，為廣大一線數學教師提供了參考模式。