“演繹推理”在小學數學教學中的重要性

安徽省廣德市祠山崗學校 張元生

本學期，我們六年級數學組的課例研究聚焦于 “數學思考”新增的兩道例題：例3：“△、□、○、☆、◎各代表一個數。（1）已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。（2）已知：○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？”例4：“什么是平角？平角與直線有什么區別？（1）每相鄰兩個角可以組成一個平角，一共能組成幾個平角？（2）您能推出∠1=∠3 嗎？”

從教材編排來看，例3 是等量代換的內容，等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，是演繹推理的基礎。例3 中，△ 、□的值是以等量代換為基礎逐步推理得出的。例4 是一道經典的用演繹推理來進行證明的幾何題。這兩道例題逐層推進：從“通過演繹推理得到結果——例3（1）”到“通過演繹推理得到結論——例3（2）”，再到“用演繹推理進行幾何證明——例4”，這一過程是演繹推理經驗逐步積累的過程。按教材編排特點，這兩道例題是可以作為一課時內容進行教學的，于是，我們以“數學思考——簡單的推理”為課題，開始了磨課活動。

一、一磨——生搬硬套

我們以“依據條件用有邏輯的數學語言表達推理過程”為主要目標，以“初識推理（例3〈1〉）→再識推理（例3〈2〉）→拓展延伸（例4）”為教學思路開始第一次磨課。

沒想到，教學中第一環節就出現了問題。當出示例3（1）后，大概3 分鐘，多數學生都能說出△ 、□的值。指名口答時，學生基本都能說出關鍵：將“△+□=24”中的△換成“□+□+□”。但當老師要求學生一步一步說清楚自己的想法，并說出每一步的依據時，學生面面相覷，不知所措。于是，老師借助課件，一步一步帶領學生推理，并指導每一步推理的依據。之后，例3（2）與例4 的教學，學生更是畏畏縮縮，教師只得生搬硬套，勉強完成教學任務，而“依據條件用有邏輯的數學語言表達推理過程”的主要目標沒有達成。

為什么會這樣？這一課的難點在哪兒？如何才能有所突破呢？我們認為，這一課最大的困難是學生缺乏演繹推理的經驗。

要想有所突破，首先，應該要有必要的鋪墊，要讓學生明白什么是演繹推理的依據，哪些可以作為演繹推理的依據。其次，要讓學生知道演繹推理的過程，應是從已知開始，逐步推理出結論的過程。最后是要幫助學生構建推理的模式，借助模式進行有邏輯的數學表達。

二、二磨——越俎代庖

根據大家的建議修改了教學設計后，二磨開始了。課前老師與學生以“仔細地觀察，認真地思考，規范、嚴謹地表述”為主題與學生進行了交流，鼓勵學生在本節課能規范、嚴謹地表述自己的想法，并說明：嚴謹，就是要說清楚依據，然后以兩個小問題導入本課：

1.∠1+ ∠2=？你的依據是什么？

2.如果x+5=22，那么x=？依據是什么？

之后的例2 兩個小題的教學中，教師在學生交流的基礎上，構建了“已知：_，可得：_（依據：_），所以_（依據：_）”的表述模式，并引導學生表述推理過程，教學比較順利。但當老師出示例4（2）“你能推出∠1=∠3 嗎？”的問題，放手讓學生自主推理時，問題出現了：全班只有幾個同學舉手，而且也是支支吾吾，表述不清。

應該說，導入環節有一定的鋪墊作用，可以喚起學生的知識儲備，知道“平角=180°”“等式的性質”等是進行推理的依據（課中說依據時，明顯比上一課順暢），例3 教學時的表述模式，也應該能讓學生說清楚推理過程。為什么到例4 教學環節時，還是這樣困難呢？如何才能有進一步突破呢？

我們分析，例3 的教學有“越俎代庖”之嫌，教師根據學生的交流進行整理，以課件出示的形式完善表述模式，但這只能讓學生初步感知，而無法逐步內化。學生演繹推理的經驗積累過程，并不是一個范例可以解決的。我們考慮，“用數學語言嚴謹地表達”的學習過程，應要讓學生經歷“示范模式→填空模式→自主推理”的過程；推理的體驗過程，應該要讓學生經歷從最簡單模式（已知→結果）到稍復雜模式（已知→過渡結論→結論）的過程。只有在這樣的過程中，學生不斷反思總結，不斷積累經驗，才能最終“水到渠成”。

三、三磨——水到渠成

教學設計在大家的建議下修改完善，由我執教開始了第三次磨課。

1.起點——學生的最近發展區

師出示右圖，問：∠1+∠2=？

生：180°。

師追問：為什么？

生：∠1、∠2 可以組成一個平角。

師：那為什么是180°呢？

生：因為平角是180°。

師出示：因為 ∠1 和∠2 可以組成一個平角，所以∠1+ ∠2=180°（依據：平角=180°）。

師：數學的表達重在嚴謹規范，當老師提問“∠1+ ∠2=？”時，你能像這樣把你的想法說清楚、說完整，你就是最棒的！

師再出示：已知x+5=22，可得x=？

生：已知x+5=22，可得x=17，依據是等式的性質。

教學的切入點應要直擊學生的最近發展區。本課“依據條件用有邏輯的數學語言表達推理過程”這一目標實現有較大難度的原因在于學生表達經驗的匱乏，那我們就尋找學生最易表達的范例，引領學生走入最近發展區，以此為基礎逐步推進，幫助學生逐步積累數學表達的經驗。

2.示范——構建數學表達模式

師出示：△、□、○各代表一個數。已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。

學生觀察、思考、計算。

師：△、□的值各是多少？你是怎么想的？

生：□的值是6，△的值是18。可以把△+□=24 中的“△”換成“□+□+□”，求出□=6，那么△=24-6=18。

師：“△”能換成“□+□+□”嗎？為什么？

生：可以，因為△ =□+□+□。

師：一個量用與它相等的量去代替，這就是“等量代換”。同學們，你們能規范、嚴謹地把想法說清楚嗎？試試看。

師逐步引導學生說清楚推理過程，并交流每一步推理的依據，最后課件出示：已知：△+□=24，△ =□+ □+ □。

可得：□+ □+ □ +□=24（依據：等量代換），

即：4×□=24（依據：乘法意義），

所以：□=6（依據：等式性質）。

3.填空——模式內化的階梯

師再出示：□=6，那么△=？

生齊說：△=18。

師課件出示：已知：_，可得：_（依據：_），所以：_（依據：_）。

師：你能借助這個模式把你的想法說清楚嗎？

生1：已知□=6，△+□=24，可得……

生2：已知□=6，△=□+ □+ □，可得……

教師在教學中，對于“□=6，那么△=？”的問題往往一帶而過，但我認為這應是學生演繹推理經驗積累的一大契機。首先，同一題目中由完整模式的示范到填空模式的嘗試的過程，是學生將模式逐步內化的必要過程，是學生演繹推理的必要過渡。其次，選擇不同的已知條件：“□=6，△+□=24” “□=6，△=□+ □+ □”推導出相同的結果：△=18。可以讓學生初步感知演繹推理的方法多樣性，為例4 推理的方法多樣性埋下伏筆。

4.回想——推理模式建構、方法掌握的催化劑

師出示：○、☆、◎各代表一個數。已知：○+☆=160， ◎+☆=160。那么：○ 是否等于◎？

學生觀察思考后交流。

生1：因為“○=160-☆，◎=160-☆”，所以“○=◎”。

生2：因為“○+☆=◎+☆”，所以“○=◎”。

師：回想一下我們之前的表述過程，你們能將他們的想法規范、嚴謹地表述出來嗎？

生互相交流后反饋。師以“已知：_， 可得：_（依據：_），所以：_，（依據：_）”的模式板書。

教師引導學生對比兩種推理方法。

5.自主——推理方法的鞏固與拓展

出示右圖。

師：你知道哪些角的和是180°嗎？請規范、嚴謹地回答。

生：因為∠1 和 ∠2 組成一個平角，所以∠1+ ∠2=180°，依據是平角=180°……

師根據學生口答，逐步出示：∠1+ ∠2=180°，∠2+ ∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠4+ ∠1=180°。

師：以這些為已知條件，你能推出∠1=∠3 嗎？請將推理過程完整地寫在作業紙上。

師借助展臺展示學生推理過程。

……

演繹推理在小學階段以例題形式出現，可看出編者重視小學與初中數學教學的延續性，有意識地滲透初中內容，為學生未來的數學學習作必要的準備和鋪墊。我們一線教師應該要思考編寫意圖，把教學重心放在對演繹推理這一方法的感悟和體驗，從而積累演繹推理的初步經驗。