高中數學線性規劃類型及求解策略

■甘肅省天水市第八中學 張滿君

一、線性目標函數最值問題及其解答策略分析

求解線性目標函數的最值問題屬于考試的基礎題型，多出現于選擇題和填空題，因為其難度不大，學生較為容易掌握。遇到這類問題時，學生需要根據題目要求，采用圖解法一步步求解，這類題型的關鍵點就是需要學生認真審題，在全面清楚地了解題目要求后再動筆解答，切忌粗心大意。

題目分析：學生具體解答時應該根據題設條件畫出數值的可行域，而后將目標函數平移，結合可行域具體分析得出題目要求的最大值。具體可行域如右圖1所示：

由圖一我們可以非常明了地得出函數z = 3x + 2y 圖像在可行域的移動范圍，越往右上角移動其數值越大，聯立方程組進行求解，可以得出A點的具體坐標為（10,20），代入方程組z = 3x + 2y可以得出其最大值為70。

圖1

點評:該類型題目基本沒有難度，教師應該讓學生明確解題的具體步驟，保證看清題目以免因為粗心大意失分。具體解題過程，首先應該正確地畫出可行域的范圍，準確地計算出直線方程的交點坐標。其次，應該看清題目給出的問題，是求最大值還是最小值，而后根據得出的可行域和極點坐標，保證目標函數圖像移動方向的正確性。最后綜合分析得出正確答案。

二、非線性目標函數極值問題及其解答策略分析

線性規劃中還存在一類求極值題型，其目標函數不是線性函數，難度相比線性目標函數有所增加，采用平移圖像的方法無法直接得出結論。但是在解題中仍然需要畫出正確的可行域范圍，而后學生需要認真觀察非線性目標函數，查看其是否是特殊的圖像函數，具體如圓、橢圓、拋物線等，而后借助其具體性質進行求解。

題目分析：在實際教學中學生對于求解這類型非線性規劃題目存在一定的恐懼心理，因為不像線性函數那樣直觀明了，教師首先應該根據學生心理將大問題細分，將困難點逐個擊破，給學生建立起解題的自信心，只有這樣才能在答題時擁有更加清晰的思路。

結合題目我們首先需要根據已知條件畫出方程的可行域如圖2，但是該方程并不是線性函數，因此需要對目標函數進行簡化精減，即，z=x2+y2-10x+ 25=x2+(y- 5)2，由此我們可以看出可行域中的點到點M(0,5)距離平方的最小值，也就是距離最近的點。

接下來，根據題目設定的條件我們畫出圖2，表示出可行域范圍，解答時過點M 做AC 線段的垂直線，MN 長度的平方即為所求的結果，利用點到直線的距離公式，我們可以直接求解出MN的長度的平方值為。所以z=x2+y2- 10x+ 25 在方程組中的最小值為。

圖2

后續點評：解答目標函數如果為非線性函數題型時，除了需要正確精準地畫出題目要求的可行域范圍外，最為關鍵的還是需要對目標函數進行巧妙的等式轉換，將非線性函數變為已知的函數模型，借助集合意義進行最終求解。

例如目標函數為z=(x-a)2+ (y-b)2的形式，可以看作是可行域中點到點(A,B)的距離，目標函數如果可以轉換成為圓方程，應該通過圓心的坐標進行目標轉換，進而快速得到答案。總之，學生在面對這類型題目時需要擁有平常心，仔細分析目標函數的形式，盡量地簡化成為已知的函數形式，這需要學生在課下自行鍛煉和總結。

三、目標函數參數的解答策略分析

線性規劃中，目標函數參數問題屬于線性規劃中逆向思維的題目類型，不同于上面講到的線性函數和非線性函數，題目靈活性極強，解析難度較大。大部分學生因為沒有系統性地理解線性規劃題目的核心，面對這類題目時經常不知道如何下手，實際上只要明確目標函數最值一般在可行域邊界交點處，而后借助數形結合思想也就不難進行解答。

A.-5 B.1 C.2 D.3

題目分析：解答這類型題目的時候，應該認真分析題目的前置條件，首先將不等式中兩個已知的直線方程在坐標中表達出來，而分析ax-y+ 1 ≥0 恒 過 點（0,1），即可以看作是圍繞點（0,1）進行旋轉的直線，所以，可以根據這些因素做出如圖3 所示的圖形：

接下來進一步觀察題目給出的四個選項，逐個進行分析。當a=-5時，可行域不是封閉的圖形，不符合題目條件所以舍去；當a= 1時可以很容易地得出可行域面積為1，保留繼續分析；當a= 2 時，可行域的面積為3/2；而當a= 3 時，可行域面積為2。綜合分析可以很容易得出只有D選項是最為符合題目要求的，所以正確答案應該是D選項。

題目點評：線性規劃中目標函數求解的題目特點是參數難度大，圖形復雜，學生如果沒能掌握一定的技巧很難進行分析。就上面例題具體分析來看，很多學生不能把握住題目的關鍵點，也就是ax-y+1≥0恒過點(0,1)這個隱含條件，錯失分數。因此解答這類型題目時，學生應該認真分析所有已知條件，先將已知的直線圖像表示在平面直角坐標系中，接下來分析具體的直線方程，找出其中隱藏的條件，教師應該針對性地加強這類題目的訓練，只有讓學生見到更多題目，才能更好地掌握這種題型的解題技巧。

圖3

四、結語

綜上所述，線性規劃是高中數學中較為重要的內容，在考試中因為題型靈活多變，教師需要針對性地總結出其中各類型題目的解題方法，并加強這類題型的練習，將習題量和方法技巧有機結合起來，確保學生真正掌握這一基礎知識，以達到快速提升學生線性規劃問題的解題效率的最終目的。