兩版高中數學教材“三角函數”內容比較研究

葉立軍 王思凱

【摘 要】 從設計特征、知識編排、例習題設置等方面比較兩版教材三角函數內容，得出新版教材特征：體現以生為本的“學材觀”，為學生提供更多學習機會;突出單元任務群意識，幫助學生加深對知識的整體理解;借助工具“以形助數”，促進學生對知識的直觀理解;注重三角函數與生活實際的聯系，凸顯函數建模過程.由此提出教學建議：落實“學為中心”的教學理念，培養學生終身學習的能力;注重單元整合，發展學生數學核心素養;發揮信息技術輔助教學的直觀功能，提升學生直觀想象素養;重視過程性教學，促進學生數學思維發展.

【關鍵詞】 三角函數;高中數學;教材;比較研究

1 研究背景

《普通高中數學課程標準（2017年版）》的頒布，正式提出了六大數學核心素養，發展學生數學核心素養成為數學課程的核心目標.數學教材是數學課程標準的具體化，編寫以培養學生核心素養為特色的教材，是高中數學課程改革的主要亮點[1].三角函數作為一類典型的周期函數，曾是天文學研究的重要工具，是各國高中數學課程的核心內容之一[2]，其內容編排在教材修訂的過程中也發生了變化.

2 研究目的

根據教材文本內容，從宏觀和微觀兩個角度對教材進行定性和定量分析，比較兩版教材在設計特征、知識編排、例習題設置等方面的情況，歸納新版教材特征，并對教師使用新版教材提出教學建議.

3 研究設計

3.1 研究對象

選擇2019年新版普通高中數學教科書[3]（下簡稱“新版教材”）和2004版普通高中課程標準實驗教科書[4]（下簡稱“舊版教材”），運用文本分析法和統計分析法，對新舊兩版教材三角函數內容進行比較研究.3.2 研究框架

從宏觀和微觀兩個角度構建教材比較模型，得到圖1的研究框架.其中，宏觀比較是從體例結構和章節設置兩方面分析兩版教材的三角函數內容;微觀比較是著眼于三角函數內容的知識點和例習題，從知識編排、素材選取、例習題設置三方面進行分析.

4 研究過程及結果

4.1 宏觀比較

4.1.1 體例結構

整理兩版教材三角函數內容的體例結構，得到圖2和圖3.

由圖2和圖3可知，兩版教材的體例結構均遵循“章導入——正文——小結——復習”的順序，但在具體設置上存在差異.舊版教材共安排43處“思考”“探究”，而新版教材有49處，以問題（鏈）的形式提供學生更多思考機會，突出“問題引導學習”的理念.而且新版教材在“思考”“探究”體例編排中滲透類比、化歸等數學思想方法，引導學生在問題探究中學會將未知轉化為已知.另外，新版教材在各節均設置導入語（如圖5），從不同背景引出本節研究問題，幫助學生明確學習任務，引領學生數學思考，并通過聯系或類比前面所學內容呈現學習思路，為學生后續探究活動提供方法上的引導.

4.1.2 章節設置

整理兩版教材三角函數內容的章節設置，得到表1.

由表1可知，新版教材將舊版教材的兩章內容整合為一章，注重三角函數內容的整體性.具體比較發現：第一，新版教材以角與弧度作為刻畫圓周運動的預備知識，按照“背景——對象——概念——圖象——性質——應用”的結構展開各節編排;第二，如圖6所示，新版教材以單位圓為紐帶串聯三角函數知識，充分發揮單位圓對學習三角函數知識的輔助作用，借助其“形”讓學生直觀感知學習對象，強調知識間的有機銜接.

4.2 微觀比較

4.2.1 知識編排

“三角函數的概念”和“函數y=Asin（ωx+φ）及其應用”是三角函數學習中的重要內容，比較兩版教材這兩部分內容的知識編排，分別得到表2和表3.

由表2可知，新版教材按照“明確研究對象——分析對應關系——定義——性質”的路徑編排知識：（1）將三角函數的研究對象“周期現象”簡單化為單位圓上點的旋轉運動，以“建立數學模型刻畫點的位置變換情況”任務引領學生學習，也為后續學生自然借助單位圓探究內容做鋪墊;（2）引導學生探究給定角的終邊與單位圓交點的坐標是否唯一確定并一般化為任意角的情況，突出三角函數“角的弧度數與點的橫縱坐標”的本質，有助于學生運用已有函數概念深化對三角函數定義的理解;（3）借助例題探究三角函數坐標比的定義引導學生思考三角函數兩種定義之間的等價性.另外，新版教材刪去正弦線、余弦線等知識，以凸顯單位圓在學習三角函數內容中的重要輔助作用.

由表3可知，新版教材從分析筒車灌溉時盛水桶的運動規律入手選擇三角函數構建盛水桶運動的數學模型，得到y=Asin（ωx+φ），并安排摩天輪實例讓學生經歷問題分析、模型建立、模型求解、模型應用解決問題的步驟，體現函數建模的思想.同時，新版教材選擇勻速圓周運動、物理中的周期現象、局部范圍內周期變化現象的近似刻畫等實例介紹三角函數的應用，是從三角函數模型的直接應用走向變式應用，既體現三角函數應用的豐富性和層次性，又有助于學生更好體會模型的實際應用，感悟建模思想.

4.2.2 素材選取

比較兩版教材三角函數內容的素材選取情況，得到圖7.

由圖7可知，新版教材的素材總數多于舊版教材，但是兩版教材都選擇自然現象（如潮汐）、學科（如簡諧運動）、生理（如血糖濃度）、數學史（如三角函數表）等不同素材，注重知識背景的多樣化.具體來看，新版教材精選生活素材，刪去手表校準、電視發射塔等素材，增加鐘擺擺動、水中浮標上下浮動、琴弦振動等生活中的周期運動變化現象，更體現三角函數與現實生活的密切聯系.而且新版教材選取水車、摩天輪等現實素材，引導學生經歷真實的建立三角函數模型解決實際問題的過程，凸顯模型的現實應用性.

4.2.3 例習題設置

統計兩版教材三角函數內容的例習題數量，得到表4.

由表4可知，與舊版教材相比，新版教材的例習題總數減少，習題和復習參考題的數量減少，練習的數量適當增加，例題的數量無明顯變化.但兩版教材的例習題均包括例題、練習、習題和復習參考題四類，且配備足夠數量的題目以保證學生鞏固知識的必要訓練.

根據綜合難度模型[5]，比較兩版教材例習題的綜合難度，得到圖8.

由圖8可知，在背景方面，兩版教材例習題背景的來源單一，以純數學背景為主，但新版教材的數值略高于舊版教材，選取花壇、摩天輪等素材，注重知識與生活的聯系.在數學認知上，新版教材的數值明顯高于舊版教材.新版教材增設多項選擇題以及開放性問題，綜合考察學生三角函數知識的理解和應用，保證必要的數學思維訓練.另外，兩版教材例習題處于“操作”水平居多，重視三角函數公式的識記與直接應用.

在運算方面，兩版教材的“簡單符號運算”最多，“無運算”次之，大多數例習題均涉及數學中常見的三角函數符號，注重學生對三角函數值的求解.在推理和知識綜合方面，新版教材的數量都略高于舊版教材.新版教材刪減直接應用公式求解三角函數值等簡單重復的題目，控制題量的同時注重學生知識的理解和綜合應用.

5 ?研究結論

5.1 新版教材體現以生為本的“學材觀”，為學生提供更多學習機會

新版教材在各節編排上均設置節前導入語，幫助學生把握主要研究問題，并指引思考方向，引領學生數學思考;而且安排“探究”“思考”等體例，以問題（鏈）驅動的形式引導學生自主建構知識，為學生進行探究學習提供機會和可能.同時，新版教材從學生學習需求出發，增設開放性的習題供學生自主開展探究活動，培養學生發散思維.

5.2 新版教材突出單元任務群意識，幫助學生加深對知識的整體理解

新版教材圍繞三角函數是刻畫勻速圓周運動的數學模型，按照“背景——角與弧度——概念——圖象、基本性質——其他性質——模型應用”的結構編排章節內容，且各節均先以導入語引出核心探究任務，再以問題為中心實現任務的驅動.新版教材通過設置一系列前后關聯的探究任務，展開三角函數知識的學習過程，既體現了單元任務群的意識，又注重知識間的有機銜接，有助于學生整體把握三角函數內容.

5.3 新版教材借助工具“以形助數”，促進學生對知識的直觀理解

新版教材將單位圓作為三角函數內容學習的重要載體，運用信息技術充分發揮單位圓的工具性作用，直觀呈現探究問題的信息，并借助單位圓的幾何要素及性質讓學生獲得對三角函數概念、誘導公式等知識的直觀感知，以此建立形與數的聯系，以形助數，幫助學生直觀理解三角函數知識.

5.4 新版教材注重三角函數與生活實際的聯系，凸顯函數建模過程

新版教材增加鐘擺、水中浮標等生活素材，列舉生活中的周期性運動變化現象，豐富知識的生活背景，并在習題中增加生活背景，體現三角函數與現實生活的密切聯系.而且新版教材從水車灌溉的實際問題出發，選擇三角函數構建水桶運動的數學模型，并以摩天輪、港口水深等典型實例讓學生經歷數學建模解決實際問題的步驟，突出函數建模過程.

6 ?研究啟示

6.1 落實“學為中心”的教學理念，培養學生終身學習的能力

學為中心的課堂強調自主學習先于合作，將學生思考、理解和能力提高放在首位，教師起組織、引導和幫助學生學習的作用[6].教師在課堂中應扮演先行組織者的角色，從學生學習需要出發合理安排教學活動，充分發揮學生學習的主觀能動性，為學生自主學習提供更多機會，從而幫助學生積累學習經驗，發展終身學習的能力.例如，教師可以通過任務驅動的形式帶領學生閱讀章節導入語，引領學生數學思考，并借助“探究”“思考”等欄目，設置合理的腳手架為學生提供探究資源，指引思考方向，激發學生深度思考.

6.2 注重單元整合，發展學生數學核心素養

單元教學設計是在整體思維指導下，統籌重組和優化教材內容，突出數學內容的主線及知識的關聯性，提升學生數學核心素養[7].教師應樹立整體意識，圍繞核心探究任務，分析并重組教材中具有內在關聯的知識內容，通過單元整合使得局部范圍內的知識結構化，幫助學生合理建構系統化的認知結構.例如，教師可以圍繞函數性質的學習過程整合正、余弦函數的圖象、性質等內容，將之劃分為：①由定義繪制圖象（三角函數圖象的畫法）;②觀察圖象研究性質（周期性等）;③圖象與性質的應用，以此展開單元教學，使不同知識互相聯結，構成有機整體，幫助學生積累函數知識學習的基本經驗，發展數學素養.

6.3 發揮信息技術輔助教學的直觀功能，提升學生直觀想象素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：數學教學應注重信息技術與課程的深度融合[8].教師要充分利用信息技術輔助課堂教學的優勢，發揮幾何畫板、計算機等信息技術豐富的制圖與動態呈現功能，通過直觀演示將抽象的數學知識可視化，借助“形”的直觀幫助學生深化知識理解，提升直觀想象素養.例如，教師借助信息技術動態呈現任意角的終邊與單位圓交點的坐標變化，讓學生直觀感知交點坐標的唯一確定以獲得對三角函數概念的本質理解;利用信息技術在單位圓上取點繪制圖象，使學生直觀理解三角函數的周期性.

6.4 重視過程性教學，促進學生數學思維發展

數學是思維的體操，啟發學生的數學思考是數學教學的關鍵[9].教師在教學中要引導學生經歷數學知識的發生發展過程，在過程性體驗中開展認知活動，啟發學生數學思考，鍛煉學生數學思維.例如，教師可以從數學活動的三個階段（對經驗材料的數學組織、對數學材料的邏輯組織、對數學理論的應用）出發設計三角函數模型的教學活動，選取典型實例安排學生依次經歷問題分析、建模、求模、用模的過程，讓學生在參與建模活動過程中習得數學建模基本經驗，提升建模能力，促進思維發展.

參考文獻

[1] 章建躍.高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J].課程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.

[2] 宋丹丹，曹一鳴.高中三角函數內容的國際比較——基于12個國家高中數學課程標準的研究[J].中學數學教學參考，2017（Z1）：131-133.

[3] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著.普通高中教科書數學必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.6：167-257.

[4] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著.普通高中課程標準實驗教科書數學必修4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.2：1-71，122-147.

[5] 王建磐，鮑建生.高中數學教材中例題的綜合難度的國際比較[J].全球教育展望，2014，43（08）：101-110.

[6] 許芬英.學為中心的初中數學課堂特征和教學基本模式初探[J].課程·教材·教法，2014，34（05）：53-57.

[7] 呂世虎，楊婷，吳振英.數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟[J].當代教育與文化，2016，8（04）：41-46.

[8] 中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.1.

[9] 史寧中，王尚志主編. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.5.