三角函數(shù)概念教學

【摘 要】 三角函數(shù)作為高中一個重要的知識點，不僅是重要的周期函數(shù)模型還是解析幾何中的重要工具.三角函數(shù)的概念定義有兩種，這兩種定義可以由三角形相似原理聯(lián)系起來，任意一種都有它的優(yōu)點也有不足，我們不能單純批判或拋棄其中任意一種.為了幫助學生建立更加完善的知識網(wǎng)，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)，教師應該合理安排教學內(nèi)容順序，使得兩種定義方式發(fā)揮其最大作用.

【關鍵詞】 三角函數(shù);高中概念教學;數(shù)學核心素養(yǎng)

1 問題提出

三角函數(shù)是將角度與線段長度比值聯(lián)系起來的橋梁，使得我們對角度能夠進行更加深刻的學習研究以及應用.在數(shù)學不斷發(fā)展的過程中，由于應用和研究思路等各種原因影響，三角函數(shù)的定義方式演化出了兩種，分別是單位圓定義法和終邊定義法.在學術界內(nèi)關于高中三角函數(shù)到底應該采用那種定義形式的爭議一直沒有定論，在高中數(shù)學人教版課程教材中，這一點體現(xiàn)的十分明顯，在人教A版教材中采用的是單位圓定義法，在人教B版教材中采用的是終邊定義法.那我們究竟該如何抉擇，二者真的有優(yōu)劣之分嗎？

2 兩種定義方式

這兩種定義法各有其支持者，他們各持己見，各自都在為自己的觀點出謀劃策.章建躍教授曾談到以單位圓作為載體來講授以上知識點的優(yōu)越性，即任意角α的終邊與單位圓的交點P（x，y）唯一確定，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應關系為：角α（弧度）對應于點P的縱坐標y為正弦值，角α（弧度）對應于點P的橫坐標x為余弦值，這可以得到非常清楚、明確并且很簡潔的表示.由于單位圓上易于動態(tài)演示，促進學生將靜態(tài)的角度想象成動態(tài)的角度變化，這樣就易于學生學習三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì).由于三角恒等變換跟角度變換緊密相關，角度的變換實質(zhì)上是任意角α終旋轉的結果，所以單位圓上動態(tài)的過程也利于三角恒等變換的學習.終邊定義法的支持者大多是一線教師，他們的認為單位圓定義法的不足之處在于缺乏一般性.認真思考一下為什么教師們會有這樣的觀點，主要是由于在三角函數(shù)定義的上一節(jié)是“弧度制”，其中對于任意角所對應的圓的半徑不一定是單位1.

總結一下兩個陣營的看法，終邊定義法的支持者認為：單位圓定義法有兩大突出不足，其一就是缺乏一般性，由于其規(guī)定交點為終邊與單位圓的交點，即要求點P（x，y）需要滿足x2+y2=1，這樣的規(guī)定就使得該定義方式缺少了數(shù)學定義一般性的要求，而終邊定義法在這一方面更具優(yōu)越性，它需要的只是終邊上的任意點P，將一般性展現(xiàn)的淋漓盡致;其二是認為單位圓定義法不利于解題，由于其是在單位圓上進行的定義，使得學生在解題時若遇到半徑不那么特殊的情況時就容易出現(xiàn)遷移偏差，例如學生在遇到點P（3，4）時，按照單位圓定義法的思路應該先把P點變?yōu)镻（35，45）再進行三角函數(shù)的求解，無形之中增加了解題步驟，也就增大了犯錯幾率.而單位圓定義法的支持者認為：終邊定義法的不足在于其幾何含義不夠清晰，沒能清楚表達“角的數(shù)集到比值數(shù)集的對應”這樣的函數(shù)觀念，而且由于不能很好地利用數(shù)形結合，所以也不利于學生學習周期性等函數(shù)性質(zhì)，單位圓定義法需要緊扣單位圓圖形進行后續(xù)學習，如果結合單位圓上點的動態(tài)運動過程將更有利于學生理解周期性，單調(diào)性，對稱性;還有一點就是終邊定義法不利于學生對弧度制的學習，不利于對弧度制引入必要性的理解.

3 深度認識兩種定義方式

無論是采用終邊定義法還是單位圓定義法，在引入三角函數(shù)概念之前都會先給學生灌輸弧度制思想，即率先將學生對于角度的以往認知（局限于360°內(nèi)和一些熟悉的特殊角度），拓寬到了整個實數(shù)范圍內(nèi)，并且初步涉及了周期性，即終邊重合的角度不一定相等，中間可能差了好幾個周期.在這樣的認知基礎之上，終邊定義法和單位圓定義法雖各有不足，但又各有所長，二者看似是兩種定義方式，本質(zhì)上卻是一樣的.

二者同樣都是以終邊上的點為基礎來進行定義，單位圓定義法是以終邊與單位圓的交點為基礎，終邊定義法雖說是以終邊上的任意點為基礎，但是實則是以終邊與半徑r為x2+y2的圓的交點為基礎，其實只是將單位圓的半徑擴大了x2+y2倍，如下圖3所示：

由于二者對三角函數(shù)值的定義是比值形式，由三角形的相似性可知這樣的成倍擴大或縮小并不會對三角函數(shù)值有影響，終邊上任意點都可以通過三角形相似對應到單位圓上，單位圓上的點也可以通過三角形相似推廣到任意點，即三角函數(shù)值和終邊上所取點的位置無關，從這個角度來說這兩種定義形式是一致的.由于二者可以以三角形相似為橋梁進行相互轉換，那么二者的優(yōu)點都是互通的.終邊定義法與單位圓定義法一樣都具有清晰的幾何含義，也可以很好利用數(shù)形結合幫助學生學習函數(shù)性質(zhì).同理而言，單位圓定義法中規(guī)定的終邊與單位圓的交點也具有一般性.

為了引導學生能構建更加完善的知識網(wǎng)絡，從而達到高中階段的學習目標，我們可以嘗試將兩種方法都傳授給學生，按照一定的講授順序，承上啟下，讓兩種思想各司其職互相遷移，從而開闊學生的思維.

筆者認為教師對任一數(shù)學概念的講授更應該著眼于全局，對任一概念的講授應該利于學生整體知識網(wǎng)絡的建構.三角函數(shù)概念建立的前一節(jié)是弧度制，后一節(jié)是三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像.弧度制的核心任務是要學生學會任意角度與弧度的互化，即強調(diào)了任意性，最常見的一種練習題類型就是：已知半徑為120mm的圓上的一條弧長為144mm，求此弧所對圓心角的弧度數(shù)與角度數(shù).即此時學生意識中任意角的終邊上的點到圓心的距離（半徑）并不都是1，而是任意正實數(shù).如果在這樣的認知基礎上，在講授三角函數(shù)定義時突然規(guī)定用單位圓來定義，許多學生或許不能理解為什么一定要是單位圓.三角函數(shù)概念建立的后一節(jié)是三角函數(shù)的性質(zhì)，如果仍然堅持緊隨終邊定義法，以任意點P（x，y）的正弦sinα=yx2+y2，余弦cosα=xx2+y2來講解函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)，由于計算量大大增加，若不能依靠類似于幾何畫板這樣的技術軟件，單靠學生計算來探究是很難抽象概括出這些函數(shù)性質(zhì)，若完全依賴于技術軟件，缺乏活動探究經(jīng)驗的學生又如何深刻體會這些函數(shù)性質(zhì)，從而達到概念定理靈活應用呢.根據(jù)以上分析，我們可以總結出：單位圓定義法不利于承前，終邊定義法不利于啟后.

哲學上認為存在即合理，這兩種定義方式能經(jīng)歷歷史長河大浪淘沙傳承至今，必定是因為它們有他們的存在必要性，我們不應該隨意批判其中任意一種定義方式.要使得學生能流暢學習所有內(nèi)容，我們最好的選擇就是結合兩種定義法，高效利用二者的長處，使得學生對三角函數(shù)能有更好的認識，從而提高解決問題的能力.

4 總結

建議的講解順序是先講終邊定義法，然后以任意點P（x，y）到原點的距離x2+y2為半徑以原點為圓心構造圓，隨后畫出單位圓，通過三角形相似告訴學生終邊上的任意點都可以對應到單位圓上，由此引入單位圓定義法.這樣的講解順序既結合了終邊定義法承前和單位圓定義法啟后的優(yōu)點，同時又結合兩種定義的特長，每一個知識點的引入對學生來說都建立在已有的認知基礎之上，就不會顯得突兀.充分利用數(shù)形結合，為下一節(jié)函數(shù)性質(zhì)的學習埋下伏筆，在將終邊上任意點對應到單位圓上的過程中，充分鍛煉了學生的邏輯推理能力，同時也增加了學生的學科活動經(jīng)驗.

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》，教師的課程教學需要擔負起對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)責任，包括培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng).從另一個角度來說就是要構建并提高學生的“四基”和“四能”（“四基”指的是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，“四能”指的是發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力）.其中對三角函數(shù)這一知識塊的要求是：建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性;用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最大（小）值等性質(zhì);探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關系;利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型，解決實際問題.即當下我們認為三角函數(shù)這一章節(jié)的主要學習任務是：弧度制、三角函數(shù)的概念及函數(shù)特性、三角函數(shù)的恒等變換.

為了完成這些任務，讓學生達到自我提升的目標，教師應該以大局為重，思考如何優(yōu)化課程才能幫助學生更好地自主建構更完善的知識網(wǎng)絡.李邦河院士曾說“數(shù)學根本上是玩概念的”，即數(shù)學的根本在于對概念的認識、理解、記憶、應用，只有幫助學生建立起各知識點間的聯(lián)系，才能幫助學生理解數(shù)學，從而提高數(shù)學遷移能力、數(shù)學解題能力等，最終提高數(shù)學能力.

作者簡介 楊彬（1996—），女，四川人，首都師范大學數(shù)學教育在讀研究生;研究方向：中小學數(shù)學教育.