素養(yǎng)涵育：高中數(shù)學(xué)“片段教學(xué)”的理解與實踐范式構(gòu)建

黃炳鋒

（福州第三中學(xué)，福建 福州 350003）

一、問題的提出

1.研究緣起

2020 年福州市教師技能大賽高中組面試階段，評委選擇人教A 版新教材必修第二冊《7.3 復(fù)數(shù)的三角表示》為教學(xué)內(nèi)容，要求選手在15 分鐘內(nèi)完成片段教學(xué).參加技能大賽的選手都是各校選拔出來的教學(xué)能手，代表了區(qū)域內(nèi)的最高水平，他們在教學(xué)語言、板書設(shè)計、教學(xué)形象等方面都有出色表現(xiàn)，但由于本課“過于簡單”，很多選手沒能準(zhǔn)確領(lǐng)會內(nèi)容的本質(zhì)，不知如何設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)困難點判斷也不準(zhǔn)確，從教學(xué)實踐看，有些選手缺乏結(jié)構(gòu)意識，把這節(jié)課上成“復(fù)數(shù)的三角形式”的概念講解課；有些選手缺乏內(nèi)容意識，不知如何定位教學(xué)重點、難點，三言兩語說明了復(fù)數(shù)的三角形式的特征后，錯誤地只把重點放在例題教學(xué)上；還有些選手缺乏教學(xué)意識，不重視教學(xué)問題設(shè)計，不重視發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力培養(yǎng)，沒有探究、啟發(fā)等教學(xué)行為，等等.歸根結(jié)底，在片段教學(xué)的理解與教學(xué)設(shè)計上存在不足，教學(xué)中沒能很好體現(xiàn)結(jié)構(gòu)邏輯、內(nèi)容邏輯與教學(xué)邏輯，導(dǎo)致教學(xué)應(yīng)有的核心素養(yǎng)目標(biāo)旁落.

2.理論背景

“片段教學(xué)”源于教師技能訓(xùn)練的“微格教學(xué)（Microteaching）”.微格教學(xué)產(chǎn)生于20 世紀(jì)60 年代初，美國斯坦福大學(xué)愛倫（Dwight.W.Allen）教授將它定義為：“它是一種縮小了的可控制的教學(xué)環(huán)境，使準(zhǔn)備成為或已經(jīng)是教師的人可能集中掌握某一特定的教學(xué)技能和教學(xué)內(nèi)容”［1］.隨著微格教學(xué)從崗前訓(xùn)練和在崗培訓(xùn)模式演化為業(yè)務(wù)考核的片段教學(xué)模式，人們關(guān)注的就不局限于執(zhí)教者某一特定的教學(xué)技能，而是對片段教學(xué)過程的整體評價.

一般認(rèn)為，片段教學(xué)指在虛擬的課堂教學(xué)環(huán)境中，按規(guī)定的時間完成某節(jié)課的某個局部（片段）的教學(xué)，執(zhí)教者通過完成指定的教學(xué)內(nèi)容，來表現(xiàn)自己的教學(xué)思想、教學(xué)水平和教學(xué)基本功［2］.片段教學(xué)可以比較客觀地反映執(zhí)教者對數(shù)學(xué)的理解、對學(xué)生的理解、對教學(xué)的理解，體現(xiàn)教師的素養(yǎng)和教學(xué)風(fēng)格，所以這種教學(xué)形式常被用于主題教研或職稱考核、技能大賽等業(yè)務(wù)評價.

片段教學(xué)與一般的課堂教學(xué)的區(qū)別在于教學(xué)時長與教學(xué)環(huán)境不同，片段教學(xué)過程中一般沒有學(xué)生直接參與，聽課者是領(lǐng)導(dǎo)、同行或?qū)＜?、評委，但它與一節(jié)課的教學(xué)沒有嚴(yán)格意義的區(qū)分，基本保留了課堂教學(xué)的特點和要求.由于片段教學(xué)的時間更短，一般只有15 分鐘，所以往往被要求完成指定的局部內(nèi)容的教學(xué)而不是整節(jié)課，而且教學(xué)中還需要壓縮學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作和探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)用時.因為沒有學(xué)生參與，所以教師只能用指令語言代替學(xué)生的活動環(huán)節(jié)，用言語轉(zhuǎn)述虛擬教學(xué)互動和目標(biāo)達(dá)成的反饋，用虛擬情景代替實物或多媒體演示.［3］與一般的課堂教學(xué)比較，片段教學(xué)更突出教學(xué)的精華，由于沒有學(xué)生參與互動，也得不到學(xué)生的反饋信息，教師需要在虛擬的教學(xué)環(huán)境中保持片段內(nèi)教學(xué)環(huán)節(jié)的完整性、教學(xué)邏輯的嚴(yán)密性和教學(xué)過程的層次性，使得片段教學(xué)比一般的課堂教學(xué)更難.

片段教學(xué)的實踐比較常見，但理論研究不多，查閱到的期刊論文多屬教學(xué)建議，缺乏明晰規(guī)范的片段教學(xué)理論框架和操作范式.片段教學(xué)是教師提高教學(xué)技能和專業(yè)發(fā)展的重要推手，如何在沒有學(xué)生互動的情境中根據(jù)指定的教學(xué)內(nèi)容實施片段教學(xué)，引起廣大教育工作者的重視和討論.

3.提出問題

教學(xué)是為了提升并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從根本上看是為了落實立德樹人的任務(wù)，片段教學(xué)也應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，突出“以學(xué)生發(fā)展為本”和“培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的課堂教學(xué)核心任務(wù)，素養(yǎng)涵育的關(guān)鍵在于教學(xué)過程的設(shè)計，沒有過程的教學(xué)就不可能有核心素養(yǎng)的落實，那么片段教學(xué)如何體現(xiàn)課堂教學(xué)應(yīng)有的素養(yǎng)涵育呢？本文擬以2020 年福州市教師技能大賽的課題教學(xué)實施為例，淺談片段教學(xué)的實踐范式.

二、實踐的范式

1.展示課型結(jié)構(gòu)，突出結(jié)構(gòu)邏輯與教學(xué)關(guān)注

教學(xué)就如寫作行文，需重視結(jié)構(gòu)與邏輯.課堂教學(xué)有不同課型，如概念課、規(guī)則課、例題講評課、復(fù)習(xí)課等，每個課型都有其特有的結(jié)構(gòu)邏輯與教學(xué)關(guān)注，作為概念課，教學(xué)過程要注意呈現(xiàn)“概念引入”“概念形成”“概念的明確與表示”“概念的辨析”“概念的鞏固應(yīng)用”“納入概念系統(tǒng)”等基本環(huán)節(jié).［4］在片段教學(xué)中，同樣需要突出概念課的基本環(huán)節(jié)，展示概念課的教學(xué)結(jié)構(gòu)，尤其要體現(xiàn)概念課型的“概念引入”與“概念形成”等環(huán)節(jié)的教學(xué)關(guān)注.

“概念引入”環(huán)節(jié)就是要讓學(xué)生體會并認(rèn)識學(xué)習(xí)概念的必要性，教學(xué)一般從“數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展”或者從“解決實際問題的需要”構(gòu)建適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，自然而然地提出學(xué)習(xí)要求.復(fù)數(shù)的三角表示是在復(fù)數(shù)的概念與四則運算之后學(xué)習(xí)的另一種表示，從概念體系的發(fā)展看，是為了建立概念內(nèi)部的聯(lián)系而學(xué)習(xí)概念的另一種表示方法（如圖1）.從圖中可以看出，概念教學(xué)一般通過數(shù)學(xué)抽象形成定義，再學(xué)習(xí)表示與分類，概念的多種表示往往源于不同表示的優(yōu)勢，需要經(jīng)歷從具象到抽象的素養(yǎng)提升，還要考慮不同表示法的等價性與互化，教學(xué)需以課型結(jié)構(gòu)促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實.為了體現(xiàn)復(fù)數(shù)概念內(nèi)部的聯(lián)系，本節(jié)可以從“概念學(xué)習(xí)的需求”或“實際問題的需求”等角度引入課題.

圖1

“概念形成”環(huán)節(jié)一般經(jīng)歷由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知過程，通過歸納概括出概念的本質(zhì)特征.由于本節(jié)已具備復(fù)數(shù)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)，所以可以利用概念同化的方式，借助學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，建立聯(lián)系形成三角表示，教學(xué)設(shè)計如下.

引入1：一個概念的不同表示建立了概念內(nèi)部的聯(lián)系，有助于我們進(jìn)一步認(rèn)識概念，并有利于解決一些問題.前面我們研究了復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）及其四則運算，本節(jié)研究復(fù)數(shù)的另一種重要表示——復(fù)數(shù)的三角表示.它可以幫助我們進(jìn)一步認(rèn)識復(fù)數(shù)，同時給復(fù)數(shù)運算帶來便利.

［設(shè)計意圖］這是概念引入環(huán)節(jié)第一種方式.從概念體系的發(fā)展角度提出學(xué)習(xí)的需求，引入課題.

引入2：前面我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念及其四則運算，但要解決形如(等運算問題，還是有一定困難.本節(jié)我們研究復(fù)數(shù)的另一種重要表示——復(fù)數(shù)的三角表示.它可以幫助我們進(jìn)一步認(rèn)識復(fù)數(shù)，同時給復(fù)數(shù)運算帶來便利.

［設(shè)計意圖］這是概念引入環(huán)節(jié)第二種方式.從實際問題的求解角度提出學(xué)習(xí)的需求，引入課題.

問題1：我們知道，復(fù)數(shù)可以用a+bi（a，b∈R）的形式來表示，復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z（a，b）是一一對應(yīng)的，與平面向量=(a，b)也是一一對應(yīng)的.借助復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)能不能用其他形式來表示呢？

追問1：復(fù)數(shù)a+bi與Z（a，b）一一對應(yīng)，與平面向量=(a，b)也是一一對應(yīng)，意味著什么？

追問2：復(fù)數(shù)的幾何意義指什么？

探究：復(fù)數(shù)z=a+bi與向量一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)z由向量的坐標(biāo)(a，b)唯一確定，我們知道向量也可以由它的大小和方向唯一確定，那么能否借助向量的大小和方向兩個要素來表示復(fù)數(shù)呢？如何表示？

［設(shè)計意圖］這是概念形成環(huán)節(jié).明確教學(xué)問題，建立數(shù)（復(fù)數(shù)）與形（幾何意義，向量）的聯(lián)系，若學(xué)生對教學(xué)問題有疑問，或無法理解一一對應(yīng)的含義，可以用追問的形式加以指導(dǎo)，再借助探究環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生提煉向量的大小與方向的數(shù)量要素，為表示復(fù)數(shù)引入三角函數(shù)做必要的方法準(zhǔn)備，即在方法上引導(dǎo)學(xué)生如何提煉r和θ來表示復(fù)數(shù)z.

2.設(shè)計明暗主線，確保內(nèi)容邏輯連貫與一致

教學(xué)可視作師生達(dá)成目標(biāo)（任務(wù)）的系列活動，為提升與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動需要重視明暗主線的設(shè)計，普通高中教科書教師教學(xué)用書指出以“事實-概念-性質(zhì)（關(guān)系）-結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）-應(yīng)用”為明線，是從教學(xué)內(nèi)容層面提出要注重知識主線的邏輯走向，注意相互知識間的關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化核心內(nèi)容要求，突出知識的整體性與邏輯的連貫性；同時指出以“事實-方法-方法論-應(yīng)用”為暗線，是從素養(yǎng)層面提出要發(fā)揮各種能力和思想方法對高中數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)攝作用，保持能力訓(xùn)練的邏輯連貫性和思想方法的前后一致性，要突出方法的普適性與思維的系統(tǒng)性，并強(qiáng)調(diào)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，結(jié)合明線布暗線，交融協(xié)調(diào)明暗主線，形成基本數(shù)學(xué)思想和方法的“滲透-明確-應(yīng)用”的有序進(jìn)程，確保思想方法的一致性［5］.

復(fù)數(shù)的三角表示教學(xué)明線是“代數(shù)形式-幾何意義（與向量的關(guān)系）-三角形式（聯(lián)系）-應(yīng)用”，從知識層面上看，復(fù)數(shù)的三角形式是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，由復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）到點Z（a，b），再到向量，建立了三者之間相互對應(yīng)關(guān)系，即通過復(fù)數(shù)的幾何意義將數(shù)與形聯(lián)系起來，再用向量概念與方法提取r 與θ，通過三角函數(shù)建立關(guān)系式a=rcosθ，b=rsinθ，進(jìn)而得出任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式的一般結(jié)論，并給出相關(guān)概念，體現(xiàn)了知識的整體性和邏輯的連貫性（如圖2）.

圖2

暗線是“表示-方法-方法論-應(yīng)用”，即在方法上，要回答如何把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示為三角形式，表示法是否唯一，要回答θ的多樣性的特征與唯一性的處理等；在方法論上，要回答任意一個復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）表示為r(cosθ+isinθ)形式的兩個問題：其一，用r和θ可以表示任意一個復(fù)數(shù)；其二，r和θ表示的是復(fù)數(shù)，突出了方法的普適性和思維的系統(tǒng)性，教學(xué)設(shè)計如下.

問題2：通過探究發(fā)現(xiàn)，向量的大小可以用模r表示，向量的方向可以借助以x 軸的非負(fù)半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角θ來刻畫，你能用r和θ表示復(fù)數(shù)z嗎？

追問1：用r和θ表示復(fù)數(shù)z的關(guān)鍵是什么？你能用r和θ表示a，b嗎？

追問2：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，每個復(fù)數(shù)a+bi可由點Z（a，b）唯一確定，再根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得a=rcosθ，b=rsinθ，所以a+bi=r(cosθ+sinθ)，這說明什么？當(dāng)點Z在實軸或虛軸上時，這個結(jié)論成立嗎？

［設(shè)計意圖］這是概念的明確與表示環(huán)節(jié).基于“表示”設(shè)計明線，基于“方法”設(shè)計暗線，先提出問題，再通過追問1 明確用r和θ表示復(fù)數(shù)z的關(guān)鍵所在，通過追問2，并結(jié)合數(shù)形關(guān)系得出每個代數(shù)形式的復(fù)數(shù)都可以為三角形式的復(fù)數(shù)的一般結(jié)論.

問題3：一般地，任何一個復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱復(fù)數(shù)的三角形式，與復(fù)數(shù)的代數(shù)形式中的a，b有特定名稱一樣，你能給出r與θ的概念和名稱嗎？

追問1：一個復(fù)數(shù)的輻角唯一確定嗎？任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，這些值之間有什么關(guān)系呢？

追問2：為了保證每一個不為零的復(fù)數(shù)有唯一的θ值，我們引入輻角主值的概念，你能說說輻角主值的定義嗎？

追問3：你能概括一下復(fù)數(shù)的三角形式的特征嗎？

［設(shè)計意圖］這是概念的辨析環(huán)節(jié).基于“定義-關(guān)系-聯(lián)系”設(shè)計明線，基于“事實-方法”設(shè)計暗線，先提出問題，指導(dǎo)學(xué)生獲得相關(guān)概念的定義與每一個非零復(fù)數(shù)的不同輻角之間的關(guān)系，再用追問的形式得出復(fù)數(shù)的三角形式的多樣性與唯一性，指出這是概念不同表示法的一般思考方法，并引導(dǎo)學(xué)生概括復(fù)數(shù)的三角形式的特征.

問題4：在復(fù)數(shù)的三角形式下，你能說說兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件嗎？

追問1：在復(fù)數(shù)的代數(shù)形式下，有什么結(jié)論？

追問2：你能談?wù)劚竟?jié)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，本課學(xué)習(xí)對你有什么啟發(fā)？

［設(shè)計意圖］這是課堂小結(jié)環(huán)節(jié).通過比較兩種表示法獲得結(jié)論，并在知識回顧中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)兩種表示法的內(nèi)容邏輯與聯(lián)系.

3.融合教學(xué)理解，凸顯教學(xué)邏輯與認(rèn)知規(guī)律

同課堂教學(xué)一樣，片段教學(xué)應(yīng)該追求“三個理解”：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，“三個理解”是教師專業(yè)水平、育人能力以及是否遵循教學(xué)邏輯與認(rèn)知規(guī)律的集中體現(xiàn).

理解數(shù)學(xué)，就是要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，主要是對數(shù)學(xué)的思想、方法及其精神的理解.教好數(shù)學(xué)的前提是理解數(shù)學(xué)，尤其是對一些具有統(tǒng)攝性的“一般觀念”要有深入理解并能靈活應(yīng)用.例如，復(fù)數(shù)概念的教學(xué)一般從復(fù)數(shù)定義、表示與分類入手，概念的不同表示需要關(guān)注它們的等價性；又如，獲得復(fù)數(shù)的三角形式需要回答兩個問題，以及兩種表示法的互化與是否唯一，等等.

理解學(xué)生，主要是對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的理解，核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律，只有對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律有了深入的了解，才能知道應(yīng)當(dāng)采取怎樣的教學(xué)措施引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，有的放矢地進(jìn)行教學(xué).例如，從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示到三角表示，兩種表示法的聯(lián)系是向量與三角函數(shù)，符合學(xué)生思維規(guī)律的教學(xué)措施是借助圖形直觀，因此在探究環(huán)節(jié)一定要引導(dǎo)學(xué)生做出相關(guān)圖形；又如，從復(fù)數(shù)z到點Z，再到向量，要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到它們之間一一對應(yīng)關(guān)系，以及一一對應(yīng)的含義等.

理解教學(xué)，主要是對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律、特點的理解.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科的特點決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的特點和規(guī)律，只有遵循了這些規(guī)律、反映這些特點，數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效益才能真正得到保證.［6］例如，在復(fù)數(shù)概念形成的教學(xué)中先提出問題，然后通過探究的形式引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“如何用用r和θ表示復(fù)數(shù)z”，即借助“問題-活動-結(jié)果”的教學(xué)活動形式，確保教學(xué)質(zhì)量與效益等.

片段教學(xué)執(zhí)教者為了表現(xiàn)教學(xué)思想、教學(xué)能力和教學(xué)基本功，還需要在素養(yǎng)涵育的基礎(chǔ)上凸顯教學(xué)技能，這里的教學(xué)技能主要包括“語言表達(dá)”與“文字書寫”的技能.

語言表達(dá)上，要做到語速平緩、吐字清晰、抑揚頓挫，教學(xué)語言的吸引力除了表達(dá)的技巧外，還要注意表達(dá)的規(guī)范，要講“數(shù)學(xué)的語言”，要用“數(shù)學(xué)的方式”，解決“數(shù)學(xué)的問題”.此外，教師還應(yīng)擅長用語言進(jìn)行歸納，比如，將復(fù)數(shù)的三角形式的特點歸納為“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連”，不僅形象生動，朗朗上口，便于學(xué)生記憶，而且可以有效影響后續(xù)復(fù)數(shù)的乘法、除法與乘方等運算的準(zhǔn)確性.

文字書寫上，要做到準(zhǔn)確、工整、美觀，文字表達(dá)的吸引力除了美感，還有表達(dá)的簡潔與內(nèi)涵，應(yīng)追求圖文并茂、賞心悅目、重點突出.

三、總結(jié)與展望

綜上所述，為了體現(xiàn)教學(xué)的根本目的與育人功能，片段教學(xué)過程應(yīng)模擬課堂教學(xué)的真實情境，展示課型結(jié)構(gòu)、設(shè)計明暗主線、融合教學(xué)理解，這樣才能回歸數(shù)學(xué)課堂應(yīng)有的素養(yǎng)涵育的目標(biāo).

本文僅闡述概念課的結(jié)構(gòu)特征與實踐范式，盡管不同課型的教學(xué)有許多相通之處，但其他課型，如規(guī)則課、習(xí)題講評課的教學(xué)還有待進(jìn)一步論述.此外，對片段教學(xué)的評價基本還處于經(jīng)驗階段，缺乏理論框架支持與量化方法，也有待于進(jìn)一步研究.