均值不等式在中學數學的應用

李方杰

摘要：本文舉例說明均值不等式的定義，均值不等式在中學數學中求解最值問題，均值不等式恒成立的問題，運用均值不等式比較代數式大小的方法。均值不等式的證明過程及整理中學數學中均值不等式的易錯點，并對其進行歸納與分析。

關鍵詞：中學數學;均值不等式;分類探究

引言

量具有相等的關系，也具有不等關系，所有比較量大小的問題都需要用到不等式的知識。不等量之間的關系，我們一般使用不等式來描述它，它不僅僅描述了量之間的關系，在其它方面也有一定的涉及。不等式的存在給很多原本無法解決的問題提供了新的解決方向。

均值不等式這一內容是高中數學必修5不等式部分的重點之一，其在不等式的理論中也占據著不可動搖的地位。同時運用均值不等式求解最值問題也是高考數學考查重點，《高中數學課程標準》中也對這一部分內容做出了相關的教學規定，均值不等式的應用在整個高中數學中都有一定的涉及。運用均值不等式求解最值問題也是歷年以來高考考查的重要知識點，因此對均值不等式的性質進行歸納研究很有必要。

一、均值不等式

1.均值不等式定義

（1）定義均值不等式也叫做平均不等式。調和平均數（Harmonic?mean）、幾何平均數（Geometric?mean）、算數平均數（Arithmetic?mean）及平方平均數（Quadratic?mean）的不等關系就稱為均值不等式，即或者

其中：

調和平均數（Harmonic?mean）

幾何平均數（Geometric?mean）

算數平均數（Arithmetic?mean）

平方平均數（Quadratic?mean）

（2）均值不等式的性質

一般的，對于均值不等式有以下性質（1）若為非負數，即;

（當時，取“=”成立）

（2）若為非負實數，即;

（當時，取“=”成立）

（3）若為非負實數，即;

（當時，取“=”成立）

（4）若為非負實數，;

（當時，取“=”成立）

對上述均值不等式的性質，這里做以下補充說明：

（1）上述四個式子稱是中學中常用的均值不等式

（2）一個重要的不等式鏈：（，當且僅當a=b取“=”）

（3）稱為幾何平均數（Geometric?mean），稱稱為算數平均數（Arithmetic?mean），可描述為兩個正數的幾何平均數小于或等于它們的算何平均數。

從均值不等式還可觀察出：

若且（為非負數），

則時，;

若且（為非負數），

則時，。可簡單記為“和定積最大，積定和最小”。

但應注意：

（1）均值不等式成立的前提條件：若滿足前提條件就可以直接運用，若不滿足需改變其符號再運用;

（2）在運用均值不等式時遇到不能直接使用均值不等式解決的題型，可先根據均值不等式的性質對它進行變形，湊成能夠使用均值不等式的形式;

（3）可否取等號，若要求函數的最大、最小值，只有在能取等號時才能確定函數式的最值，除此之外不能使用均值不等式求其最值，只能用其它方法求最值。

綜上所述：合理運用均值不等式的口訣可記為“一正二定三相等”。

二、]均值不等式求解最值問題

1.求解函數最值

本節將在舉例均值不等式在求解最值問題的應用中，對用均值不等式求解最值的方法做了歸納總結。在運用均值不等式時的應注意前提條件“一正二定三相等”，一般來說在實際解題過程中均值不等式的使用是需要進行變換，約分等多種變形手段而得到的。

2.拼湊法

（1）拼湊定和

例3.1求的最大值。

解：變形得，

根據均值不等式有，

所以，

只有在，即時，“=”成立，

由此得時，?為函數的最大值。

解題反思：此題，將根號外的正變量移進根號內進行集中變元，再對其添上系數4，便可得均值不等式中的“和定積最大”。

（2）拼湊降冪

例3.2若，求的最大值。

解：，

故，即當時，等號成立，則的最大值為2.

（2）換元法

例3.3?已知，。

解：由題可得，因為，

所以，令，

則，，即，

故，所以。

解題反思：首先直接利用均值不等式轉化為解不等式問題，再通過換元的技巧，把復雜的式子變為簡單。

（3）參數法

例3.4?已知為正實數，求的最小值。

解：由題可知，無法直接計算，因此可添加參數，

即，

函數這是可取最小值，此時時，。

解題反思：本小題通過添加參數進行均值不等式，最終達到分子與分母約掉未知數而求出函數的最值。

在解題的過程中，部分可以直接用均值不等式求解，更多的時候，需要注意均值不等式的多種形式，靈活運用，多種方法相結合，熟練掌握多種變形技巧。

三、均值不等式與恒成立問題

恒成立問題是高考中的熱門考點之一，函數法、最小值法、數形結合法等等都是解恒成立的重要方法，然而用均值不等式解恒成立問題也是一種應用比較廣泛的方法，一般有兩種處理方式：

（1）若不等式在區間D上恒成立

則等價于在區間D上;

（2）若不等式在區間D上恒成立

則等價于在區間D上。

例4.1已知x，y為正實數且，若使不等式是恒成立的，求實數的取值范圍？

解：由題可知，

所以，

當且僅當時，等號成立

所以x+y最小值為16，故的取值范圍為。

解題反思：本小題靈活的運用關于“1”的恒等式，將“1”進等量代換，以及運用了不等式的基本性質恒成立。

例4.2假設，都有不等式成立，求m的取值范圍。

解：由題可知對任意，

不等式恒成立，故有，

即，

由于，

故，所以m的取值范圍為。

解題反思：本題主要考查了恒成立問題，對于此類問題解法有很多，在此主要介紹了分離變量法與均值不等式相結合的方法。

對于大多數有關不等式恒成立問題首先應轉化為求其最值問題，再結合均值不等式的運用法則“一正二定三相等”，選取適當的方法，從而解決問題。

四、比較大小

對于比較兩個代數式的大小這類問題，通常有作差比較法，中間值法，綜合法，分析法，放縮法等方法。均值不等式作為不等式的一種，往往在這類題中能發揮出意料之外的效果。

1.分析法

例5.1

若，?，

則的大小關系是？

解：因為，所以

所以。

解題反思：均值不等式作為不等式的一種，其本身就反應了兩個數之間的大小關系，對其進行適當的變換，就能使用均值不等式進行求解。

2.放縮法

例5.2已知，，問的大小關系？

解：

因為，所以，即

故，所以。

解題反思：本題主要考查均值不等式的變形，

將作為標準進行縮放，便可解決此題。

五、證明不等式

中學證明不等式一般采用比較法，代換法等。但有些問題運用上述方法無法快捷有效的解決，此時使用均值不等式對問題進行處理，這樣會使復雜問題簡單化，這里舉例說明。

1.代換法

例6.1已知，且，

求證：。

解：由于，

所以，，，

又因為，則，，，

故

命題即證。

解題反思：本小題靈活應用“1”作為橋梁進行等量代換，為運用均值不等式提供條件，最后疊加解決該題。

2.拆項法

例6.2?假設，證明：。

解：證明：由題可知?，

可得

（當時“=”成立）。

3.反證法

例6.3已知，求證：。

解：

假設，則

而，故，

所以，從而.

所以，即，故，這與假設矛盾，故.

解題反思：本小題利用立方和公式及均值不等式結合進行反證與已知事實產生矛盾，從而得出結論。

六、均值不等式應用易錯分析

均值不等式應用非常廣泛，可以巧妙地解決兩正數和、積、倒數和以及平方和的相互轉化問題。因此常利用均值不等式解決最值、恒成立、比較大小、證明不等式等問題。然而我們往往在應用中容易出錯。這就是由于運用時忽略了均值不等式成立的前提條件，從而走入種種誤區導致解題錯誤。

1.忽略“正數”條件致錯

例7.1已知，求函數的最小值？

錯解：由題可知

當且僅當時，等號成立，所以。

錯誤分析：在應用均值不等式求解時，未注意題中已知條件而導致結果錯誤，正所謂“一正”不滿足而使用均值不等式。

2.忽略驗證“和為定值”?或“積為定值”或致錯

例7.2已知為正實數，求的最小值？

錯解：因為x>0，所以，

當且僅當，等號成立，故。

錯誤分析：在利用均值不等式求解“積”或“和”的最值時，必須先滿足“積為定值”或“和為定值”，而上訴過程與的積不為定值而導致應用錯誤，正所謂“二定”不滿足。

3.“等號”不成立致錯

例7.3已知且，求的最小值？

錯解：因為，所以，則，

即，故的最小值是8。

錯誤分析：過多的使用均值不等式，而導致等號成立的條件不一致，“當且僅當等號成立”

“當且僅當等號成立”

不滿足同時成立，因此答案錯誤。

結語

均值不等式作為不等式的一類，在整個中學都有一定的應用，在高等教育中也有著它的一席之地。經過對此文的撰寫，我深刻理解了均值不等式對于數學這一學科的意義。它為原來無法解決的問題找到新的解決辦法，體現出均值不等式的價值。對于中學生來說，探索、認識、理解知識，體會學習的意義，讓他們明白學有所用，提高對于學習的興趣和積極性，形成良好的思維能力。學海無涯，對于均值不等式在中學數學的應用的分析還有很長一段路需要走。它需要各位老師、學者在理論與實踐中不斷地探索與研究。

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