高考中雙曲線問題的解法初探

摘要：雙曲線問題是高考中較為常見的題型，且難度較大，所以其研究價值尤為突出.本文在查閱了相關資料的基礎上，歸納總結了幾類常見題型及其一般解法，并結合近幾年高考中出現的題目，對其解法一一做了解析.

關鍵詞：高考;雙曲線問題;解法

引言

高考作為高中學子乃至中小學學生的一人生重要分水嶺，對于廣大學生而言是非常重要的，不僅關乎著學生的命運及前途，也是作為教育部門及教育者的一項重大考驗.高中數學由于其作為基礎學科，在高考中不僅直接關系著其他學科邏輯思維能力和運算解題，同時它本身在高考以及學生的未來發展中占有舉足輕重的地位.而在高考數學中，解析幾何問題也占有相當多的分值，已經超過了25%左右，故學好高中的幾何知識不僅是為了在高考中取得好的成績;同時，也是培養學生構建空間幾何能力和運用解析幾何解決實際問題的關鍵所在.高中解析幾何主要的內容以及高考的重難點就在于對圓錐曲線性質的簡單應用及解決較為復雜和綜合性較高的實際問題.同時由于圓錐曲線問題的多樣性和復雜性，故解決此類問題的思路以及方法也非常的多;對于學生的計算能力，邏輯思維能力與應變能力的要求也比較高.本文主要致力于研究高考數學中常見的圓錐曲線中雙曲線問題的幾類題型和解法，為總結高考考點，方便理清實際教學重難點，更好的為今后的教學工作做好準備.

一、雙曲線預備知識

1.雙曲線定義

定義1把平面內的到兩個定點，的距離的差等于非零常數（小于）的點的軌跡叫做雙曲線，，為雙曲線的兩個焦點，為焦距.

2.雙曲線標準方程

設為雙曲線上一點，，坐標為，;

有定義知雙曲線便是集合，

又，，

故，整理得，

類比于橢圓方程建立過程令，得，

同理得當焦點位于軸時雙曲線的方程形式是

2.雙曲線相關性質

（1）定義域

（2）對稱性雙曲線關于原點和坐標軸對稱，其中關于原點是成中心對稱的.

（3）頂點在雙曲線方程中

令，得，可得雙曲線和軸有兩個交點，，分別叫做雙曲線的頂點.

令，得，這個方程明顯是沒有實數根的，那么此時雙曲與軸是不存在交點的，但我們依然把，作于軸上，方便下一步研究，我們規定線段叫雙曲線的實軸，大小為;線段叫做雙曲線的虛軸，大小為.

（4）漸近線

（5）離心率

二、雙曲線在高考中的典型例題及其解法

1.根據定義及各參數關系解題

雙曲線定義和雙曲線各參數之間的關系是解決雙曲線問題的重要依托，對它們準確的理解與運用對學好雙曲線乃至整個圓錐曲線起到了至關重要得作用;而其于高考中運用的主要體現在關于簡單雙曲線簡單問題的考察，一般的題型會集中在選擇題和雙曲線大題的第一小題.下面就實例進行分析.

例1[2018浙江卷]

解析：根據雙曲線方程我們可以確定焦點位于X軸上，再由雙曲線方程及參數性質我們可求解。

例2[2018理數全國卷二]雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（;）

解析：我們已經知道離心率，可由離心率與a，c的關系立式求解。

2.待定系數法

待定系數法主要用于求解雙曲線的標準方程.常見于大題第一小題，作為雙曲線問題中的基礎題出現，較為考察學生對于雙線定義及性質的了解以及應用.就實例如下.

例3[2008天津，理21]已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是.

（Ⅰ）求雙曲線的方程;

解析?由題設條件可知，又，則，聯立方程組可求解.

設雙曲線的方程為.

由題設得，解得，所以雙曲線方程為

3.數形結合

數從量反映問題，形從直觀反映問題.數形結合，可以做到取長補短，優勢互補，往往能有效地解決問題.在對于雙曲線問題的研究，幾何關系結合數量關系可以更為直觀清楚地讓學生更為綜合地應用學過的知識，同時從側面降低問題的難度以及了解數形結合的重要性，用時拓寬學生的思維.就實例如下.

例4[2017課標1，理]已知雙曲線：的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點.若=60°，則的離心率為_____.

解析?如圖一，利用點到漸近線的距離公式，考慮圖中三角函數關系聯立方程可求得，由得所以.

圖一

如圖一所示，作，因圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩個點，則、為漸近線上的兩個點，且，.

而，所以=30°

點到直線的距離

在中，代入計算得

，即。由得

所以.

例5[2013大綱全國，理21]已知雙曲線：的左、右焦點分別為，離心率為3，直線與雙曲線的兩個交點間的距離長度為.

（1）求，;

（2）設過的直線與的左、右兩支分別交于，兩點，且=，證明：，，成等比數列。

（1）解析?已知離心率可求得雙曲線方程，將代入，求得.可求，

由題設知=3，即=9，故

所以的方程為.

將代入上式，求得.

由題設知，，解得.

所以，.

（2）解析?由（1）知，，C的方程為

①

由題意可設的方程為，，

代入①并化簡得.

設，，則，，，.

于是===，

===.

由=得=，即=.

故，解得=，從而=.

由于===，

===，

故=-==，

==.

因而=，所以，，成等比數列。

4.雙曲線與圓等幾何圖形綜合考察

學生在中小學除學習雙曲線知識外，學生還要學習了圓等幾何圖形的定義及性質，并要做到應用這些幾何圖形的定義以及性質解決一些簡單的問題;而高考是對于學生綜合能力的考察，這里的綜合當然也包括綜合利用眾多圖形關系解決實際問題.在這一小結中，主要陳述綜合利用雙曲線和其他幾何圖形.這是雙曲線問題中較為困難的，不僅要求學生對于眾多幾何圖形，包括雙曲線的有足夠的認識，并且能做到明確地區分它們之間的不同，同時，又能充分利用它們的幾何關系給出正確的解法和答案.這類問題困難程度較大，需要學生在掌握基礎知識的前提下，發掘它們的關系，善于思維，精于從圖形中找到解題的關鍵，善于較為復雜的運算.就實例如下.

例6[2016高考天津理數]已知雙曲線，以原點為圓心，雙曲線實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于、、、四點，四邊形的的面積為，則雙曲線的方程為（;）

（A）（B）（C）（D）

解析：

根據雙曲線的對稱性，我們假設A點位于第一象限，，

∴，

∴，故雙曲線的方程為，故選D.

例7[2017課標II，理9]若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（;）

A.2;;;B.;;;C.;;;D.

解析：

由圓與雙曲線的位置關系可以得雙曲線的漸近線是：，

圓心到漸近線距離為：，

不妨設點到直線的距離：，

即：，整理可得：，雙曲線的離心率.

故選A.

結語

高考中雙曲線問題一直是考察著重于學生對于高中幾何知識的掌握程度，并綜合于對于解題能力與思維能力，在這些年的高考試卷上考察的方式很多多是以選擇題與壓軸解答題的形式出現.利用雙曲線是在高考中是解決雙曲線簡單問題的常用方法，例如對于一般的選擇題或大題第一小問;但對于一般較為復雜的問題就特別講究解題的技巧與對于雙曲線以及相關知識的理解程度.如在解決直線與圓錐曲線相交問題時，一向采用設出方程但不求出具體數值，然后利用韋達定理得出相應數值關系，可以說韋達定理起到了一個代換的作用如例5.同時在解決高考中較為困難的雙曲線大題時，要利用的知識不僅有高中幾何知識，常見的有勾股定理，圓上的點到圓心的距離相同等知識.在高考中一般的較為困難的是對于雙曲線與圓等圖形的綜合考察，學生應該在了解這些幾何圖形的性質的前提下，聯系幾何知識做到技巧性的應用.在高考中一般的較為困難的是對于雙曲線與圓等圖形的綜合考察，學生應該在了解這些幾何圖形的性質的前提下，聯系幾何知識做到技巧性的應用.可以說學生要真正掌握圓錐曲線問題需要的知識積累與解題技巧大龐大的.本文就常見的題型及方法由以下歸納的：數形結合?待定系數法?利用雙曲線與圓等圖形的性質的方法.

參考文獻;

[1]中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書[M].人民教育出版社.2007（2）：52-58

[2]楊德.關于雙曲線若干問題的探討[J].科學中國人.2017，11（15）：9-10.

[3]江西師范大學數信學院.中學數學研究[J].華南師范大學出版社.2020，11（13）：45-46.

[4]王永超.數形結合在數學中的應用[J].教育與科技論壇.2019，7（1）：22-25.

[5]王志龍.多角度探究一道高考題[J].中學數學教學參考.2019，10（30）：1-5.

[6]萬平方.2019年全國各地高考數學實體優秀解法賞析[J].河北理科數學教學研究.2019，9（15）：3-15.

[7]談杰.解析幾何[J].數學教學通訊.2014，3（21）：6-7.

作者簡介

陳幸（1996.9—），男，漢族，四川綿陽人，本科在讀，四川民族學院理工學院，研究方向：數學與應用數學。