混凝土單軸壓縮破碎分形研究

吳劍鋒，李慧劍，王彩華，孟德亮，李佶芩

(1.燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，秦皇島 066004；2.東北石油大學秦皇島校區，秦皇島 066004)

0 引 言

混凝土作為一種典型的人工多相復合材料，內部隨機分布大量的孔隙、裂紋等細觀損傷結構[1-4]，其分布狀態與幾何形狀在一定測度范圍內具有明顯統計自相似性[5-8]，因而，在其形成和工作過程中均表現出了一系列的分形特征[9]。借助分形[10]這一數學工具，既可以對混凝土在不同尺度下的力學行為進行較為合理、準確的把握，又有助于認識混凝土宏觀形式上所表現出來的隨機性和非線性等特征。

研究人員圍繞混凝土等準脆性材料的破碎塊度分形開展了相關研究，謝和平等[11]系統介紹了將分形理論引進到巖石斷裂和破碎研究的成果。高峰等[12]通過標準巖樣的單軸壓縮實驗，著重對巖樣破碎后的碎塊塊度分布進行了統計分析。趙昕等[13]利用高溫后的混雜纖維UHTCC材料的動態壓縮試驗，對沖擊破碎后的試樣進行了破碎分形特征分析。任韋波等[14]通過對高溫后的素混凝土和玄武巖纖維混凝土進行沖擊荷載試驗，研究了沖擊破壞后試件破碎塊度分布的分形特征。施勁松等[15]通過對混凝土進行不同溫度下的沖擊壓縮試驗，分析了溫度對碎塊分形維數的影響。尹越剛等[16]通過對混凝土進行不同應變率下的沖擊壓縮試驗，研究了沖擊破壞后的混凝土試件碎塊的尺度分布規律和分形特征。

綜上可見，針對混凝土單軸壓縮破碎分形特征的研究較少，因此，本文將通過混凝土單軸壓縮試驗，基于Turcotte研究理論對混凝土破碎后的分形特征進行研究。分析粗骨料粒徑、試樣形狀對混凝土破碎分形維數的影響，探討抗壓強度、峰值應變、單位體積吸收能、脆性指標與破碎分形維數的關系，為混凝土破碎分形研究提供參考。

1 實 驗

1.1 試樣制備

試驗所用水泥為秦皇島市淺野水泥有限公司生產的P·O 42.5(R)普通硅酸鹽水泥，表觀密度3 030 kg/m3；粗骨料采用撫寧石灰巖碎石，粒徑范圍為5～10 mm、5～16 mm(5～10 mm和10～16 mm各50%)、10～16 mm，表觀密度2 730 kg/m3；細骨料采用青龍天然河砂，細度模數為2.79，普通中砂，最大粒徑為5 mm，表觀密度為2 580 kg/m3。混凝土配合比見表1。混凝土的攪拌通過無錫建材設備機械廠生產的JW-60單臥軸試驗室攪拌機完成。混凝土的振搗利用無錫建儀儀器機械有限公司生產的ZHDG-80磁性振動臺實現。試驗所需試樣為40 mm×40 mm×160 mm的棱柱體(澆筑成型)和約100 mm×50 mm圓柱體(鉆芯成型)(對應編號為LZ10、LZ5、LZ0和YZ10、YZ5、YZ0，其中10、5、0代表粗骨料粒徑分別為5～10 mm、5～16 mm和10～16 mm，LZ代表棱柱體，YZ代表圓柱體)，所有試樣均靜水養護28 d，然后在室內自然放置300 d后進行試驗。

表1 混凝土的配合比Table 1 Concrete mixture ratio

1.2 試驗設備與方法

試驗利用上海衡翼精密儀器有限公司生產的HYWE-100060微機控制電液(伺服)萬能試驗機，參照《普通混凝土力學性能試驗方法標準》對試樣進行單軸壓縮加載，加載過程采用力控制方式，加載速度為0.3 MPa/s，直至試樣破壞。試樣變形使用鋼鐵研究總院鋼研納克檢測技術有限公司生產的YYU-10/50電子引伸計測量。篩分試驗采用篩孔邊長為0.6 mm、1.18 mm、2.36 mm、4.75 mm、9.5 mm、13.2 mm、16 mm的標準砂石篩，對破碎后的混凝土碎塊進行篩分，稱量各級篩分質量。

2 結果與討論

2.1 混凝土碎塊分形維數計算

依據Turcotte[17]研究成果，混凝土碎塊分形維數D可由碎塊粒徑r和大于該粒徑的碎塊數目N表示。

N∝r-D

(1)

對式(1)求導，可得:

dN∝r-D-1dr

(2)

粒徑為r的碎塊篩下累計質量M(r)和碎塊總質量M(T)滿足式(3)關系。

(3)

式中，rm為碎塊最大粒徑尺寸，b為碎塊分布參數。

對式(3)求導，可得:

dM(r)∝rb-1dr

(4)

又因碎塊數目增量與碎塊質量增量符合式(5)關系。

dN∝r-3dM(r)

(5)

所以，聯立式(2)、(4)、(5)，可得：

r-D-1∝r-3rb-1

(6)

進一步整理可得:

D=b-3

(7)

式(7)表明，混凝土碎塊分形維數D可通過碎塊分布參數b得出。

2.2 ln[M(r)/M(T)]-lnr曲線

對式(3)兩邊取對數，可得:

ln[M(r)/M(T)]=bln(r/rm)

(8)

式(8)表明，碎塊分布參數b即為ln[M(r)/M(T)]-lnr曲線斜率，為此可通過繪制雙對數ln[M(r)/M(T)]-lnr曲線，求出碎塊分布參數b。本試驗各試樣的ln[M(r)/M(T)]-lnr曲線見圖1。

從圖1可以看出，對于圓柱體試樣和棱柱體試樣，試驗數據在雙對數坐標下，均表現出了良好的線性相關性，說明壓縮破壞后的混凝土碎塊分布滿足統計意義上的自相似性，具有分形特征。這是因為，混凝土內部細觀裂紋、孔隙在不同尺度上具有自相似性，而破碎過程與碎塊形狀又是裂隙擴展的直接結果，因而導致碎塊尺度分布具有冪律特征，混凝土碎塊分布是一個統計意義上的分形。

圖1 ln[M(r)/M(T)]-lnr關系曲線Fig.1 Relation curves of ln[M(r)/M(T)]-lnr

2.3 討 論

2.3.1 粗骨料粒徑、試樣形狀對混凝土破碎分形維數的影響

為考慮粗骨料粒徑及試樣形狀對混凝土破碎分形維數的影響，本文進行了三種粒徑(5～10 mm、5～16 mm、10～16 mm)及兩種形狀(棱柱體、圓柱體)的對比試驗。圖2給出了粗骨料粒徑及試樣形狀對混凝土破碎分形維數的影響。由圖可知，除5～16 mm粒徑圓柱體試樣因樣本個性原因外，兩種形狀試樣的破碎分形維數均隨粗骨料粒徑的增大呈降低趨勢，對于棱柱體試樣，5～10 mm粒徑試樣的破碎分形維數是10～16 mm粒徑試樣的1.09倍，對于圓柱體試樣， 5～10 mm粒徑試樣的破碎分形維數是10～16 mm粒徑試樣破碎分形維數的1.11倍。說明混凝土破碎分形維數大小受到粗骨料粒徑的影響，分形維數越小，碎塊數目越少，碎塊尺寸相對越大，試樣破碎程度越低。除5～16 mm粒徑圓柱體試樣外，棱柱體試樣破碎分形維數均比圓柱體試樣高，對于5～10 mm和10～16 mm兩種粒徑試樣，棱柱體破碎分形維數分別是圓柱體的1.07倍和1.08倍。表明混凝土破碎分形維數大小受到試樣形狀的影響，破碎程度與試樣形狀有關。

圖2 粗骨料粒徑及試樣形狀對混凝土破碎分形維數的影響Fig.2 Influence of coarse aggregate size and specimen shape on fractal dimension of concrete fragmentation

2.3.2 破碎分形維數與混凝土抗壓強度的關系

圖3給出了各試樣的抗壓強度，圖4為混凝土破碎分形維數與試樣抗壓強度的關系曲線。由圖3可知，圓柱體抗壓強度均高于同粒徑棱柱體，對于5～10 mm、5～16 mm和10～16 mm三種粒徑，分別高出43.75%、57.14%和54.55%，說明混凝土的抗壓強度與試樣形狀有關；5～10 mm粒徑的抗壓強度依次大于同形狀5～10 mm和10～16 mm粒徑的抗壓強度，對于棱柱體試樣和圓柱體試樣，抗壓強度分別依次高出14.29%、27.27%和4.55%、29.41%，表明混凝土的抗壓強度與粗骨料粒徑大小有關。從圖4可知，除5～16 mm粒徑圓柱體試樣外，混凝土破碎分形維數隨混凝土抗壓強度的提高呈增大趨勢。

圖3 混凝土抗壓強度Fig.3 Compressive strength of concrete

圖4 混凝土破碎分形維數與抗壓強度的關系Fig.4 Relation of fractal dimension of concrete fragmentation and compressive strength

2.3.3 破碎分形維數與峰值應變的關系

圖5給出了各試樣的混凝土破碎分形維數與峰值應變的關系。由圖可知，圓柱體試樣峰值應變均高于同粒徑棱柱體，對于5～10 mm、5～16 mm和10～16 mm三種粒徑，分別高出1.49%、43.93%和33.33%，說明混凝土的峰值應變受到試樣形狀影響。對于棱柱體試樣，5～10 mm粒徑的峰值應變依次高出5～16 mm粒徑25.23%、10～16 mm粒徑32.10%，對于圓柱體試樣，除5～16 mm粒徑外，峰值應變亦隨粗骨料粒徑的減小而增大。無論棱柱體試樣還是圓柱體試樣，混凝土破碎分形維數均隨峰值應變的提高而呈增大趨勢。

圖5 破碎分形維數與峰值應變的關系Fig.5 Relation of fractal dimension of concrete fragmentation and peak strain

2.3.4 破碎分形維數與試樣單位體積吸收能的關系

鑒于單位體積吸收能[18-19]能夠反映試樣的破碎程度，本文對各試樣的單位體積吸收能進行了計算(具體計算方法見式(9))，并探討了單位體積吸收能與破碎分形維數的關系。各試樣的單位體積吸收能與破碎分形維數的關系見圖6。

圖6 各試樣的分形維數與單位體積吸收能的關系Fig.6 Relation of fractal dimension and unit volume absorption energy

(9)

式中，W為試樣的單位體積吸收能，F為試驗力，u為試樣的變形，V為試樣體積。

可以看出，圓柱體試樣的單位體積吸收能均比同粒徑的棱柱體試樣高，對于5～10 mm、5～16 mm和10～16 mm三種粒徑，分別提高3.08%、113.49%、73.26%，說明混凝土單位體積吸收能與試樣形狀有關。對于棱柱體試樣，5～10 mm粒徑的單位體積吸收能依次比5～16 mm、10～16 mm粒徑的高出66.16%、26.77%，對于圓柱體試樣，除5～16 mm粒徑外，單位體積吸收能同樣隨粗骨料粒徑的減小而增大。且不論棱柱體試樣還是圓柱體試樣，混凝土破碎分形維數均隨單位體積吸收能的增加而呈增大趨勢，表明混凝土試樣的單位體積吸收能越多，破碎分形維數越大，破碎程度越高。這是因為單位體積吸收能越大，混凝土試樣在破壞過程中的能量耗散及能量釋放相應就越大，導致形成的微裂紋也就越多，產生的破裂面也就越多，出現更多尺度的碎塊也就越多，破碎就越嚴重[20]。

2.3.5 破碎分形維數與混凝土脆性指標的關系

圖7 各試樣的破碎分形維數與脆性指標的關系Fig.7 Relations between fractal dimension and brittleness index

B7=(σp-σr)/σp

(10)

式中，B7為脆性指標，σp為峰值強度，σr為殘余強度。

可見，棱柱體試樣的脆性指標均高于同粒徑的圓柱體試樣，對于5～10 mm、5～16 mm和10～16 mm三種粒徑，分別高出2.3%、75.5%、11.11%，說明試樣形狀對脆性指標有影響；對于棱柱體試樣，5～10 mm粒徑的脆性指標依次低于5～16 mm粒徑8.44%、10～16 mm粒徑1.2%，對于圓柱體試樣，除5～16 mm粒徑外，脆性指標依然隨粗骨料粒徑的減小而降低。兩種形狀試樣的破碎分形維數均隨脆性指標的降低而呈增大趨勢，說明脆性指標越小，破碎分形維數越大，破碎程度越高。

3 結 論

基于Turcotte研究理論，通過混凝土單軸壓縮試驗，對混凝土破碎后的分形特征進行了研究。分析了粗骨料粒徑和試樣形狀對混凝土破碎分形維數的影響，討論了抗壓強度、峰值應變、單位體積吸收能、脆性指標與破碎分形維數的關系，得出以下結論：

(1)混凝土單軸壓縮破壞后的碎塊分布具有分形特征。

(2)棱柱體試樣的破碎分形維數隨粗骨料粒徑的增大而降低，隨混凝土抗壓強度的提高而增大。

(3)圓柱體試樣的破碎分形維數除5～16 mm粒徑外，隨粗骨料粒徑的增大亦呈降低趨勢，隨混凝土抗壓強度的提高呈增大趨勢，與同粒徑的棱柱體試樣相比呈降低趨勢。

(4)兩種形狀試樣的破碎分形維數均隨峰值應變的提高、單位體積吸收能的增加、脆性指標的減小而增大。