完整Coriolis力與弱地形作用下的非齊次mKdV-Burgers方程

周蘭鎖,欒金鳳,尹曉軍,那仁滿都拉

(1.內蒙古農業大學理學院,內蒙古呼和浩特 010018)

(2.內蒙古體育職業學院,內蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

地球旋轉對地球流體中波的產生有及其重要的作用,其中在大氣海洋領域中它的作用也是顯而易見.Rossby波同樣與地球旋轉是密不可分.國內外學者從不同角度出發對Rossby波的特性進行研究[1?5].大氣千變萬化,大氣運動可以被一系列基本原始方程所描述,如有連續方程、運動方程、能量方程.自從Long開創性用KdV方程來描述較為理想狀態正壓流體中的Rossby波的振幅演變規律后[6].許多學者分析誘導與加強大氣運動中Rossby波會受到beta效應、地形強迫、耗散和外源、基本流的切變效應、地形緩變效應以及行星波與天氣波的相互作用等因素的影響[7?9].其中在分析Rossby波振幅特性的過程中,通常從準地磚位渦方程出發來進行研究.Dellar等[10]利用變分原理推導含有完整Coriolis力作用的準地轉位渦方程.在2010年,他們[11]擴展了這項工作,并導出了具有完整Coriolis力的方程來描述無粘、不可壓縮流體的多層流體背景下的Roosby波的流動.尹曉軍從含有完整Coriolis力的準地轉位渦方程出發[12],推導出了mKdV-Burgers方程,進一步闡述了Rossby波的振幅演變規律會受到地球旋轉水平分量、beta效應以及強耗散三個因素的影響.楊紅衛從基本方程出發,推到出分數階BDO方程去描述Rossby波的振幅演變規律[13].關于完整Coriolis力相關報道,見文獻[14?16].但是我們發現上述文獻都沒有討論中高緯度Rossby波的波動形態,實際上極端的天氣現象(氣旋、反氣旋、寒潮等)主要發生在中高緯度地區,極大的影響了人們的生活.另一方面,由于描述波的波動形態是一系列微分方程,因此尋找微分方程的解析解或者孤立波解近年來得到了迅速發展.如呂興等應用雙線性變換求解了(3+1)維非線性演變方程以及Boussinesq方程的各種精確解以及多孤立子解[17?18].再比如Jacobi橢圓函數展開法[19],同倫攝動法[20],Bcklund變換法[21]等.

本文主要對受到完整科里奧利力、地形效應、耗散和外源強迫共同作用的準地轉位渦方程進行研究.首先對準地轉位渦方程所表示的大尺度問題作了無量綱變換;然后把流函數分為基本流函數和擾動流函數兩部分,在色散和非線性之間平衡的條件下,通過作時空伸縮變換和攝動展開法推導出弱地形作用下的非齊次mKdV-Burgers方程,闡述科里奧利力對方程齊次項系數產生影響,所得的弱地形效應影響到方程中強迫項;最后對得到的非齊次mKdV-Burgers方程應用簡化的微分變化法和Maple數學軟件進行了近似求解,并且對一種特定Rossby波的振幅進行圖形模擬后發現,Rossby波的振幅隨時間在逐漸增大,Rossby波的波峰與波谷出現的經度位置隨時間沒有明顯改變.

2 非齊次mKdV-Burgers方程的推導過程

考慮含有完整科氏力以及帶有耗散和外源的準地轉位渦方程:

其中φ(x,y,t)表示總的流函數,x、y、t分別表示經度和緯度變量以及時間變量,和fH分別表示科里奧利力的垂直分量和水平分量,且f0和fH為常數,H表示垂直尺度,B(x,y)表示底地形函數,μ0?2φ表示耗散,μ0表示耗散強度,Q表示外源.側邊界條件滿足的剛壁條件

方程(2.2)中y=y1,y=y2分別表示地球南北方向的邊界.

首先通過無量綱化方程(2.1)和(2.2)變為

把(2.5)式代入到方程(2.3)中得

把變換(2.7)式代入到(2.6)式得

為了討論非線性長波,可作時空伸縮變換,即Gardner-Morikawa變換

其中X,T分別為經度和時間的緩變量,同時由變換(2.9)得

把變換(2.9)和(2.10)代入到方程(2.8)中得

把(2.12)式代入(2.11)式中得

通過后續(2.17),(2.21),(2.24)式分析得

從而底地形函數B(x,y)=ε3h(X,y),因為科氏參數ε?1,所以底地形函數B(x,y)表示相對非常小的量,即為弱地形作用.進一步方程(2.13)可變為

下面采用攝動展開法.首先設擾動流函數有如下的小參數展開式

把方程(2.16)代入到方程(2.15)中,通過比較ε0的系數得

假設φ0具有下列形式的分離變量解

其中A(X,T)表示Rossby波的振幅,把方程(2.18)代入方程(2.17)中得Φ0滿足

由于函數p(y)的未知性,所以從本征值問題(2.19)和(2.20)來確定本征函數Φ0和本征值c0的精確解是比較困難.為了確定Rossby波振幅A(X,T)的數學演化模型,繼續比較ε的系數得

假設φ1具有下列形式的分離變量解

通過分析,還不能從方程(2.23)中確定Rossby波振幅的演化規律所滿足的數學模型,需要提高精度,繼續比較ε2的系數得

其中

把(2.18)和(2.22)式代入(2.25)式中,并利用(2.19)和(2.23)式得

利用本征函數的正交性和消奇異條件

可以得到Rossby波的振幅滿足下列非齊次mKdV-Burgers方程

其中系數如下

3 求解非齊次mKdV-Burgers方程

下面采用簡化的微分變化法求解方程(2.28).假設方程(2.28)具有如下形式的解

為書寫簡便,同時方程(2.28)的非齊次項記為g(X),即

把(3.1)和(3.2)式代入到(2.28)式得

分別比較(3.3)式中T0,T1,···,Tj?1,···前的系數得由此可得

把(3.4)、(3.5)和(3.6)式代入(3.1)式中,可得方程(2.28)的解

由(3.4)、(3.5)、(3.6)和(3.7)式得,當系數α、β、γ、A0和g(X)確定后,方程(2.28)的解也就確定了,即確定了Rossby波振幅的演化規律.由(3.1)和(3.7)式得A(X,T)的近似解[7]為

假設初始項A0(X)=msechX和非齊次項g(X)=sinnX,由遞推關系(3.4)式和(3.5)式應用Maple數學軟件得

把(3.9)和(3.10)式代入(3.8)式中,方程(2.28)的近似解就即可確定.從(3.4)、(3.5)式和(3.6)式體現出弱地形效應會對方程解的系數Aj(X),j∈N均會產生影響.進一步得出,在正壓模式下底地形效應對Rossby波的振幅起主要作用.

依據初始項A0(X)=msechX和非齊次項g(X)=sinnX,通過(3.9)和(3.10)式方程(2.28)的近似解就可以完全確定.當α=0.5,β=1,γ=1,m=1,n=0.5時,方程(2.28)的近似解的圖形如上.從圖1和圖2可以看出:這種模擬式Rossby波的振幅在隨時間的改變而振幅逐漸在增大.波峰和波谷出現的經度位置隨時間發生略微改變.

圖1 Rossby波的振幅

圖2 三個不同時刻的Rossby波的振幅

4 小結

本文從中高緯度含有完整Coriolis力的準地轉位渦方程出發,利用時空伸縮變換,得到了描述Rossby波的振幅形態滿足的非齊次mKdV-Burgers方程.在推導模型過程中,發現底地形函數B(x,y)=ε3h(X,y),因為這里考慮的是大尺度問題,即ε?1時,所以底地形函數就表示弱地形效應.當底地形效應徹底消失的時候就是文獻[12]的情形.最后對非齊次mKdV-Burgers方程利用簡化的微分變換法做近似求解,對影響解的因素做出分析.

通過所得的分析結論,可以看出在理想狀態正壓模式下底地形效應對Rossby波振幅影響較大.在大氣海洋學中,該結論為研究Rossby波在接近地球低層的振幅形態提供了理論依據.