基于頻譜分析的柔性機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)運(yùn)動路徑規(guī)劃與實(shí)驗(yàn)研究

余臻 郭毓 姚偉

摘要： 針對一類懸臂式柔性機(jī)械臂系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程中的振動抑制問題，首先利用拉格朗日法進(jìn)行系統(tǒng)動力學(xué)建模;然后從頻譜分析的角度出發(fā)，提出了基于剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值兩個原則的路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)思路;再通過分析系統(tǒng)的剛?cè)狁詈咸匦裕岢隽嘶谏鲜鲈瓌t的路徑參數(shù)選擇方法;最后，基于Quanser Rotary Flexible Link實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，以經(jīng)典Bang-Coast-Bang型路徑為例，進(jìn)行了優(yōu)化參數(shù)的選擇。理論分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)思路是有效的，且使用所提方法選擇路徑參數(shù)，可有效減小旋轉(zhuǎn)運(yùn)動激發(fā)的柔性振動，所提思路對柔性結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)機(jī)動路徑規(guī)劃具有指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞： 振動抑制; 柔性機(jī)械臂; 頻譜分析; 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動; 路徑規(guī)劃

中圖分類號： TB535; O313.7; TP241 ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2020）04-0717-007

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.009

引 言

在現(xiàn)代機(jī)器人及航天工程等領(lǐng)域，柔性機(jī)械臂以其質(zhì)量輕、靈活性好以及效率高等優(yōu)勢得到了廣泛應(yīng)用。常見的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)通常由柔性懸臂梁以及末端驅(qū)動電機(jī)組成，可進(jìn)行水平旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。根據(jù)特定任務(wù)要求，在操作過程中常需要進(jìn)行大角度Rest-to-Rest旋轉(zhuǎn)快速運(yùn)動快速穩(wěn)定，即初始和期望角速度均為零。由于柔性機(jī)械臂模態(tài)阻尼較小，快速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動易激發(fā)不期望的柔性振動，從而對系統(tǒng)性能產(chǎn)生不利的影響，持續(xù)的振動甚至?xí)?dǎo)致結(jié)構(gòu)的疲勞損壞，因此，針對柔性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的振動抑制研究具有重要的理論與應(yīng)用意義。

在柔性機(jī)械臂Rest-to-Rest旋轉(zhuǎn)運(yùn)動控制中，參考輸入若為階躍信號，則初始階段較大的誤差會引起驅(qū)動電機(jī)的強(qiáng)烈動作，從而導(dǎo)致超調(diào)以及激發(fā)柔性臂的強(qiáng)烈振動。因此，使用路徑規(guī)劃技術(shù)以柔化旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程是一種行之有效的振動抑制方法。然而，由于驅(qū)動電機(jī)提供的最大力矩和測量機(jī)構(gòu)量程的限制，使得運(yùn)動過程中電機(jī)的最大角加速度和最大角速度受限，同時考慮減少激發(fā)柔性振動，這就需要設(shè)計(jì)優(yōu)化期望運(yùn)動路徑。快速運(yùn)動要求路徑加速度盡量大，而快速穩(wěn)定要求運(yùn)動過程盡量少激發(fā)柔性臂振動，路徑加速度須盡量小。顯然，快速運(yùn)動與快速穩(wěn)定對路徑參數(shù)的要求是矛盾的，因此在進(jìn)行路徑規(guī)劃時需要同時兼顧這兩個方面的要求，折衷選擇合適的路徑參數(shù)。目前，不同形式的期望運(yùn)動路徑已被提出，包括但不限于：Bang-Coast-Bang （BCB）型[1]、Smoothed Bang-Bang型[2]、S函數(shù)型[3]、拋物線型[4]、正弦函數(shù)型[5]、余弦函數(shù)型[6]、五次多項(xiàng)式型[7]、非對稱梯形[8]等，其中BCB型最經(jīng)典也最簡單，應(yīng)用最為廣泛。然而，在已有文獻(xiàn)中這些路徑類型對系統(tǒng)快速運(yùn)動快速穩(wěn)定性能的影響大多通過仿真得到，缺乏理論研究，無法揭示路徑規(guī)劃減少系統(tǒng)柔性振動的機(jī)理. 文獻(xiàn)[9]首次對BCB型和拋物線型路徑進(jìn)行了頻譜分析，初步開展了柔化運(yùn)動路徑減振機(jī)理的理論研究。

柔性機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的控制效果不僅與路徑類型相關(guān)，還與路徑參數(shù)密切相關(guān)。現(xiàn)有文獻(xiàn)中對路徑參數(shù)確定的理論研究成果不多，大多采用離線優(yōu)化的方法選擇優(yōu)化參數(shù)，再通過仿真加以驗(yàn)證，但是難以得到對其他系統(tǒng)路徑參數(shù)設(shè)計(jì)具有一般性指導(dǎo)意義的方法。文獻(xiàn)[10]首次推導(dǎo)得到了BCB型路徑的頻譜表達(dá)式，初步分析了路徑頻譜、運(yùn)動時間與路徑參數(shù)之間的關(guān)系。

本文以Quanser Rotary Flexible Link （RFL）實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為研究對象，在分析二階系統(tǒng)幅頻特性和系統(tǒng)剛?cè)狁詈咸匦缘幕A(chǔ)上，提出了基于剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值原則的減振運(yùn)動路徑設(shè)計(jì)思路以及基于上述原則的路徑參數(shù)選擇方法。以BCB型路徑為例，基于RFL系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。本文后續(xù)內(nèi)容安排如下：第1節(jié)對RFL系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)建模與分析;第2節(jié)闡述了減振路徑設(shè)計(jì)思路與參數(shù)選擇方法;第3節(jié)給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析;第4節(jié)為本文結(jié)論。

1 RFL系統(tǒng)動力學(xué)建模

本文研究的RFL實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物如圖1所示，其中FLEXGAGE臂由一個不銹鋼材質(zhì)的薄柔性臂①和一個安裝于其固定端的應(yīng)變計(jì)②組成。由于安裝在Quanser SRV02平臺③上，從而形成了一個可水平轉(zhuǎn)動的柔性臂平臺，可用于實(shí)施各種柔性結(jié)構(gòu)控制實(shí)驗(yàn)。通過使用直流電機(jī)驅(qū)動柔性臂在水平面內(nèi)繞固定端旋轉(zhuǎn)，柔性臂的電機(jī)固定端安裝了可測量末端撓度的應(yīng)變計(jì)，其輸出為一個正比于柔性臂撓度的模擬信號。

雖然只有電機(jī)與柔性臂的角位置可測，但其角速度可由數(shù)字控制器計(jì)算得出，即對角位置進(jìn)行微分再使用高通濾波器對結(jié)果進(jìn)行濾波處理。

為了在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程中盡可能減小對柔性臂振動的激發(fā)，可以通過預(yù)先規(guī)劃電機(jī)角加速度d，使得其不易激起振動。再使用控制器對其進(jìn)行跟蹤，使實(shí)際角加速度≈d，將調(diào)節(jié)控制問題轉(zhuǎn)化為路徑跟蹤控制問題，這樣就可以得到一種不易激起振動的路徑。

2 減振運(yùn)動路徑的設(shè)計(jì)思路與參數(shù)選擇 ?由于柔性臂激勵-JL為非周期信號，而任何周期激勵或非周期激勵總可以通過傅里葉變換（FT）展開成一系列諧波激勵的疊加，因此，首先考慮二階線性系統(tǒng)在諧波激勵下的響應(yīng)，再通過線性系統(tǒng)疊加原理就可以分析和得到柔性臂在非周期激勵下的響應(yīng)。

2.1 二階系統(tǒng)在諧波激勵下的響應(yīng)

考慮二階線性系統(tǒng)受到諧波信號f（t）=sin（ωet）的激勵，則微分方程可寫為（t）+2ζωn（t）+ω2nx（t）=ω2nsin（ωet）

（12）式中 ζ為系統(tǒng)阻尼比，ωn為系統(tǒng)無阻尼固有頻率，ωe為激勵頻率。系統(tǒng)的幅頻特性為H（ωe）=1（1-ω2eω2n）2+（2ζωeωn）2

（13） ?以激勵頻率ωe與系統(tǒng)無阻尼固有頻率ωn之比為橫坐標(biāo)，H（ωe）為縱坐標(biāo)，根據(jù)式（13）給出不同阻尼比ζ時的幅頻特性曲線，如圖3所示。

由圖3可知：

當(dāng)激勵頻率遠(yuǎn)低于系統(tǒng)無阻尼固有頻率，即ωeωn1時，H（ωe）→1。且當(dāng)ωe=0時，H（ωe）=1。系統(tǒng)在ωeωn1區(qū)域內(nèi)的特性主要由系統(tǒng)剛度決定，因此這一區(qū)域稱為“剛度控制區(qū)”。

當(dāng)激勵頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)無阻尼固有頻率，即ωeωn1時，H（ωe）<1，且當(dāng)ωe→∞時，H（ωe）→0。系統(tǒng)在ωeωn1區(qū)域內(nèi)的特性主要由系統(tǒng)慣性決定，因此這一區(qū)域稱為“質(zhì)量控制區(qū)”。

當(dāng)激勵頻率約等于系統(tǒng)無阻尼固有頻率，即ωeωn≈1時，H（ωe）出現(xiàn)峰值。比較不同阻尼比ζ的特性曲線可知，ζ越小，峰值越大。系統(tǒng)在ωeωn≈1區(qū)域內(nèi)的特性主要由系統(tǒng)阻尼決定，因此這一區(qū)域稱為“阻尼控制區(qū)”。進(jìn)一步，當(dāng)激勵頻率等于共振頻率ωr時，即ωr=1-2ζ2ωn（14） ?H（ωe）出現(xiàn)峰值H（ωr），此時系統(tǒng)發(fā)生共振[11]。

2.2 柔化運(yùn)動路徑的減振機(jī)理

柔性臂的激勵為非周期信號，因此含有連續(xù)的頻譜分布，即其頻譜在每個頻率點(diǎn)處都有幅值。顯然，對期望路徑角加速度d進(jìn)行FT得到其頻譜，再通過分析其頻譜特性與柔性臂固有頻率之間的關(guān)系，可總結(jié)出柔化運(yùn)動路徑的減振機(jī)理。

由于柔性臂阻尼比很小，則由式（14）可知ωr≈ωn，即當(dāng)激勵頻率接近其固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振，同時因極小的阻尼比，共振峰值H（ωr）≈H（ωn）≈12ζ非常大，因此，d的頻譜在各階模態(tài)固有頻率處的幅值大小決定了柔性振動被激發(fā)的程度。從減振角度出發(fā)，應(yīng)使d的頻譜在各階固有頻率處的幅值盡量小。

考慮到柔性臂主導(dǎo)模態(tài)集中在低頻區(qū)域，主要為第1階模態(tài)，因此，應(yīng)使d的主頻遠(yuǎn)離柔性臂第1階模態(tài)固有頻率，即遠(yuǎn)離其“阻尼控制區(qū)”，然而，還需進(jìn)一步分析其主頻應(yīng)位于“剛度控制區(qū)”還是“質(zhì)量控制區(qū)”。由圖3可知，在“質(zhì)量控制區(qū)”中，當(dāng)激勵頻率大于固有頻率的1.5倍以上時，H（ωe）<1，且倍數(shù)越大，幅值衰減越明顯;而在“剛度控制區(qū)”中，當(dāng)激勵頻率小于固有頻率的0.5倍以下時，H（ωe）→1，且倍數(shù)越小，幅值衰減并不明顯。

表面上看，“質(zhì)量控制區(qū)”的幅值衰減比“剛度控制區(qū)”明顯，并且也能保證旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的快速性，但由于柔性臂本質(zhì)上為分布參數(shù)系統(tǒng)，具有無窮多個模態(tài)，且模態(tài)密集。若d的主頻位于第1階模態(tài)固有頻率的“質(zhì)量控制區(qū)”，則易激發(fā)高頻模態(tài)振動，因此，其主頻應(yīng)位于“剛度控制區(qū)”，即不應(yīng)高于第1階模態(tài)固有頻率，然而，若d的主頻遠(yuǎn)小于第1階模態(tài)頻率，則運(yùn)動快速性不能滿足。

綜合以上分析，可以得到柔化路徑的減振機(jī)理：

（1） 剛度控制區(qū)主頻定位原則

定義定位指標(biāo)為δ=ωzω1（15）式中 ωz為路徑d的主頻，即其頻譜最大幅值所對應(yīng)的頻率，ω1為柔性臂第1階模態(tài)固有頻率。為保證主頻位于ω1的“剛度控制區(qū)”，且運(yùn)動速度不至于過慢，須在滿足任務(wù)中運(yùn)動時間要求下盡量使得ωz遠(yuǎn)離ω1。通常情況下，應(yīng)使0.05≤δ≤0.1。

（2）阻尼控制區(qū)較小幅值原則

令A(yù)i為路徑d的頻譜在柔性臂各模態(tài)固有頻率處的幅值，其所對應(yīng)的頻率落在各模態(tài)固有頻率的“阻尼控制區(qū)”，由于阻尼比極小，應(yīng)使得Ai越小越好，以減少激發(fā)柔性振動。

根據(jù)上述兩個原則，可以分析不同路徑類型及參數(shù)對柔性臂系統(tǒng)的影響，從而指導(dǎo)如何規(guī)劃減振路徑。

2.3 基于減振路徑設(shè)計(jì)思路的參數(shù)選擇方法

通過對期望路徑的角加速度信號進(jìn)行離散傅里葉變換（DFT），可得到其頻譜分布Φ（k），進(jìn)而可得到路徑參數(shù)與期望角加速度信號頻譜Φ（k）之間的定量關(guān)系。令路徑頻譜Φ（k）滿足2.2節(jié)所提剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值原則，可得到不易激發(fā)柔性臂振動的路徑參數(shù);再綜合考慮路徑參數(shù)與運(yùn)動總時間Tz之間的關(guān)系，則可兼顧運(yùn)動快速性和穩(wěn)定性。

因此，柔化路徑參數(shù)的選擇方法可歸納為以下步驟：

1）針對路徑類型、系統(tǒng)限制以及任務(wù)要求，得到路徑參數(shù)約束式;

2）使用DFT推導(dǎo)得到路徑角加速度的頻譜表達(dá)式;

3）根據(jù)路徑頻譜表達(dá)式和參數(shù)約束式分別得出路徑參數(shù)與δ，A1以及Tz的關(guān)系;

4）基于剛度控制區(qū)主頻定位和阻尼控制區(qū)較小幅值原則確定參數(shù)取值區(qū)域;

5）找出此區(qū)域中滿足A1=0的一組參數(shù)即為優(yōu)化參數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 RFL系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)參數(shù) ?為驗(yàn)證所提路徑規(guī)劃減振機(jī)理以及參數(shù)選擇方法的有效性，以BCB型路徑為例，使用LQR跟蹤控制算法，基于RFL實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行水平旋轉(zhuǎn)運(yùn)動實(shí)驗(yàn)研究，其主要物理參數(shù)和控制參數(shù)如表1所示。

利用式（19）所描述的路徑參數(shù)a和T與頻譜Φ（k）之間的定量關(guān)系，根據(jù)柔性臂實(shí)測固有圓頻率ωn=20.268 rad/s，針對系統(tǒng)限制以及任務(wù)要求，使用2.3節(jié)所提方法可得到一組兼顧運(yùn)動快速性與穩(wěn)定性的參數(shù)為aT=8800.52，具體參數(shù)選擇步驟的實(shí)現(xiàn)可參考文獻(xiàn)[10]。因此，考慮以下兩種實(shí)驗(yàn)方案：

1）使用階躍信號作為參考輸入進(jìn)行運(yùn)動;

2）使用基于所選優(yōu)化參數(shù)的BCB型路徑進(jìn)行運(yùn)動。

優(yōu)化參數(shù)下規(guī)劃的BCB型路徑頻譜如圖5所示，可以看出，柔性臂固有頻率落在路徑頻譜的零點(diǎn)處，因此可有效減少對柔性振動的激發(fā)。

為比較不同方案下RFL系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動控制的效果，考慮以下三個性能指標(biāo)：1）瞬態(tài)振動強(qiáng)度αm，即運(yùn)動過程中柔性臂偏轉(zhuǎn)角的最大絕對值;2）平均振動強(qiáng)度pL，即計(jì)算從0到5 s的柔性臂偏轉(zhuǎn)角均方根值;3）平均控制量pV，即計(jì)算從0到5 s的電機(jī)控制電壓均方根值。系統(tǒng)性能指標(biāo)如表2所示。

由表2可知，使用階躍參考信號進(jìn)行運(yùn)動時，RFL系統(tǒng)峰值偏轉(zhuǎn)角較大，易激發(fā)柔性振動，且所需控制輸入也較大;而使用基于優(yōu)化參數(shù)的BCB型路徑進(jìn)行運(yùn)動時，系統(tǒng)在瞬態(tài)振動強(qiáng)度、平均振動強(qiáng)度以及控制輸入方面均優(yōu)于階躍路徑，可在完成快速運(yùn)動的同時，減少對柔性振動的激發(fā)。

4 結(jié) 論

基于RFL實(shí)驗(yàn)平臺，利用所提方法設(shè)計(jì)BCB型路徑用于柔性臂系統(tǒng)Rest-to-Rest旋轉(zhuǎn)運(yùn)動實(shí)驗(yàn)，與傳統(tǒng)的階躍指令相比，可在提高運(yùn)動快速性的同時，大幅降低柔性臂的振動強(qiáng)度，并可避免過度的控制輸入。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提路徑設(shè)計(jì)思路及參數(shù)選擇方法可有效減少旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程對柔性振動的激發(fā)，對機(jī)器人柔性機(jī)械臂運(yùn)動控制、撓性航天器姿態(tài)機(jī)動控制等領(lǐng)域的路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)具有一定的理論指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] Creamer G， DeLaHunt P， Gates S， et al. Attitude determination and control of Clementine during Lunar mapping[J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 1996， 19（3）： 505-511.

[2] Romano M， Agrawal B N， Bernelli-Zazzera F. Experiments on command shaping control of a manipulator with flexible links[J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2002， 25（2）： 232-239.

[3] 申曉寧， 周 端， 郭 毓， 等. 基于多目標(biāo)進(jìn)化算法的衛(wèi)星機(jī)動路徑規(guī)劃[J]. 航空動力學(xué)報， 2010， 25（8）： 1906-1912.

SHEN Xiaoning， ZHOU Duan， GUO Yu， et al. Path planning for maneuver of the satellite based on a multi-objective evolutionary algorithm[J]. Journal of Aerospace Power， 2010， 25（8）： 1906-1912.

[4] 鄭立君， 郭 毓， 賴愛芳， 等. 撓性航天器大角度姿態(tài)機(jī)動路徑規(guī)劃[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報， 2011， 39（S2）： 232-234， 242.

ZHENG Lijun， GUO Yu， LAI Aifang， et al. Path planning for large angle attitude maneuver of flexible spacecraft[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology， 2011， 39（S2）： 232-234， 242.

[5] Guo Y， Zhou C F， Yu Z， et al. Study on attitude control for Move-to-Rest manoeuvre of flexible spacecraft[J]. International Journal of Modelling， Identification and Control， 2013， 19（1）： 23-31.

[6] 劉德慶， 彭仁軍， 張子龍. 基于路徑規(guī)劃和輸入成型的撓性航天器振動控制方法[J]. 上海航天， 2014， 31（4）： 41-46.

LIU Deqing， PENG Renjun， ZHANG Zilong. Vibration control method of flexible spacecraft based on path planning and input shaping[J]. Aerospace Shanghai， 2014， 31（4）： 41-46.

[7] Zhang Y， Zhang J R. Combined control of fast attitude maneuver and stabilization for large complex spacecraft[J]. Acta Mechanica Sinica， 2013， 29（6）： 875-882.

[8] 周 端， 申曉寧， 郭 毓， 等. 基于多目標(biāo)優(yōu)化的撓性航天器姿態(tài)機(jī)動路徑規(guī)劃[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報， 2012， 36（5）： 846-853.

ZHOU Duan， SHEN Xiaoning， GUO Yu， et al. Profile planning for attitude maneuver of flexible spacecrafts based on multi-objective optimization[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology， 2012， 36（5）： 846-853.

[9] 余 臻， 鄭立君， 郭 毓. Bang-Coast-Bang型與拋物線型航天器姿態(tài)機(jī)動路徑的頻譜分析[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報， 2012， 40（S1）： 70-76.

YU Zhen， ZHENG Lijun， GUO Yu. Spectral analysis on Bang-Coast-Bang and parabolic path for spacecraft attitude maneuver[J]. Journal of Tongji University， 2012， 40（S1）： 70-76.

[10] Yu Z， Zhong C X， Guo Y. Spectral analysis and parameter selection for BCB attitude maneuver path of flexible spacecraft[C]. Proceedings of International Conference on Information and Automation. Piscataway： IEEE， 2013： 729-734.

[11] 朱石堅(jiān)， 樓京俊， 何其偉， 等. 振動理論與隔振技術(shù)[M]. 北京： 國防工業(yè)出版社， 2006： 7-12.

ZHU Shijian， LOU Jingjun， HE Qiwei， et al. Vibration Theory and Vibration Isolation[M]. Beijing： National Defense Industry Press， 2006： 7-12.

Abstract： This paper tackles the issues of path planning for rotational motions of a flexible manipulator system with vibration suppression. Dynamic modeling of the system is presented via the Lagrange method. Based on the spectral analysis approach， a novel idea composed of two principles， i.e. dominant-frequency placement in stiffness region and less amplitude in damping region， is proposed for path planning. By analyzing the rigid-flex coupling characteristics of the system， a selection method of path parameters based on the two principles is proposed. A case study of Bang-Coast-Bang path parameter selection on Quanser Rotary Flexible Link system is given. Theoretical analysis and experimental results demonstrate the effectiveness of the proposed idea. The resulting maneuver path using the proposed parameter selection method can reduce stimulation of flexible vibrations effectively. This idea can instruct path planning design for slew maneuvers of flexible structures.

Key words： vibration suppression; flexible manipulator; spectral analysis; rotational motion; path planning