基于工藝因素統計量化的多工序制造質量建模

李伊， 張發平， 閻艷， 張田會， 周建華， 郭飛燕

(1.北京理工大學 機械與車輛學院, 北京 100081; 2.北京機電工程研究所, 北京 100074; 3.北京動力機械研究所 總裝中心, 北京 100074; 4.中國航空制造技術研究院, 北京 100024)

0 引言

近些年來，隨著武器裝備研發的不斷深入，軍工產品的功能性需求大都已得到滿足，產品的質量及可靠性問題逐漸成為限制國防工業發展的瓶頸問題[1-2]。復雜武器裝備的制造過程往往包含多道工序，不同于其他多階段系統，多工序制造質量的形成過程具有一些獨到的特點[3]：1)產品的最終質量是前序多道工序質量累積疊加的結果，而由于多工序之間復雜的影響關系，質量的累積過程并不是線性的；2)由于測量及認知的局限，工序質量及最終的產品質量并不是確定性的，其值往往圍繞設計或工藝給定的公稱值波動。相應的，這些特點給多工序制造質量分析帶來兩個主要的挑戰：1)如何理解多工序制造的質量累積過程，從而對其進行合理地建模表達；2)如何進一步利用構建的模型對質量的波動進行有效地控制。

許多科研人員對產品的多工序制造質量分析進行了研究[4-6]，但綜合現有文獻，許多問題依然沒有解決：1)現有分析方法(如馬爾可夫、貝葉斯網絡等)中，產品質量的表達往往是屬性值(如產品合格率)，而不是計量值(如質量特性的準確分布)；2)質量的分析過程往往只考慮某一個或某一類因素的影響，影響因素分析不全；3)現有方法大都是模型驅動，即質量影響因素(KCC)與質量輸出(KPC)之間具有明確的解析關系，而隨著產品復雜度的不斷提升，KCC與KPC之間的關系往往沒有解析表達，甚至連經驗公式也沒有。

針對上述挑戰和問題，本文提出了質量傳遞綜合模型(QTCM). 對影響產品質量的因素進行了全面地分析，并給出了以往研究較少涉及的操作者和設備因素的量化方法。采用數據驅動的方式構建了KCC與KPC之間的映射關系，實現了質量特性分布的準確評估與預測。在此基礎之上，給出了確定產品質量波動主要KCC的解析算法，從而為產品質量的提升提供幫助。對某型號導彈發動機轉子系統多工序裝配過程的分析，驗證了QTCM的有效性。

1 QTCM框架

QTCM的構建基于兩個前提：首先，每一制造工序的輸入和輸出變量均為正態隨機變量，且已知輸入變量的概率密度函數；其次，各變量彼此獨立。

典型的單工序制造過程如圖1所示，過程分為3個階段：制造準備階段、制造過程階段以及KPC輸出階段。圖1中：F為KCC與KPC之間的映射關系；KCC來自于兩個階段，q1為一組來自于制造準備階段的KCC，包括原材料質量或前序工序的KPC等，s為一組來自于制造過程階段的KCC，包括機器設置(如機床主軸轉速、刀具進給速度、動平衡機轉速等設備預設參數)、制造過程工況參數(如環境溫度、濕度、設備狀態等)以及其他工藝因素(如螺紋擰緊力矩、操作者經驗等)；q2為一組KPC指標，可以包括尺寸、材料等屬性，它也是后序工序的質量輸入。

圖1 單工序制造過程Fig.1 Single stage manufacturing model

圖1所描述的過程可以用(1)式加以概括：

q2=F(s,q1).

(1)

(1)式描述了KCC測量值與產品KPC值之間的關系。由于KCC均為隨機變量且已知其分布，因此可以借助其概率密度函數得到KPC的期望值，其表達式為

E(q2)=?F(s,q1)f(s)f(q1)dsdq1，

(2)

式中：f(s)和f(q1)分別為s和q1的概率密度函數。

通過(2)式，可以進一步得到KPC方差的表達式：

(3)

(1)式～(3)式為單工序質量模型的解析表達，在實際應用中，這3式很難直接計算，因此嘗試使用泰勒展開找到(2)式和(3)式的求解方法。制造參數往往圍繞其公稱值小范圍波動，因此可以認為制造過程在公稱點附近是線性的。利用泰勒展開式，將(1)式在公稱點處做線性化處理：

(4)

由(4)式可得

(5)

由(5)式，借助均方根(RSS)方法[7]，可以得到KPC方差為

(6)

在單工序質量模型的基礎上，可以擴展得到多工序的質量模型，具有兩道工序的連續多工序制造系統如圖2所示。圖2中：F1和F2分別為兩工序中KCC與KPC之間的映射關系；s1和s2分別為兩工序中來自于制造過程階段的KCC；q0為工序1中來自于制造準備階段的KCC.

圖2 連續多工序制造過程Fig.2 Serial multi-stage manufacturing model

根據(6)式，多工序制造系統中任意工序的KPC方差可表示為

(7)

至此，便通過嚴格的數學推導，得到了制造質量模型的解析表達，(4)式和(6)式可以借助KCC的分布情況計算KPC的輸出值及方差。但是，通過觀察不難發現，KCC和KPC之間的映射關系F是必不可少的。在實際的工程問題中，具有解析表達的F是最方便的。但是，大部分的制造過程不能用解析的方式加以映射。

同時值得一提的是，本節討論的質量模型構建前提是假設各輸入變量獨立，但實際生產工藝過程中，KCC之間可能存在相關性。這一問題的解決方案是在模型構建之前，可以采用正交變換[8]、Rosenblatt變換[9]、Nataf變換[10]、流形學習降維[11]等方式，將相關變量變換為互不相關的變量，或去除掉KCC數據之間的相關性，然后再運用上述方法進行產品制造質量的建模。

2 KCC的量化方法

影響產品制造質量的因素可以用6個方面加以概括，即：操作者、設備、原材料、工藝方法、測量和環境，這6個方面可以簡寫為5M1E[12]。在以往的研究中，由于具有明確的量化指標和方法，原材料、工藝方法、測量和環境4個因素被考慮的較多。相比之下，操作者和制造設備對KPC的影響很難量化，現有的質量分析模型大都沒有囊括這兩方面的因素。

2.1 操作者因素

操作者的復雜性和多樣性使得對其影響程度的量化面臨巨大的挑戰。心理學文獻[13]的研究成果表明，人的行為表現與其所受到的物理刺激之間具有如(8)式所示的指數關系：

O(ρ)=OM(1-e-ρ)，

(8)

式中：OM是人在未受到任何外界刺激時的原始表現；ρ為對行為產生影響的外界刺激；O(ρ)為人在受到外界刺激后的行為表現。將這一研究發現應用到制造系統中，可以認為OM為操作者在未受到任何訓練或干擾的情況下，完成制造任務的原始表現，ρ為對操作者的表現產生影響的因素，O(ρ)為操作者完成某一制造任務的能力。

結合(8)式，假設所有操作者的原始表現都相同，令原始表現OM=1，可以定義操作者在面對某一制造任務時的能力指數為

O(ρ)=1-e-ρ.

(9)

從定義中可以看出，0≤O(ρ)≤1，且(8)式中的ρ用向量ρ進行了替換，這是因為影響操作者表現的因素不止一個。結合多工序制造系統的特點，本文選擇操作者在完成某一工序任務時所允許的思考時間、操作者的經驗和任務的復雜度作為多工序制造系統中影響操作者表現的主要因素。下面分別對這3個KCC的量化方法及操作者能力指數的計算方法進行介紹。

2.1.1 思考時間

操作者在完成某一工序任務的總時長包括兩個部分，即手動操作的時間和思考時間。思考時間是操作者在完成某一工序任務時，花費在比較、判斷、回憶等必要認知活動上的時間。在多工序制造系統中，留給操作者的思考時間越多，往往意味著更高的制造質量。如果令T表示完成某一工序任務的總時長，T0表示完成該工序任務所必須的手動操作時間，那么思考時間Tt可以表達為

Tt=T-T0.

(10)

思考時間因素可以用(11)式加以量化：

(11)

式中：TM為完成工序任務所用時間的最大值，即使任務時間超過這個時長，也不會給工序質量的提升帶來有效的幫助。由(11)式可以看出，0≤ρt≤1.

2.1.2 操作經驗

經驗是一個廣泛且難以量化的指標，它取決于人的閱歷、自主學習時間、重復完成任務的次數甚至生活方式。這里縮小“經驗”這一概念的范圍，認為多工序制造系統中的操作者經驗為其完成某一制造任務時所達到的熟練程度?；谶@一定義，本文采用完成某一工序任務的次數H來衡量操作者的經驗。類似地，經驗因素的量化方法為

(12)

式中：HM為完成產品制造任務的最大次數，即使操作者生產更多同類型產品，也不會對其經驗的提升帶來有效的幫助。同樣，0≤ρe≤1.

2.1.3 任務復雜度

任務的復雜度是影響操作者表現的重要外部因素。在多工序制造系統中，每一階段的操作者都需要做出多種選擇行為，包括工具的選擇、制造產品類型的選擇、操作方法的選擇等。因此，本文將從選擇多樣性的角度對任務的復雜度進行評價。

假設操作者在某一工序的制造任務中會發生k種選擇行為，而每種選擇行為都具有若干個可選項。可以獲得以下概率矩陣：

(13)

式中：pij為第i個選擇行為中第j個選項發生的概率；mk為可選項的個數。

某一選擇行為的任務復雜度可以用信息熵Ec加以度量。信息熵是信息論中用于度量信息量的指標，一個系統越是簡單有序，信息熵就越低；反之，一個系統越是復雜混亂，信息熵就越高。其表達式為

(14)

當任務中發生多個選擇行為時，其任務復雜度是多個信息熵之和，如(15)式所示：

(15)

類似地，可以獲得任務復雜度的量化公式為

(16)

式中：CM為任務復雜度熵的最大值，這一值對應著一種情況，即操作者需要做出所有潛在的選擇行為，且每一個選項被選取的概率都相同。同樣，0≤ρc≤1.

上述3個KCC的量化指標代入(9)式，可以獲得操作者能力指數為

O(ρ)=1-e-ρt-ρe-ρc，

(17)

這一指數將作為重要的KCC，用于質量模型的構建。

2.2 制造設備因素

多工序制造系統中可能用到的設備多種多樣。現有針對制造設備的研究大都針對某一類設備，其方法不具備通用性，如數控機床可靠性的研究。在多工序制造系統中，操作者會針對當前工序產品的制造合格與否對設備進行調整，因此同一臺設備在t時刻的狀態與其在t-1時刻的狀態具有一定的相關性。同時，在一段時間內，同一臺設備制造產品的合格率是一個穩定的數值[14]。這些統計學特點使得可以借助馬爾可夫模型對設備的狀態進行刻畫。一個典型的馬爾可夫轉移模型如圖3所示，假設完成某一工序任務所用到的制造設備處于合格狀態g，在下一時刻它的狀態變為不合格狀態d的轉移概率為λ，因此它在下一時刻保持狀態g的概率為1-λ. 同樣，如果某一制造設備處于不合格狀態d，在下一時刻它的狀態變為合格狀態g的轉移概率為μ，在下一時刻保持狀態d的概率為1-μ.

圖3 馬爾可夫轉移模型Fig.3 Transition probability based on Markov chain

令P(g,t)和P(d,t)分別表示設備在t時刻處于狀態g和狀態d的概率。由貝葉斯公式，t+1時刻的設備合格概率為

P(g,t+1)=P(g,t+1|g,t)P(g,t)+
P(g,t+1|d,t)P(d,t)=
(1-λ)P(g,t)+μP(d,t).

(18)

一段時間內設備的合格或不合格概率是一個穩定的數值，分別用P(g)和P(d)表示，有(19)式和(20)式成立：

(19)

(20)

將(19)式和(20)式代入(18)式，可得

(21)

由于P(g)+P(d)=1，因此可得制造設備的合格率為

(22)

EQ可以作為制造設備狀態指數，用于KCC與KPC之間映射關系的構建。

3 映射關系的求解

如引言所述，隨著制造過程復雜度的不斷提高，映射關系F的解析表達很難求得。根據多工序制造系統的特點，本文應用近些年被證實更適用于小樣本訓練數據的支持向量機(SVM)構建代理模型。在映射關系F(s,q)中，s和q在SVM算法中并無區別，因此將其簡化表示為F(x)，其中x為由多個KCC組成的集合，x=(x1,x2,…,xn)。由于任意曲線在局部均可以表達為線性函數，因此F(x)可以用一般線性函數表示：

F(x)=ω·φ(x)+b，

(23)

式中：φ(x)為將x映射到高維空間的映射函數；ω和b為模型系數，SVM模型的構建過程就是通過數據對ω和b進行優化求解的過程。

為更加直觀，在二維空間中闡釋SVM的訓練過程。根據結構風險最優化準則[15]，F(x)應使ω最小。同時，誤差小于不敏感系數ε是SVM模型構建的邊界條件，這就得到以下非線性優化問題：

(24)

(25)

式中：m為支持向量點的數量。

(26)

這樣便通過求解優化問題，獲得了ω和b，則完整的SVM模型為

(27)

4 質量波動的主要影響源

(28)

(29)

借助(29)式，可找到KPC波動的主要影響源，從而為制造質量的控制提供指導。

5 實例驗證

裝配往往是產品制造過程的最后一環，裝配過程的穩定性對最終的產品制造質量具有決定性的作用。本節將以某型號導彈渦輪發動機轉子系統的裝配過程為例，對本文所提出的方法進行驗證。

5.1 轉子裝配過程描述

某型號導彈渦輪發動機轉子系統如圖4所示，其主要的組成部分包括軸流輪、斜流輪、渦輪盤、渦輪軸和軸端壓緊螺母共5個部分。

圖4 某渦輪發動機轉子系統結構Fig.4 Structure of a turbine engine rotor system

轉子系統的關鍵質量特性包括兩個，即轉子系統的不平衡量和轉子軸端螺紋的預緊力。較大的不平衡量會導致發動機的振動加大，從而降低發動機的推力和零部件壽命。過大的預緊力使得螺母材料的蠕變過程加快，從而導致螺紋的斷裂。過小的預緊力會在發動機振動的情況下直接導致螺母的松脫，進而造成發動機爆炸。

在工廠中，轉子的裝配是在3個車間中完成的，分別是零件動平衡車間、組件動平衡車間和發動機總裝車間。在零件動平衡車間，操作者借助動平衡機，對4個回轉零件逐一進行不平衡量的測量及修正，盡量降低零件的不平衡量，保證零件質量。在組件動平衡車間，操作者同樣借助動平衡機對整個轉子系統進行不平衡量修正。同時，由于轉子系統需要配合靜子系統完成發動機的總裝，因此在修正結束后，需要將修正的組件進行拆卸并作安裝標記，以便靜子系統的加入。在發動機總裝車間，操作者依據標記好的安裝角度，最終完成轉子系統的總裝。

轉子系統的裝配過程及每一工序的KCC輸入和KPC輸出如圖5所示。圖5中：O1、O2、O3分別為3個車間中的操作者因素；EQ1、EQ2分別為車間1和車間2中動平衡機狀態因素；BS1、BS2分別為車間1和車間2的動平衡機轉速；PT為車間3中軸端螺母擰緊力矩；U1、U2、U3分別為零件初始不平衡量、車間2的輸入不平衡量、車間3的輸入不平衡量；PF和Us分別為轉子裝配完成后的軸端螺紋預緊力和系統不平衡量。

圖5 轉子系統裝配過程Fig.5 Assembling process of rotor system

5.2 KCC與KPC的統計與量化

在某發動機制造公司中對某一型號發動機轉子系統的裝配過程進行了跟蹤，結合歷史裝配數據和第2節中介紹的方法，對圖5中的每一個變量進行了統計和量化：

1)操作者。在5.1節所述的3個車間中，每個車間擁有10名裝配工人。借助最近的歷史數據及(11)式和(12)式，獲得了思考時間和經驗因素的量化值。對于任務復雜度，3個車間中的工人在完成任務時需要作出的選擇只有一項，即所裝配產品的類型。在翻閱歷史數據后，獲得了每一車間裝配產品的類型及其概率，依據(16)式，獲得了任務復雜度的量化值。最后借助(17)式，得到了3個車間中每一名工人的操作者能力指數。

2)動平衡機。車間1和車間2分別擁有5臺動平衡機，分別統計了每一臺動平衡機連續修正的100個零件或組件中，合格品與不合格品的數量及順序，計算獲得了轉移概率μ和λ，依據(22)式，計算獲得了每一臺動平衡機的狀態指數。

3)平衡轉速。發動機在實際工作時，轉子的轉速高達每分鐘5～10萬轉。現有的動平衡機無法模擬這么高的轉速，因此轉子的不平衡修正是在較低的轉速下完成的，這一轉速稱作平衡轉速。平衡轉速可在動平衡機的控制面板上實時讀取。雖然平衡轉速一般設置為整數(如本例的1 200 r/min)，但由于平衡機的誤差，平衡轉速會有小幅波動。

4) 擰緊力矩。軸端螺母是通過測力矩扳手擰緊的，每次擰緊的力矩值可直接讀取并記錄。

5) 不平衡量。不平衡量可在動平衡機的控制面板上讀取。

6) 預緊力。預緊力并不能直接測量。車間3在完成發動機的總裝后，操作者需要借助激光測距儀測量渦輪軸的伸長量，間接計算得到預緊力。

通過查閱歷史數據，獲得了該型號發動機轉子系統最近1 000條裝配過程數據，這1 000臺發動機相當于該制造公司在繁忙時期一周的產量。由于數據采集的時間間隔較短，因此認為操作者的能力和設備的狀態沒有發生改變，操作者能力指數和設備狀態指數為常數。

5.3 映射關系的構建

利用KPC的均值和方差，工藝人員可以依據裝配精度的要求計算產品制造質量的合格率。因此，準確預測KPC的分布參數，對制造合格率的準確計算具有重要的意義。

借助上述歷史數據在數值分析軟件MATLAB環境下對SVM進行訓練。使用50條全新的轉子裝配數據用于SVM的驗證。轉子系統不平衡量的預測誤差圖如圖6(a)所示，軸端螺紋預緊力的預測誤差圖如圖6(b)所示。

圖6 不平衡量及預緊力誤差Fig.6 Predicted errors of unbalanced value and preload

圖6清晰地顯示了上述模型的預測能力。50個數據點中，預緊力誤差最大的點為數據點28，預測值和測量值相差6.44%，預緊力誤差最小的點為點44，誤差僅為1.05%. 不平衡量誤差最大的點為點38，預測值和測量值相差5.98%，不平衡量誤差最小的點為數據點5，誤差僅為1.98%.

在工廠環境下，不平衡量的一般裝配精度要求為不超過10 g·mm，預緊力的一般精度要求為11 000～12 250 N. 依據這一精度要求統計誤判點，即KPC的實測值達到了(或未達到)裝配精度的要求，而QTCM的預測值卻顯示未達到(或達到)的點。上述50個預測點中，不平衡量出現誤判的點只有1個，誤判率僅為2%，預緊力出現誤判的點有2個，誤判率僅為4%.

如果像大多數的質量分析過程一樣，忽略掉操作者和制造設備的影響，只采用原始不平衡量、平衡轉速等因素作為模型的輸入，采用和圖6同樣的訓練步驟，訓練后的預測誤差如圖7(a)和圖7(b)所示。為了將誤差條顯示完整，縮小了縱軸的比例。顯然，相比圖6而言，圖7的誤差要大很多，最大的誤差甚至達到了50%. 這證明了考慮操作者能力和制造設備狀態的必要性。

圖7 忽略操作者和設備影響后的預測誤差Fig.7 Predicted error after ignoring operator and equipment

5.4 質量變化預測

KPC的波動程度是衡量多工序制造系統的重要指標，因此只驗證QTCM的均值預測能力是不夠的，還需要考察QTCM的KPC波動預測精度。根據(7)式，同樣借助上述50組驗證數據，不平衡量和預緊力標準差的預測值與測量值如表1所示。預測值和測量值十分接近，這驗證了QTCM的波動預測能力。

表1 輸出變量標準差的預測值與測量值

5.5 主要誤差源的求解

依據(28)式和(29)式，可得每一個KCC對每一個KPC波動的貢獻量，如表2所示。

由表2可以發現，車間3中操作者的能力是轉子系統不平衡量波動的主要來源，因此如果想要降低轉子系統不平衡量的波動，就需要在車間3中安排經驗最豐富、能力最強的操作者。同時，車間2中的操作者、擰緊力矩和零件原始不平衡量的波動也是轉子系統不平衡量波動的重要來源，它們的貢獻均超過了10%，因此這些因素的波動也需嚴格控制。擰緊力矩波動是螺紋預緊力波動的主要來源，它的貢獻量幾乎達到了90%，因此嚴格控制擰緊力矩是降低螺紋預緊力波動的最佳措施。

表2 KCC對KPC波動的貢獻量

6 結論

為了對多工序制造系統中質量的傳遞過程進行客觀、全面地表達和分析，本文提出了質量傳遞綜合模型，并對QTCM的建立過程進行了詳細地描述。得出主要結論如下：

1) QTCM可以對多工序制造系統進行合理地表達，并借助輸入變量的分布情況對KPC的分布做出準確的預測。QTCM框架是分析多工序制造系統的理論基礎，多種研究工作(不限于本文，包括工藝設計、故障診斷、過程控制等)均可以基于這一框架展開。

2) 操作者能力和設備狀態的考慮使得QTCM更加完整和準確。

3) SVM用于多工序制造過程中KCC和KPC之間映射關系的構建，具有良好的預測表現。

4) 提出的主要波動源識別方法可以為制造質量的提高提供幫助，計算獲得的質量波動主要影響源與工廠的經驗判斷一致。