基于多尺度CSRBFs的地層三維地質建模

龐慶剛 車德福 賈慶仁2

（1.開灤集團有限責任公司錢家營礦業分公司，河北唐山063301；2.東北大學資源與土木工程學院，遼寧沈陽110819；3.東北大學深部金屬礦山安全開采教育部重點實驗室，遼寧沈陽110819）

礦山開采過程中，地層三維模型的建立對于儲量管理、災害評估和礦山開采規劃有重要意義［1-3］。在礦山生命周期中，不同階段、來源的數據具有明顯的尺度差異［4］，如在勘查找礦時期，往往通過大范圍布設鉆孔獲取地層分布信息；進入到設計采掘流程后，通過井下工作來精確獲取局部范圍內地層的位置和厚度等數據。因此，是否能夠融合多尺度數據、快速建立地層模型，成為評價建模方法優劣的重要因素［5-6］。目前已有多種方法用于地層建模，如基于廣義三棱柱的礦體建模法［7］、基于層面插值的建模方法［8-10］、動態更新的地層建模方法［11-12］等。上述方法獲得地層信息需要人工干預，容易引入人為誤差。文獻［13］提出了經驗貝葉斯克里金方法（Empirical Bayes Kriging，EBK），可通過構造子集和模擬的過程來自動選擇參數，減少人工交互，但是該方法較為復雜、計算量大，在地層三維建模應用中實現困難。

近年來，隱式建模在三維建模領域受到了關注，該方法可自動從樣本分布中重建三維標量場f(x,y,z)，并提取其零等值面（f=0）作為模型表面，通過多邊形網格化方法可轉化為光滑的網格表達。諸多隱式方法中，緊支撐徑向基隱式函數（Compactly Supported Radial Basis Function，CSRBF）作為一種精確插值器，可以保證插值結果嚴格遵守地質數據約束［14］。Ohtake等［15］基于八叉樹數據結構建立了多尺度的緊支撐徑向基函數方法，在快速求解CSRBF的同時，能夠修復數據缺失區域，這對于數據量大、尺度差異明顯的地層數據有較好的實際應用價值。

近年來，多尺度CSRBFs插值方法已經被用于實現DEM、溫度場等的插值［16-17］，但在基于多源、多尺度數據的地層建模方面鮮有成果問世。本研究將多尺度CSRBFs用于地層表面三維建模，從大規模非均勻數據集中重構標量場隱式函數，提取地層表面模型并進行可視化，并給出了地層斷層重構方法。以錢家營礦部分區域數據作為試驗數據，通過與克里金方法對比，驗證了多尺度CSRBFs方法從多源、多尺度數據集中重建地層模型的優勢。

1 多尺度CSRBFs地層三維建模方法

1.1 地層建模

應用CSRBFs方法進行隱式建模所采用的數據約束主要為位置坐標與該位置處曲面的法向量［18］。使用這些約束后，該方法最終獲得樣品分布標量場的隱式函數，再通過多邊形可視化方法提取其零等值面，并轉換為三角形網格后在計算機中進行繪制。本研究提出的地層多尺度數據建模流程主要由4個步驟組成（圖1）。

（1）樣品點獲取與單位法向量計算。首先從目標地層相關的各類數據中提取樣品點，包括鉆孔、地質剖面圖和井下素描圖等，得到采樣點數據集；然后通過計算獲得其單位法向信息。

（2）通過八叉樹空間索引構建層次點集。通過遞歸劃分建模空間，建立八叉樹模型。對于八叉樹的第k層有數據的節點，計算質心處的坐標和法向量，作為該層樣品點集。

（3）通過多尺度CSRBFs方法在樣品點集上由粗到細逐層插值，計算地層表面隱式函數。并且在插值各層樣品點集過程中，將誤差作為插值目標向下一層傳遞，逐層構建隱式函數。

（4）地層隱式曲面可視化。提取隱函數零等值面，通過 Bloomenthal方法［18］將表面轉換為 Delaunay TIN，作為目標地層表面模型，并在計算機中渲染三角形。

1.2 斷層建模

斷層造成地層不連續，容易引起礦井生產事故，對于礦山生產影響很大［19］。本研究在地層曲面格網模型基礎上，通過在CD-TIN上加入斷層與地層底板交界線（斷層交線）分割地層，實現斷層三維建模，主要步驟如下。

1.2.1 步驟1

在地層底板TIN上根據斷層數據插值斷層中心線，并添加斷層交線。由中心線上的斷層點計算斷層交線上的點位平面坐標(x',y')：

式中，x,y,z為已知斷層點的坐標值；h為所求點的高程（點位相對向上移動時，h=z+l/2，點位相對向下移動時，h=z-l/2，l為斷層點的落差值）；α1為斷層傾角；α2為斷層傾向。

1.2.2 步驟2

根據斷層傳播規律計算斷層影響域，標記出影響域內的局部三角網。在連接斷層交線確定斷層影響域的過程中，有以下兩種情形。

（1）情形一。如圖2（a）所示，P0為斷層中心線與地層邊界的交點，P1和P2點是由上式計算出的斷層交線上的點，P3和P4點為地層邊界邊的兩個端點。刪除邊界邊P3P4，連接邊P1P3和邊P2P4，如圖 2（b）所示。另一不封閉端進行同樣處理，得到斷層影響域和上下邊界，如圖2（c）所示。

（2）情形二。如圖3（a）所示，P0點為尖滅點，P1、P2、P3點分別為P0點所在三角形的3個頂點。刪除ΔP1P2P3，連接P0與P1點、P0與P2點、P0與P3點，重構3個新的三角形，如圖3（b）所示。刪除斷層影響域內的三角形，確定影響域上下邊界，如圖3（c）所示。

1.2.3 步驟3

移動影響域內三角形角點的位置，通過加入拓撲不連續性的方式，構建斷層三維實體模型。正斷層對上影響域邊界與上斷層邊界線、下邊界與下斷層邊界線（圖4（a）加粗曲線），逆斷層對上邊界與下斷層邊界線、下邊界與上斷層邊界線（圖4（b）加粗曲線）包圍的區域分別進行局部三角剖分。如果當前斷層的斷層中心線與已建模斷層的斷層邊界線相交，則認為兩個斷層相交。在相交斷層有逆斷層時，必須首先判斷第一個斷層的正逆情況，因為逆斷層區域水平投影有重疊，然后對相交斷層進行逐一建模（圖4（c）、圖4（d）和圖4（e））。

2 地層建模結果

基于本研究方法開發了原型系統［20］，系統包括數據錄入管理、數據插值、數據可視化、斷層建模等功能模塊。運行該系統，由研究區地質資料建立三維地層模型。

2.1 研究區概況

錢家營礦井田面積約88 km2，井田范圍內有8個礦層，共有勘探鉆孔259個。本研究選擇某礦層10采區作為研究區（3 km×3 km）。該區域地層相關數據主要有勘探鉆孔數據、井下測量導線數據和開采素描圖數據。從研究區各類數據中提取采樣點，如從鉆孔測斜數據中獲取地層采樣點，從地質素描圖中獲取礦體頂板和底板位置，通過插值獲取采樣點等，共獲得2 478個不同尺度的某礦層相關數據，數據尺度差異如表1所示。采樣點的法向量通過PCL庫構建K-D樹和計算K鄰域得到（K=10）。

2.2 地層模型構建

通過對建模區域數據建立八叉樹空間索引，將數據劃分為7層（圖5）。每一層數據在其所處的數據層子節點內計算其質心坐標與法向量，然后逐層進行插值。最終，根據點集層次逐層計算的隱式函數即為樣品點所處的標量空間。

使用Bloomenthal方法進行地層隱式函數可視化的結果如圖6所示。由圖6可知：由于2074E工作面數據密度最大（包含回采時觀測的素描數據），其表面起伏也最為明顯。

在地層可視化的基礎上加入斷層數據，建立了研究區內含斷層的多個地層模型（編號分別為5th、7th、8th、9th和12th）。圖7為研究區部分區域的地層模型剖面。從剖面及等高線能看出多個地層被逆斷層切割，造成了地層表面的拓撲不連續。

3 插值方法比較與分析

為了探討多尺度CSRBFs方法在多尺度數據建模上的優勢，在筆記本電腦（2.5 GHz Intel? Core（TM）i5-4200M，4GB RAM，Intel HD顯卡）上，基于相同的數據集，使用反距離加權（Inverse distance weighted，IDW）、普通克里金（Ordinary Kriging，OK）方法與多尺度CSRBFs方法（Multi-scale CSRBF，MsCS?RBF）構建了地層表面模型，并對3種方法在建模插值精度和時間效率上的差異進行對比分析。試驗數據集包含從研究區獲得的2 478個點位坐標及其單位法向量，其中勘探鉆孔數據、開采素描圖數據密度差異較大，具體數據及密度如表1所示。

（1）試驗 1。采用十折交叉驗證［21］對比分析IDW、OK、MsCSRBF 3種方法的建模精度。將所有采樣點分為10個子集，將其中9個作為建模數據集，另外1個作為驗證集。插值處理建模數據集，統計在驗證數據集上的插值誤差，并將其作為插值精度衡量指標。其中，誤差定義為平面坐標（x，y）對應的插值點和原始采樣點之間的高程偏差絕對值，反映了插值的準確程度，誤差標準差則用于衡量插值結果的穩定性。3種方法評價結果如表2所示，MsCSRBF方法的插值誤差、誤差標準差都小于另外兩種方法。是因為MsCSRBF法由于額外加入了法向數據約束，且使用八叉樹分層方式，使每一層的數據都盡可能均勻，因此插值結果更加平滑。

（2）試驗2。在不同規模（分別為10、50、250、1 250、2 478個）點集上運行3種插值方法的耗時對比如圖8所示。OK方法的變異函數采用高斯模型進行擬合，當采樣點很多時，普遍采用鄰域法限制參與計算的點數目。本研究采用象限法確定鄰域，以目標位置為原點，將空間在XOY平面劃分為4個象限，從每個象限取距離最近的2個點，以此限制每次參與插值的點數不大于8個。由圖8可知：MsCSRBF法運行耗時明顯少于OK、IDW法。

4 結論

基于多尺度CSRBFs插值方法，提出了一種地層三維建模方法。該方法通過使用八叉樹、構造分層點集并逐層插值的方式，能夠從非均勻數據中快速插值獲得地層三維表面TIN模型。在此基礎上，提出了作用于地層表面模型上的、基于TIN網重構的斷層建模方法。與以往的研究相比，使用該方法建立地層三維模型的優勢有：

（1）通過在不同數據集上的交叉驗證，多尺度CSRBFs方法的插值精度優于IDW、OK方法。

（2）隨著數據集增大，多尺度CSRBFs方法對非均勻數據集的插值運算效率優于IDW、OK方法。

（3）基于提出的斷層建模方法，可在地層TIN網上構建正、逆斷層模型和復雜相交斷層模型。