基于遺傳算法的模糊內模PID控制器優化

余 哲 王志國 劉 飛

（江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室）

模糊控制具有能夠適用于復雜工況等特性，在各個領域得到了廣泛的應用［1］。 一個模糊控制系統的控制效果，在一定程度上取決于規則表的建立和隸屬度函數的選取，選取得好會使控制系統適應復雜的工業過程［2］。 傳統選取規則表的方式，大多是根據工業知識、專家經驗等，但因為經驗的差異性使得規則表和隸屬度函數的選取大相徑庭，難以推廣，并且過程繁瑣。 因此，模糊控制領域學者關注的重點一般都在如何對模糊規則和隸屬度函數進行優化上。

Karr C L和Gentry E J早在1993年就進行了隸屬度函數問題方面的研究，其主要的成果是采用SGA（簡單遺傳算法）對論域中語言變量的模糊集進行重新設定， 構成了自適應控制系統［3］。Buckley J J認為可以優先確定隸屬度函數的形狀，如矩形、三角形等，然后對構成這些形狀的參數進行尋優［4］。此外，Thrift P則是在固定隸屬度函數的前提下，對整個模糊規則庫進行尋優［5］。屈文忠和邱陽針對多變量模糊控制系統，提出采用遺傳算法來設計模糊規則，這種方法不但適合非常復雜的控制系統，同時也能提高模糊控制器的魯棒性［6］。張景元通過對遺傳算法的改進，使得模糊控制系統能夠在一定程度上實現規則表的自適應，并且控制效果較理想［7］。董海鷹等的研究則側重于基于多種群的變論域方面，也實現了模糊規則的自整定［8］。 以上研究成果的不局限性是在優化過程中分別對隸屬度函數和模糊控制規則進行單獨處理，沒有考慮到二者之間存在的內在聯系， 割裂后的二者只能代表模糊控制器的一部分，因此上述方法通常只是做到了局部最優。 與上述研究不同的是，Homaifar A和McCormick E首次同時考慮隸屬度函數和規則表［9］，但是卻沒有考慮到在進化進程中以及初始設置時可能出現的規則相互矛盾的問題，并且在整個整定過程中同時有可能出現某些值域沒有被覆蓋的現象，導致產生失控點。

筆者結合現有的研究成果，兼顧隸屬度函數和規則表，提出了一種新的尋優算法。 其創新之處在于：將內模思想引入模糊控制，僅調節濾波器參數就可以實現對控制回路P、I、D這3個參數的調節；沒有割裂隸屬度函數和規則表，在優化過程中同時對兩者進行尋優，從而實現控制器的整體優化；以系統的累積絕對誤差作為算法的適應度函數，與傳統指標相比，能夠更好地反映系統的整體性能。

1 內模PID控制器原理

考慮如圖1所示的單變量反饋控制回路。

圖1 單變量反饋控制回路結構

圖1中，G（s）和C（s）分別為過程模型和PID控制器，r（t）、e（t）、u（t）和y（t）分別為設定值、控制誤差、控制輸入信號和輸出信號。

式中 τc1——期望的濾波器時間常數。

將式（4）中的e-θs用一階泰勒公式逼近，近似為e-θs≈1-θs。 再由圖1可知，當期望閉環傳遞函數為Cc1（s）并且已知時，考慮過程對象G（s）的模型是二階時滯，則可得控制器C（s）為：

一般而言，τ應該大于系統延遲時間θ， 因為當τ<θ時，控制回路的響應會十分激烈甚至振蕩；當τ過大時，系統的輸出響應過程會變得遲緩。 綜合考慮系統響應的快速性、 魯棒性， 根據文獻［8］，當τ=θ時，系統的性能最為理想。

2 模糊內模PID控制器設計

2.1 控制器介紹

模糊內模PID控制的主要思想是通過不同的規則得到不同的濾波器時間常數τ， 使得當過程模型參數發生變化時也能得到較為滿意的控制效果。 其結構如圖2所示。

圖2 模糊內模PID控制回路結構

圖2中，IMC-PID是控制器，Fuzzy是模糊控制器，ec（t）是控制誤差的變化率。

筆者建立二維的模糊控制器，分別以控制誤差和控制誤差的變化率作為輸入，把模糊控制器輸出當濾波器時間常數τ的變化， 從而實現對內模PID控制器參數的在線整定。

2.2 控制器設計

模糊控制器的輸入是控制誤差e（t）和誤差的變化率ec（t），模糊控制器的輸出u（t）則定義為濾波器的增量Δτ。 則實際的濾波器時間常數為：

式中 τ0——濾波器時間常數初值。

內模控制器的濾波器時間常數τ的選取決定了系統的魯棒性和動態穩態特性，因此需要選定合適的值作為初始值，由前文可知，當τ=θ時，系統性能最好。 此時對應的PID參數分別為：

模糊控制器的輸入e（t）、ec（t）和輸出u（t）的語言變量分別表示為E、EC和U，它們相應的模糊子集如下：

隸屬度函數是決定系統控制性能好壞的重要因素。 通常，如果在誤差值比較小的情況下，就選擇相對來說比較窄尖的隸屬度函數；如果誤差值比較大，那么就選擇相對來說比較寬胖的隸屬度函數。 筆者根據人為經驗選取如圖3所示的初始隸屬度函數。

圖3 e（t）、ec（t）、u（t）的隸屬度函數

通過分析可知：τ越小， 系統響應速度越快，上升時間越短，但會造成超調量增大；如果τ取適中，被控對象的響應曲線穩定平緩上升，不會出現超調；如果τ過大，則控制器起主要作用的是比例控制， 過強的比例作用使得系統響應遲鈍，上升時間大幅增加。 筆者根據人為經驗選定表1所示的模糊規則表。

表1 模糊內模控制器初始模糊規則表

3 遺傳算法優化模糊控制器

合理的規則表和隸屬度函數能使系統達到較好的控制效果。 僅僅只優化前文所述的規則表，其解的空間高達55×5，這是一個非常龐大的數值。 顯然傳統的優化方法很難解決解空間太大的問題，需要找到一種能適用于解空間龐大問題的算法。遺傳算法（GA）不失為一種優秀的解決此類問題的算法，它是Holland根據自然界中適者生存的法則和基因遺傳的思想提出的一種優化算法。GA算法十分適用于復雜且解空間巨大的一類問題。 因此筆者選用GA算法作為尋優算法，對模糊控制器進行優化，尋優結構如圖4所示。

圖4 基于GA算法的模糊控制器尋優結構

3.1 遺傳編碼

利用遺傳算法對模糊控制器進行整體優化，就是要同時考慮隸屬度函數和規則表。 首先就是要將隸屬度函數和規則表數字化，從簡便、可操作性方面考慮，筆者直接使用十進制編碼對隸屬度函數和模糊控制規則表數字化。

由上文可知，筆者選取三角形為隸屬度函數的形狀，因此直接以三角形兩個底邊端點的坐標作為編碼尋優對象。 以誤差E為例：{NB（-1，an），NS（-1，an，0），ZO（an，0，ap），PS（0，ap，1），PB（ap，1）}，對語言變量誤差變化率EC和控制量U也進行同樣操作。 由以上分析可知，3個隸屬度函數的待優化變量為6個，也就是3個三角形各自的底邊端點，它們的編碼表示為an、bn、cn、ap、bp、cp。

由上文可知， 筆者將模糊控制的效果分為5個等級， 因此首先選定5個整數來代表模糊語言的5個語言值（NB、NS、ZO、PS、PB）從而達到將模糊控制表數字化的先決條件。 表1所示的控制規則表， 其編碼為 {55443 54434 44344 43445 34455}。

將上述兩部分相加， 形成了最終的編碼，該編碼包括了模糊控制器的隸屬度函數選取和規則表的制定，示意如下：

可以看出， 該編碼串的前部分為規則表，由于筆者以二維控制器為例，因此規則共計5×5=25條，后部分為隸屬度函數，共計6位編碼，通過對以上共計31位編碼的尋優就達到了對模糊控制器的優化。

3.2 適應度函數

適應度值表示種群個體的優劣程度，它是遺傳算法進行的關鍵點。 在尋優過程中希望保存大量優秀的個體，快速淘汰劣質的個體，也就是適應度高的存活概率大， 適應度低的存活概率小。同時由實際經驗得到，評估系統的性能應當充分考慮到動態特性和穩態特性， 也就是其響應時間、調節時間、超調量及誤差等因素，因此需要找到一個滿足上述要求的性能指標。 同時這個遺傳算法要求個體適應度越大越好，所以筆者采用系統的累積絕對誤差（IAE）作為性能指標，其表達式為：

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3.3 遺傳算子

在自然界中，生物的繁衍進化變異離不開基因的遺傳，遺傳算法很好地體現了這一點，遺傳算法主要通過3種方式——選擇、 交叉和變異來產生新的個體。

選擇。 選擇過程是模擬自然界適者生存的形式， 也就是個體按照他們的適應度繁衍的方式。其過程是，通過個體對環境的不同適應程度（由決定，其中n為種群規模，fi為群體中第i個個體的適應度）決定被復制個體。 因此適應度高的個體能夠有較大的概率保存并繁衍下去。

交叉。 與選擇不同，交叉不是將父代基因復制而是產生新個體的方式，它是通過某種結合的方式使兩條染色體相互交換某些基因，以此形成新的染色體。 具體可表示如下：變異。 與交叉類似，它也是產生新個體的方式，與交叉不同的是它是在原有染色體的基礎上畸變出原本沒有的基因，形成新的染色體。 具體可表示如下：

通過變異提高遺傳算法的局部搜索能力，同時維持群體的多樣性，也就是充分滿足解的多樣性和全局性，防止出現部分收斂的現象。

3.4 算法操作步驟

基于遺傳算法的模糊控制器尋優過程如下：

a. 確定遺傳參數。 主要包括初始種群、迭代次數、染色體和變異概率。

b. 計算初始種群的適應度總值、平均值和最大值。

c. 選擇。 根據達爾文的優勝劣汰法則，計算出每個個體的適應度值和平均適應度值的比值，若小于1則拋棄，反之則保留。

d. 交叉。 從父代染色體隨機選取兩條染色體，在隨機位置進行染色體的交換。

e. 變異。產生0～1之間的隨機數，每次比較隨機數和設定的變異概率的大小，若隨機數小于變異概率，則進行變異操作；若隨機數大于變異概率，則跳過變異操作。

f. 判斷是否滿足終止條件。 若滿足條件則停止迭代，不滿足條件則繼續迭代。

g. 在最終的染色體種群中選取適應度值最大的染色體，此時，將該染色體反編碼就得到了最優的隸屬度函數和規則表。

4 仿真實例

對于給定的傳遞函數：

為驗證筆者所提算法的有效性，利用上述過程對象進行仿真實驗， 采用第3節所述模糊控制器對它進行控制，采用筆者所提算法對模糊控制器進行優化。

初始種群規模n=10，遺傳代數P=40，采樣時間T=0.35s，比例因子Ku=Ke=Kec=1。 分別記錄迭代10、20、30次的實驗結果，其中仿真時間為200s，所有的適應度值見表2。

表2 適應度值

由表2可以看出，隨著迭代次數的增加，適應度呈遞增狀態。 這說明，在經過30次迭代后取得了較滿意的控制效果。

初始狀態（未進行優化操作）和進化到第10、20、30代時的階躍響應曲線如圖5所示。

圖5 不同迭代次數時系統的響應曲線

由圖5可知，采用筆者所述算法優化后，系統的控制效果得到明顯提升，超調量明顯下降，上升時間也減少， 由計算可得系統IAE值也大幅減小。優化后的隸屬度函數如圖6～8所示，規則見表3。

圖6 優化后e（t）的隸屬度函數

圖7 優化后ec（t）的隸屬度函數

圖8 優化后u（t）的隸屬度函數

表3 最優模糊規則表

5 結束語

為了擺脫人為經驗對模糊規則和隸屬度函數確定的局限性，筆者提出了一種基于遺傳算法的模糊內模PID控制尋優算法， 在缺乏甚至沒有人為經驗時也能夠找到最優的模糊規則表和相應的隸屬度函數。 同時，結合模糊控制與內模控制的優化，在線整定系統濾波器參數，可使系統控制效果兼顧動態性、穩態性和魯棒性。