“縮放”視角下小數除法意義的教學探究

黃冰

摘?要?小學數學教學中，小數除以小數，無法用“平均分”的意義來解釋時，用放縮變換的視角來理解，其實質就是“比例思維”。數學思維的培養是培養學生核心素養的重中之重，本文通過一道人教版五年級上冊“小數除以小數”的練習題，引入“比例思維”，拓展對除法意義的認識和理解。

關鍵詞?“縮放”視角;小數除法意義

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）22-0118-02

日常課堂教學過程中，難免會碰到一些疑難問題，這些問題是因為教師在教學設計時未能站在學生的學習經驗上來考慮造成的，也就是對學情的把握不到位造成的。本文從郜舒竹老師的《“小數乘法”起點在哪兒》一文，聯系到小數除法意義的理解，用“縮放”視角即比例思維，解決了人教版五年級上冊數學教學中“小數除以小數”解決問題的疑難。為后續學習分數除法的意義埋下伏筆，同時滲透“比例思維”。

一、尷尬問題引出的緣由

在學習小數除法這一單元時，作業本上有這么一道練習題：一輛小汽車每行駛4.5千米要排放7.83克污染物，一輛小汽車每行駛1千米要排放多少克污染物？

批改的過程中，教師驚訝地發現這道題有41%的學生列的算式是4.5÷7.83=1.73（km）。當時很不解為什么學生們這種題都不會做。課堂上講解時，突然一個學生舉手提問：“老師，為什么除以4.5千米就是1千米的呢？除以4是1km排放的污染物，那還有0.5怎么辦？”頓時，課堂里一片附和聲。教師恍然大悟，原來學生根據以往整數除法的意義，運用平均分來理解，可是除數是小數，如何建立平均分呢？這還真是個尷尬的問題，這個問題顯然是把教師給難倒了，于是開始了以下一些思考：

問題一：除法的意義是什么？

整理了所有有關除法的教材內容，并做了相應的分析。

二年級下冊《表內除法（一）—除法的初步認識》，學生們開始認識除法，并且認識除法的第一節課就是從“平均分”開始。學生明白一個數除以另一個數就是把一個數平均分成幾份，和一個數里面有幾個另一個數（包含關系）。三年級上冊《倍的認識》，學生通過學習初步建立了“倍”的意義，能運用倍的意義來敘述兩個數的倍數關系。倍數關系的本質其實就是“比”，是一種數與數之間的關系。三年級下冊《除數是一位數的除法》、四年級上冊《除數是兩位數的除法》、五年級上冊《小數除法》中，所有例題情境的選擇都圍繞著“平均分”或“包含關系”來解決問題。

通過整理，除法的意義總結以下三點（以a÷b=c為例）：1、a是b的幾倍（“比”的關系）;2、把a平均分成b份，每份是多少（平均分）;3、a里面有幾個b（包含關系）。

問題二：對于這道題，如何用學生認知的除法的意義來解釋？

似乎，用學生以往學習除法意義的經驗，還是很難解決學生提出的這個問題。到底該怎樣解釋這個問題，教師陷入了迷茫之中。

二、縮放視角的發現

正當陷入迷茫之時，教師看到了郜舒竹老師的《“小數乘法”起點在哪兒》的文章。文章中，郜老師首先也提出了一個問題：例如，某商品每千克3.5元，如果買3千克，需要多少元？實際就是求“3個3.5等于多少”，這個過程其實就是把兩數相乘的過程看做相同加數求和或者簡稱為“重復加”，但是在兩個因數都是小數的情況下，就無法解釋它的含義了。比如，某商品每千克3.5元，如果買0.5千克，需要多少元？這里列出的算式“3.5×0.5”就沒有重復加的過程。因此，郜老師提出了觀點——“乘”的本質是放縮，其實就是一種“比例思維”。

郜老師認為，放縮的過程本質上是基于“測量”的認識活動。測量過程一般是源于比較的需要，主要包含兩個基本要素，第一是確定標準（單位），第二是被測對象與標準的關系。前面題目中是將“3.5×1”視為標準，然后看3.5×3和3.5×0.5相對于標準發生了怎樣的變化，前者是擴大為原來的3倍，后者縮小為原來的一半或者二分之一。

依據這樣的認識，那除法的本質不也是縮放的過程嗎？

三、縮放視角下的合理解釋

運用縮放原理，教師覺得可以很清晰說明本題的做法，并且對除法的意義也有更深的理解。

1、解釋：運用縮放的原理，來理解作業本上出現的這個問題，首先整理題目中的信息：

1千米？克

分析：行駛的路程縮小4.5倍，那么排放的污染物也縮小4.5倍，所以列式應該為：

4.5÷1=4.5，7.83÷4.5=1.74（克）。

2、變式：一輛汽車行駛4.5千米排放污染物7.83克，照這樣計算，平均每排放1克污染物行駛多少千米？

整理信息：

？千米1克

分析：排放的污染物縮小7.83倍，那么行駛的路程也縮小7.83倍，所以列式為7.83÷1=7.83，4.5÷7.83≈0.57（千米）。

3、延伸：一輛汽車行駛4.5千米排放污染物7.83克，照這樣計算，行駛3千米排放污染物多少克？

整理信息

3千米？克

分析：行駛的路程縮小1.5倍，那么排放的污染物也縮小1.5倍，所以列式為：

4.5÷3=1.5，7.83÷1.5=5.22（克）。

四、縮放視角下合理解釋的原理依據

乘法的縮放過程是建立在確定的標準上的。例如理解0.3×0.2，首先可以確定一條長度為1的線段，將其縮短為1的0.3倍得到長度為0.3的線段，再將其縮短0.2倍，這時線段長度就是0.3×0.2。而除法的縮放過程背后支撐的原理也是確定的標準。例如汽車在行駛的過程中，每千米排放污染物或者每排放1克污染物行駛的距離是一定的。延伸到比例的知識，就是排放污染物與路程成正比例關系。五年級學生雖然還沒有學習比例的知識，做完以上的練習可以引導學生發現“行駛路程越遠，排放污染物越多并且每千米排放污染物是一定的”這一關系，滲透比例的思維。

教學片斷：

師：請同學們對比一下這三道題，你有什么發現？

生1：我發現他們的變化是一樣的。

師：你說的變化具體是指什么變化？

生1：就是行駛的距離和排放的污染物他們縮小的倍數是一樣的。

師：是的，那你知道為什么他們縮小的倍數是一樣的嗎？

生2：因為每千米排放的污染物是一樣的。

師：是啊，每千米排放的污染物是一定的，在我們生活中，像這樣的現象還有哪些？

生3：汽車行駛每1km消耗的油是一樣的。

生4：每消耗1升油可以行駛的距離是一樣的。

生5：還有其實買東西也是這樣，物品的單價是固定的，買的東西越多，總價越高。

師：這位同學還提到了一個變化的關系，在我們前面的練習中有沒有這樣的變化關系？

生6：有，行駛的路程越遠，排放的污染物就越多

教師進行總結：是啊，通過這一組題的練習，我們不僅發現了變化的規律，還發現了變化過程中不變的事物。

五、結束語

隨著教育改革的不斷深入，培養學生的核心素養已成為全體教育工作者的共識，數學思維的培養則是核心素養的重中之重。在數學教學中，教師們期望超越形式化的教學，不斷引導孩子尋求知識的本質，讓孩子逐步養成數學思維習慣，具備數學的頭腦和眼光，促進孩子數學核心素養的養成與提升。

參考文獻：

[1]郜舒竹.“小數乘法”起點在哪兒[J].教學月刊，2018（9）：4-7.