考慮溫度影響的非關聯彈塑性飽和黏土本構模型

劉紅，陳琴梅，盧黎，肖楊，吳煥然

(1.內江師范學院 建筑工程學院，四川 內江 641100；2.重慶大學 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045)

近年來，隨著核廢料處理[1]、能量樁[2-3]、高速公路[4]、路堤[5]、擋土墻[6]以及儲熱結構[7]的不斷發展和廣泛應用，溫度對土體工程性質的影響逐漸成為巖土工程界的研究熱點。

Hueckel等[8-9]在臨界狀態理論框架內，首先提出一種考慮熱軟化現象的飽和黏土彈塑性本構模型。Cui等[10]在修正劍橋模型的基礎上，提出一種適用于超固結土的熱力學模型，該模型能夠考慮溫度和應力耦合作用所引起的硬化現象。Hamidi等[11]利用加熱后的壓縮曲線和常溫時土體的壓縮曲線、臨界狀態線之間的關系，結合臨界狀態理論，建立一種考慮應力歷史的熱力學本構模型。姚仰平等[12]在臨界土力學框架內，提出一種適用于非飽和黏土、能夠考慮溫度和應力歷史的本構模型。Yao等[13]提出一種能考慮溫度影響、適用于正常固結和超固結土體的統一硬化彈塑性本構模型，該模型能較好的模擬飽和土體在各向同性或各向異性狀態下加熱，在排水或不排水條件下剪切的熱力學性質。Wang等[14]通過建立先期固結應力和溫度之間的關系，提出一種各向異性熱彈塑性本構模型。Coccia等[15]通過分析不同溫度作用下的二次壓縮系數變化規律，提出一種考慮時間效應的熱力學模型。

上述模型主要是劍橋或修正劍橋模型基礎上，建立先期固結應力、二次壓縮系數、超固結比等參數與溫度之間的關系，再結合臨界狀態理論，提出考慮時間效應、應力歷史、各向異性等適用于飽和土和非飽和土的熱力學模型。然而，這些模型需要分別考慮溫度和應力引起的屈服，模型參數較多，且求解過程較為繁瑣。筆者在傳統臨界狀態理論基礎上，建立考慮溫度影響的非關聯飽和黏土彈塑性本構模型，該模型僅有6個參數，且給出具體確定方法，通過試驗值與模擬值的對比分析，驗證了該模型的合理性，為能量樁等溫度相關的實際工程應用提供了非常重要的理論依據。

1 考慮溫度影響的非關聯彈塑性模型

1.1 模型的提出

如圖1所示，正常固結飽和黏土首先在應力作用下進行力學固結，土體發生體積壓縮現象(A-B)；然后，應力保持不變，在排水條件下進行加熱，土體發生熱固結現象(B-C)；最后，溫度保持不變，在排水條件下進行剪切試驗。在整個固結試驗過程中(A-B-C)，應力和溫度都將引起土體發生屈服，從而產生彈塑性變形。已有的熱力學模型，主要是力學固結(A-B)和熱固結(B-C)階段提出不同的屈服函數，然后在臨界狀態理論框架內，建立新的考慮溫度影響的本構模型，求解過程通常較為復雜。從圖1中可以看出，雖然力學固結和熱固結的作用機理不同，但熱固結階段(B-C)和常溫時的力學固結階段(B-D)的變形相同。因此，在常規溫控三軸試驗中，土體的熱力學固結(A-B-C)過程可以等效為純力學固結(A-B-D)過程。

圖1 不同溫度作用下飽和黏土壓縮曲線和回彈曲線Fig.1 Diagram of the compression and swelling curves for saturated clays at different temperatures

1.2 彈性變形

純力學固結(A-B-D)階段的彈性變形可用式(1)表示。

(1)

式中：Δee為彈性階段的孔隙比變化量；κ為回彈曲線(DE)的斜率，大小與溫度無關；pA為初始應力；pB為力學固結結束時的應力；pD為等效應力，其對應的體變(或孔隙比)與熱固結結束時的值相同。

對于應力pB和pD的關系，Laloui等[16]認為先期固結應力與溫度呈半對數關系，Moritz[17]認為先期固結應力與溫度之間呈指數關系，Wang等[14]對Laloui等[16]和Moritz[17]提出的先期固結壓力與溫度之間的關系進行比較，發現兩種關系實質上是等效的。為了簡便，筆者采用Moritz[17]提出的關系式，即

(2)

式中：pcT和pcT0分別為目標溫度和初始溫度作用下的先期固結應力；T為目標溫度，即土體經歷加熱或溫度循環后所達到的溫度，主要在5～90 ℃之間。T0為初始溫度，即歸一化處理目標溫度T的一個參考溫度，為一組常規溫控三軸試驗中幾個目標溫度的最小溫度值，通常取試驗時的室內溫度。θ為材料參數，可通過常規溫控三軸試驗求得。

彈性體積變形

(3)

式中：e0為初始孔隙比。

由式(1)～式(3)可得

(4)

對式(4)求導，可得出彈性體積變形增量為

(5)

式中：p為有效應力；dp為有效應力增量；dT為溫度增量。

彈性剪切變形增量為

(6)

(7)

式中：dq為偏應力增量；G為剪切模量，可由泊松比和體積模量求得；v為泊松比，取0.3，且大小與溫度無關。

1.3 塑性變形

純力學固結(A-B-D)階段的塑性變形可用式(8)表示。

(8)

將式(2)帶入(8)可得

(9)

塑性體積變形為

(10)

由式(10)可得應力pB滿足式(11)。

(11)

根據傳統的臨界狀態理論可知，屈服函數可由式(12)表示。

f=q2+M2p2-Cp=0

(12)

式中：f為屈服函數；q為偏應力；M為臨界狀態應力比；C為材料參數。

當土樣處于固結階段(力學固結或熱固結)，偏應力q為0，有效應力p=pB。此時，材料參數C可表示為

C=M2pB

(13)

將式(13)帶入(12)可得

f=q2+M2p2-M2pBp=0

(14)

(15)

對式(15)求導，可得

(16)

其中:

(17)

(18)

(19)

(20)

由式(15)～式(20)得出塑性體積應變增量表達式為

(21)

采用非關聯流動法則，即塑性勢函數和屈服函數不同，但兩函數之間存在式(22)所示關系。

(22)

式中：g為塑性勢函數；Ha為比例因子。

塑性體積變形和塑性剪切變形之間的關系式為

(23)

(24)

因此，塑性剪切變形為

(25)

1.4 總變形

(26)

(27)

2 模型參數分析

在考慮溫度影響的非關聯彈塑性本構模型中，共有λ、κ、ν、θ、M和Ha等6個參數，這些參數都可以根據常規溫控三軸實驗數據得到。

2.1 參數λ、κ

在常規溫控三軸試驗中，參數λ和κ分別為飽和黏土在不同溫度作用下的壓縮曲線和回彈曲線的斜率。不同溫度作用下，黏土的壓縮曲線和回彈曲線相互平行，其斜率不隨溫度變化。

2.2 指數θ

由式(2)可知，指數θ與不同溫度作用下的先期固結應力有關。對于先期固結應力的求解，方法多種多樣[18-20]，筆者采用Abuel-Naga等[20]的方法，具體求解過程如圖2所示。首先，將溫度T0(常溫)狀態下土體壓縮曲線中的拐點(直線段的起點)作為常溫狀態下的先期固結應力pcT0；然后，將回彈曲線平移至該拐點，并將溫度T作用下的壓縮曲線直線段延長，延長段與回彈曲線的交點作為加熱后的先期固結應力pcT。

圖2 不同溫度作用下飽和黏土的先期固結應力求解示意圖Fig.2 Determination of the preconsolidation pressure of saturated clays at different temperatures

通過此方法可求出不同溫度作用下的先期固結應力。最后，利用式(28)將求得的先期固結應力比和溫度比在雙對數坐標系中進行線性擬合，斜率即為參數θ。

(28)

由圖2可以看出，隨著溫度的增加，先期固結應力逐漸減少，因此，式(15)表示的屈服函數在p-q-T三維空間中的變化趨勢如圖3所示。

圖3 不同溫度作用下飽和黏土的屈服函數示意圖Fig.3 Diagram of the yield function of saturated clays at different temperatures

2.3 臨界狀態應力比M

在常規三軸試驗中，當軸向應變繼續增加，偏應力和體變不發生變化，即增量為0，此時土體在應力的作用下達到臨界狀態。根據臨界狀態理論，可求出不同應力和溫度作用下，土體達到臨界狀態時的有效應力pcs和偏應力qcs，然后將一系列pcs、qcs在p-q平面內進行線性擬合，該直線的斜率便為臨界狀態應力比M，如圖4所示。

圖4 不同溫度作用下飽和黏土的臨界狀態應力比示意圖Fig.4 Diagram of the stress ratio of saturated clays in critical state at different temperatures

2.4 比例因子Ha

首先假定比例因子Ha為1，此時塑性勢函數和屈服函數相同，對試驗數據進行模擬，并將試驗值、模擬值進行對比分析。若Ha=1，計算得到的模擬值小于試驗值，則逐漸增大Ha(Ha>1)，重新計算模擬值，并與試驗值進行比較，直至模擬值和試驗值較為接近，且相對誤差小于0.5%。若Ha=1，求得的模擬值大于試驗值，則逐漸減少Ha(Ha<1)，試算方法與Ha<1類似。

3 模型驗證

為了驗證模型的有效性，對一組Kaolin[21]黏土和Bourke[22]粉質黏土的溫控三軸排水剪切試驗結果進行模擬，并分別與Yao等[13]和Hamidi等[11]提出的彈塑性本構模型進行對比分析。試驗材料的基本物理性質指標如表1所示。Kaolin黏土正常固結狀態下的有效應力為600 kPa，溫度分別為22 ℃、90 ℃，Bourke粉質黏土正常固結狀態下的有效應力為150 kPa，溫度分別為25 ℃、40 ℃、60 ℃，試驗得到的應力-應變曲線如圖5、圖6所示。

表1 黏土的基本物理性質指標Table 1 Physical indices of clays

圖5 正常固結飽和高嶺土在不同溫度作用下的應力-應變關系Fig.5 The stress-strain relationships of normal consolidated saturated Kaolin clay at different temperatures

圖6 正常固結飽和伯克土在不同溫度作用下的應力-應變關系Fig.6 The stress-strain relationships of normal consolidated saturated Bourke silt at different temperatures

根據試驗結果，分別求出考慮溫度影響的非關聯彈塑性模型中的6個參數值，其中λ、κ和M的求解方法與常溫三軸試驗方法一樣，這里將不再贅述。另外，泊松比ν根據經驗假定為0.3，無需計算，比例因子Ha通過試算求得。剩余參數θ的求解過程如圖7所示，各參數值如表2所示。

圖7 模型參數θ確定Fig.7 Determination of model parameter θ

表2 飽和黏土的模型參數Table 2 Model parameters of saturated clays

將6個模型參數代入式(26)和式(27)，求出不同溫度作用下飽和黏土的應力-應變模擬值，并與試驗值和Yao等[13]、Hamidi等[11]提出的模擬值進行對比，如圖5、圖6所示。從圖7中可以看出，該模擬值與試驗值吻合較好，初步驗證了該模型的合理性。

4 結論

利用相同變形的力學固結代替熱固結，將常規溫控三軸試驗中的熱力學特性轉化為純力學特性，再基于臨界狀態理論框架，提出考慮溫度影響的非關聯飽和黏土彈塑性本構模型。結論與建議如下：

1)隨著溫度的增加，正常固結黏土發生體積壓縮現象，壓縮曲線和回彈曲線逐漸向下平移，斜率不變。此外，不同溫度作用下的臨界狀態應力比也是唯一的，而先期固結應力呈指數關系變化。

2)利用等效純力學固結代替常規溫控三軸試驗中的力學固結和熱固結，雖然溫度和應力使土體發生變形的機理不同，但等效替換后，兩者使土體發生的變形相同，作用效果一樣。

3)土體復雜的熱力學特性轉化為等效的純力學特性，再利用傳統的臨界狀態理論，建立新的考慮溫度效應的本構模型。相比分別考慮溫度和應力作用下的屈服函數等傳統熱力學本構模型研究方法，此種替換方法使整個研究過程更為簡便，模型中共有6個參數，模型參數均具有明確的物理意義，且可由常規溫控三軸試驗確定。

4)提出的非關聯彈塑性本構模型中，塑性勢函數和屈服函數不同，但兩者之間存在一定的比例關系，該比例因子可結合試驗值和模擬值之間的相對關系，通過試算求得。