基于未知荷載系數(shù)法的斜拉橋索力優(yōu)化

劉 軍

(山西省交通科技研發(fā)有限公司 太原 030032)

斜拉橋作為高次超靜定組合結(jié)構(gòu)體系，具有結(jié)構(gòu)跨度大、梁體自重輕，以及造型優(yōu)美等特點(diǎn)，斜拉索能夠有效地改善斜拉橋的內(nèi)力分布情況和線形平順程度，使其達(dá)到合理成橋狀態(tài)[1]。如何進(jìn)行索力優(yōu)化一直是斜拉橋設(shè)計(jì)的核心問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)該問題進(jìn)行了一系列的研究，并取得較好的成果，將斜拉橋索力優(yōu)化方法分為指定結(jié)構(gòu)狀態(tài)、無約束優(yōu)化法、有約束優(yōu)化法和影響矩陣法[2-4]。前3種優(yōu)化方法由于只考慮了單一的目標(biāo)函數(shù)，其各自使用范圍具有一定的局限性。影響矩陣法綜合了以上3種優(yōu)化方法，將多種目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一，解決了單一目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的缺點(diǎn)[5]。

未知荷載系數(shù)法的本質(zhì)為影響矩陣法，采用未知荷載系數(shù)法計(jì)算斜拉橋最優(yōu)索力具有高效性和精準(zhǔn)性等特點(diǎn)[6]。本文結(jié)合具體的斜拉橋工程，采用未知荷載系數(shù)法計(jì)算斜拉橋的最優(yōu)索力，具有一定的工程實(shí)踐價(jià)值。

1 未知荷載系數(shù)法

1.1 未知荷載系數(shù)法原理

未知荷載系數(shù)法是通過設(shè)置斜拉橋的約束條件，求出滿足約束條件的合理變量值，其計(jì)算理論基礎(chǔ)為影響矩陣法。

結(jié)構(gòu)滿足線性疊加原理，因此

D=CX

(1)

式中：D為受調(diào)向量；C為影響矩陣；X為施調(diào)向量。

結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能可寫成

(2)

對(duì)于離散的桿系結(jié)構(gòu)可寫成

(3)

式中：m為結(jié)構(gòu)單元總數(shù)；Li、Ei、Ii分別為i號(hào)單元的桿件長(zhǎng)度、材料彈性模量和截面慣性矩；MLi、MRi分別為單元左、右端彎矩。

將式(3)改寫成

U=MLTBML+MRTBMR

(4)

式中：ML、MR分別為左右端彎矩向量；B為系數(shù)矩陣；對(duì)角元素為

(5)

令調(diào)索前左右端彎矩向量分別為ML0、MR0，施調(diào)索力向量為T，則調(diào)索后彎矩向量為

(6)

式中：CL、CR分別為索力對(duì)左右端彎矩的影響矩陣。將式(6)代入式(4)得

(7)

式中：C0為與T無關(guān)的常數(shù)。

要使調(diào)整后結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小，令

(8)

式中：l為調(diào)整索數(shù)。

式(7)代入式(8)并寫成矩陣形式

CLTBCL+CRTBCRT=-CRTBMR0-CLTBML0

(9)

取彎曲應(yīng)變能與拉壓應(yīng)變能之和為目標(biāo)函數(shù)，將方程式兩端的影響矩陣用索力相應(yīng)于相應(yīng)截面內(nèi)力的影響矩陣取代即可得到最優(yōu)索力方程。

采用有約束的最小能量法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，可選結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。使用midas Civil軟件建立有限元模型，根據(jù)有限元模型求出單元兩端彎矩向量ML0、MR0和索力對(duì)彎矩的影響矩陣CL和CR，最后求解方程(9)，進(jìn)而求出拉索索力向量T。

1.2 未知荷載系數(shù)法步驟

1) 根據(jù)斜拉橋設(shè)計(jì)參數(shù)建立三維模型，其中：主梁、索塔和基礎(chǔ)均采用梁?jiǎn)卧M，拉索采用桁架單元模擬。

2) 根據(jù)實(shí)際情況將結(jié)構(gòu)自重、二期恒載和拉索單位初拉力輸入模型中，并進(jìn)行荷載組合。

3) 采用分析模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。

4) 利用軟件中未知荷載系數(shù)功能，設(shè)置斜拉橋成橋狀態(tài)時(shí)需要滿足的控制條件，通過影響矩陣法求出未知荷載系數(shù)。未知荷載系數(shù)法計(jì)算流程圖見圖1。

圖1 未知荷載系數(shù)法計(jì)算流程圖

2 建模分析

2.1 工程概況

斜拉橋?yàn)閱嗡p跨混凝土結(jié)構(gòu)，跨徑組成為98 m+98 m=196 m，索塔高度H為46.15 m，高跨比為0.471。橋?qū)?7.5 m，設(shè)雙向六車道，橋面布置為1.5 m+0.5 m+11 m+0.5 m+0.5 m+0.5 m+11 m+0.5 m+1.5 m=27.5 m。索塔為花瓶型索塔，總高度81.0 m，由于地形較深，在索塔下部有18 m的混凝土主墩。拉索布置形式為扇形雙索面，全橋共設(shè)48根、12組斜拉索，斜拉索在主梁上的標(biāo)準(zhǔn)索距為8.0 m，其中，斜拉橋拉索由橋塔到橋臺(tái)編號(hào)依次為A1～A12。斜拉橋總體布置圖見圖2，斜拉索編號(hào)示意見圖3。

圖2 斜拉橋總體布置圖(單位：cm)

圖3 斜拉橋拉索編號(hào)圖

2.2 建立有限元模型

全橋共分為191個(gè)節(jié)點(diǎn)和190個(gè)單元(其中梁?jiǎn)卧?42個(gè)，桁架單元48個(gè))。變截面部分采用變截面單元進(jìn)行處理，該模型邊界條件及連接方式均按照斜拉橋設(shè)計(jì)情況對(duì)支座和連接狀態(tài)進(jìn)行模擬，全橋有限元模型圖見圖4。

圖4 全橋有限元模型圖

斜拉橋主梁、拉索、索塔和鋼筋材料參數(shù)表見表1。

表1 材料參數(shù)表

將斜拉橋自重、二期恒載和拉索單位初拉力依次添加到模型中。荷載模擬值如下。

1) 自重。自重包括一般梁?jiǎn)卧淖灾兀鞯蔫旒軉卧灾丶皺M隔板的節(jié)點(diǎn)荷載自重，橫隔板節(jié)點(diǎn)荷載取185 kN。

2) 二期恒載。二期恒載用連續(xù)荷載模擬，取122.5 kN/m。

3) 拉索初拉力荷載。拉索用桁架單元模擬，向每根拉索輸入單位初始拉力1 kN。

斜拉橋邊界條件見表2，表中x、y、z分別為縱橋向、橫橋向和豎向，0表示自由，1表示在地面固結(jié)或2個(gè)構(gòu)件之間相互約束。

表2 斜拉橋邊界條件表

2.3 優(yōu)化目標(biāo)

斜拉橋理想的控制目標(biāo)應(yīng)該使斜拉橋結(jié)構(gòu)充分發(fā)揮其材料性能，達(dá)到經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化，在該狀態(tài)下的索力為最優(yōu)索力。根據(jù)斜拉橋自身特點(diǎn)，在恒載作用下，應(yīng)盡量使塔頂水平位移和主梁豎向位移最小。因此，以斜拉橋橋塔水平位移和主梁豎向位移最小為目標(biāo)對(duì)索力進(jìn)行優(yōu)化，尋求最優(yōu)的成橋索力。該目標(biāo)函數(shù)可以表達(dá)為

min{max[f(x)]}

(10)

式中：max[f(x)]為結(jié)構(gòu)的最大變位值；x為斜拉索初張拉力。

2.4 約束條件

斜拉索在成橋狀態(tài)下，每根拉索均受力；考慮到斜拉索強(qiáng)度和疲勞問題，需要限定索力的最大和最小值。因此，斜拉索索力的約束條件可表示為

(11)

式中：x為斜拉索初張拉力列陣；PD為索力在結(jié)構(gòu)自重作用下的列陣；PA為索力在單位索力作用下的影響矩陣；Pmax、Pmin為指定拉索索力最大和最小值。

斜拉橋在成橋狀態(tài)下，主梁豎向位移和主塔水平位移是重要指標(biāo)。因此，斜拉橋設(shè)計(jì)需要限制主梁和塔頂?shù)奈灰浦担s束條件如下。

(12)

式中：DD為結(jié)構(gòu)在自重作用下的節(jié)點(diǎn)位移列陣；DA為節(jié)點(diǎn)位移的影響矩陣；Dmax、Dmin為指定節(jié)點(diǎn)位移的最大和最小值。

2.5 成橋索力優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)斜拉橋合理成橋狀態(tài)的要求，將索塔塔頂位移、主梁內(nèi)力和主梁豎向撓度設(shè)為約束條件。約束條件如下：主梁彎矩絕對(duì)值≤10 000 kN·m；索塔塔頂位移≤10 mm；主梁豎向撓度≤20 mm。通過控制斜拉橋成橋狀態(tài)時(shí)需要滿足的條件，利用影響矩陣進(jìn)行索力優(yōu)化，得出成橋階段最優(yōu)索力，索力優(yōu)化結(jié)果及設(shè)計(jì)索力值見表3，優(yōu)化后的索力見圖5。

表3 計(jì)算索力與設(shè)計(jì)索力對(duì)比表

圖5 優(yōu)化索力折線圖

由圖5可知，斜拉橋每根拉索拉力均為正值，表明每根拉索都處于工作狀態(tài)。此外，兩端拉索索力最大，并且拉索索力大小隨著拉索編號(hào)的增大而增大，該索力分布形式可以有效提高橋梁承載能力，同時(shí)限制索塔塔頂位移，滿足合理成橋狀態(tài)下的索力分布規(guī)律。根據(jù)計(jì)算索力與設(shè)計(jì)索力對(duì)比表可得，拉索優(yōu)化后的索力值與設(shè)計(jì)索力值非常相近，最大相對(duì)誤差僅為3.33%，故采用未知荷載系數(shù)法對(duì)斜拉索進(jìn)行優(yōu)化是合理的。

2.6 成橋狀態(tài)下斜拉橋結(jié)構(gòu)驗(yàn)算

成橋狀態(tài)下斜拉橋結(jié)構(gòu)驗(yàn)算包括：主梁強(qiáng)度和撓度變形驗(yàn)算、索塔強(qiáng)度驗(yàn)算和拉索強(qiáng)度與疲勞驗(yàn)算。由于篇幅所限，在此只展示主梁撓度變形驗(yàn)算和拉索強(qiáng)度與疲勞驗(yàn)算。

將優(yōu)化后的索力值輸入模型中，并添加相應(yīng)的汽車荷載、溫度荷載，在軟件中進(jìn)行作用組合并驗(yàn)算。現(xiàn)取基本組合(1.2×恒荷載+1.0×收縮及徐變引起的二次效應(yīng)+1.4×汽車荷載+1.05×體系降溫和正溫度梯度)對(duì)斜拉橋進(jìn)行結(jié)構(gòu)驗(yàn)算，主梁撓度變形驗(yàn)算結(jié)果見表4，拉索強(qiáng)度和疲勞驗(yàn)算結(jié)果見表5。

表4 主梁撓度變形驗(yàn)算表

表5 斜拉索強(qiáng)度和疲勞驗(yàn)算表

由表4可知，基本組合下主梁撓度變形最大值為0.112 m，小于斜拉橋規(guī)范規(guī)定L/500=0.196 m，故主梁撓度變形滿足要求。由表5可知，基本組合下斜拉索最大應(yīng)力為285 MPa，小于斜拉索控制應(yīng)力930 MPa和斜拉索應(yīng)力幅300 MPa，故斜拉索強(qiáng)度和疲勞滿足要求。

3 結(jié)語

依托具體斜拉橋項(xiàng)目，以成橋狀態(tài)優(yōu)化的主梁和塔頂位移為優(yōu)化目標(biāo)，主梁彎矩為約束條件，采用未知荷載系數(shù)法計(jì)算斜拉橋最優(yōu)索力，優(yōu)化后的索力值隨著拉索編號(hào)增大而增大，滿足合理成橋狀態(tài)下的索力分布規(guī)律，且其與設(shè)計(jì)值非常相近。同時(shí)對(duì)成橋狀態(tài)下的斜拉橋進(jìn)行結(jié)構(gòu)變形、強(qiáng)度及疲勞驗(yàn)算，驗(yàn)算結(jié)果表明滿足規(guī)范要求。通過計(jì)算證明，未知荷載系數(shù)法可以作為斜拉橋索力優(yōu)化計(jì)算的一種有效方式，可以為斜拉橋的設(shè)計(jì)計(jì)算提供一定的依據(jù)。