基于非赫茲接觸理論下的轉體施工過程抗傾覆分析

尹耀霄 劉 爭 劉 濤

(1.湖北交投智能檢測股份有限公司 武漢 430000; 2.武漢馬房山理工工程結構檢測有限公司 武漢 430070;3.武漢理工大學土木工程與建筑學院 武漢 430070)

Hertz接觸力學理論提出在正壓力條件下獲得了2個不協調的彈性球體表面接觸應力的解析解[1]。從20世紀后期到現在，盡管非協調接觸[2]的計算方法較為完善，但工程應用中仍大量存在協調接觸[3]。轉體橋[4-6](見圖1)球鉸的[7-8]上磨盤與下磨心即為協調接觸，同時，球鉸磨心表面的應力狀態分布直接影響了轉體施工(見圖2)過程。但是公路橋涵施工技術規范的簡化算法[9]中，球鉸的相關計算均簡化為平面，雖然減少了計算量，隨之而來的應力誤差也給轉體過程帶來了不可忽略的隱患。車曉軍[10]在計算轉體橋球鉸時，將上下球鉸曲面接觸應力等效為均布力，雖然簡化了計算過程，但是同時帶來了應力分布與實際情況的誤差。因為轉動系統的抗傾覆能力由球鉸的摩阻力矩提供，而摩阻力矩又是由球鉸接觸應力的分布計算得出，因此，研究非赫茲接觸理論下的轉動體系抗傾覆力矩計算顯得尤為重要。

圖1 轉體橋上部結構

圖2 轉體施工示意圖

本文引用非赫茲接觸理論中Steuermann[11]的協調接觸計算模型，并基于該模型推導出轉動過程中的抗傾覆力矩，同時將基于簡化算法的抗傾覆力矩、基于非赫茲接觸理論下的轉動體系抗傾覆力矩與實際測試數據進行比較分析，從而驗證基于非赫茲接觸理論下的轉動體系抗傾覆力矩的計算準確性。

1 球鉸失穩和抗傾覆系統

1.1 球鉸失穩

橋梁轉體過程中，失穩形式有2種，球鉸示意及失穩示意見圖3、圖4。

圖3 球鉸示意圖

圖4 失穩示意圖

1) 球鉸失穩。在撐腳未落地之前，整個橋梁梁體繞著球鉸轉動傾覆。

2) 撐腳支點失穩。撐腳落地，整個橋梁梁體繞著撐腳支點轉動。

因撐腳摩擦力過大，并不利于橋梁轉體的順利進行，所以轉體過程中盡量保證撐腳不從環道脫落。同時，由于撐腳支點失穩狀態計算簡單，因此，本文僅考慮球鉸失穩狀態。

1.2 抗傾覆系統

在轉體過程中，轉動體系的重心不在球鉸磨心的圓心處，此時轉動體系的偏心致使整個轉動體系出現傾覆力矩，由于轉動過程是轉體橋施工中最為關鍵和危險系數最大的施工階段[12]，因而轉體過程中須實時監控整個轉動體系的俯仰角變化，從而實時監控轉動體系的傾覆力矩變化。其中傾覆力矩計算與背墻傾角關系示意見圖5。

圖5 傾覆力矩計算示意圖

則傾覆力矩與背墻傾角計算式為

M1=Ge

(1)

e=lsinα

(2)

式中：M1為傾覆力矩，N·m；M2為抗傾覆力矩，即球鉸摩阻力矩，N·m；e為偏心距，m；Fy為球鉸支撐力，N；G為背墻的重力，N；l為轉動體系重心高度，m；α為背墻傾角，(°)。

轉體橋的抗傾覆系統由環形滑道、撐腳，以及定位銷軸組成，其組成示意見圖6。當轉體橋的撐腳未觸地時，其抗傾覆力矩由球鉸磨心的摩阻力矩提供；當撐腳觸地時，轉動體系抗傾覆能力達到最大，此時撐腳為抗傾覆系統的最后一道屏障。

R-球鉸半徑;R′- 球鉸平面半徑;α-球鉸支撐圓心角或球鉸外邊緣圓心角;θ- 球鉸徑向角度。圖6 抗傾覆系統

2 非赫茲接觸理論分析

2.1 球鉸應力簡化算法

在JTG/T F50-2011《公路橋涵施工技術規范》中，將球鉸接觸面簡化成平面接觸的計算模型，將球鉸應力簡化為平面均布力，用來計算兩彈性無限半空間體，在物體表面相互接觸時的接觸應力。

球鉸應力簡化算法，接觸表面應力分布可描述為

(3)

式中：F為轉動體系重力，kN。

簡化算法雖然簡單，但是考慮到球鉸處實際是曲面，受力情況比較復雜，所以簡化算法得出的結果誤差較大，不能真實反映球鉸的應力分布。

2.2 非赫茲接觸理論

非赫茲接觸理論是相對于赫茲理論而命名的，非赫茲接觸理論計算模型適用于協調接觸，即兩接觸體的曲率中心在接觸位置切面同側，并且其曲率半徑大小接近。Steuermann非赫茲接觸理論的總荷載函數式及壓力分布曲線分別見式(4)、式(5)。

(4)

(5)

式中：F為總荷載；a為接觸帶寬，mm；E*為當量彈性模量，MPa；A2為接觸壓力下接觸帶寬接觸系數。

其中：

(6)

(7)

式中：E1、E2分別為兩彈性體的彈性模量，MPa；μ1、μ2分別為兩彈性體的泊松比；R1、R2為兩接觸面的上下半徑，mm。

因此接觸帶寬a為

(8)

2.3 非赫茲接觸應力工程應用

2.3.1工程背景

本文以恩施州南渡江轉體拱橋(主跨190 m)施工為依托，以轉體橋球鉸磨心為研究對象，分別用簡化算法、非赫茲接觸理論及三維有限元仿真模型進行計算，分析其磨心處的應力狀態分布，討論非赫茲接觸理論相對于簡化算法就協調表面接觸的合理性。

其球鉸磨心部分尺寸，見圖7，轉體系統參數見表1。

圖7 球磨心尺寸(部分)(單位：mm)

表1 轉體系統參數

3 抗傾覆分析

3.1 臨界抗傾覆力矩推導

3.1.1基于非赫茲接觸理論抗傾覆力矩公式

轉體球鉸的幾何形狀示意見圖8。

圖8 球鉸幾何形狀示意圖

在微平面A上，有微平面摩阻力f1，則有

df1=μσds

(9)

式中：ds=R2sinθdθdγ；μ為摩擦系數，因此

df1=μσR2sinθdθdγ

(10)

可以推導抗傾覆力矩M2為

dM2=Ldf1=LμσR2sinθdθdγ

(11)

此時r2=x2+y2=(Rsinθ)2，所以有

(12)

所以整個體系最大的抗傾覆力矩為

(13)

式中：α為球鉸球缺尺寸的下限(定位銷軸的尺寸界線)；β為接觸帶寬所在球鉸半徑的上限。

3.1.2基于簡化算法抗傾覆力矩公式推導

如果采用簡化算法，即σ=F/(πR2)，則有

(14)

3.2 俯仰角追蹤分析

南渡江拱橋轉動體系現場布置俯仰角追蹤系統，追蹤背墻在轉動過程中的傾角變化，用以實時判斷轉動體系的傾覆力矩的變化，在轉動體系傾角較大時，實時對轉動體系進行塔身傾角修正，保證轉動體系工作安全、平穩、順利。依據轉體橋的轉體施工要求，轉體過程中處于無風狀態，所以不考慮風載效應。

轉動體系重心位置參數見表2。

表2 轉動體系重心位置參數表

球鉸半徑R=8 500 mm，接觸帶寬1 248.42 mm，因此，θ的上下限α=arcsin(50/8 500)，β=arcsin(1 248.42/8 500)。將所有參數代入式(12)中，運用Mathematica計算可得，臨界抗傾覆力矩(即摩阻力矩)為3 643.8 kN·m。現場測得背墻的傾角變化，通過式(1)、式(2)，可以實時計算出現場背墻X(順橋向)與Y(橫橋向)方向上的傾覆力矩，見圖9。

圖9 背墻傾角實時變化圖

由圖9可見，在365 min時，轉體橋順橋向出現最大傾角，此時運用式(1)、式(2)可得傾覆力矩達到最大值2 094.38 kN·m，由于該值小于運用式(13)計算出的抗傾覆力矩的臨界值4 499.79 kN·m，也少于運用式(14)計算出的抗傾覆力矩臨界值6 327.84 kN·m，可見基于簡化算法的臨界抗傾覆力矩比基于非赫茲理論的臨界抗傾覆力矩增大了40.6%，該值的變化可防止由于臨界抗傾覆力矩過大估計而導致的實際傾覆力矩大于臨界抗傾覆力矩。所以在全橋轉體過程中，轉動體系的傾覆力矩在抗傾覆力矩值之內，轉動體系在轉動過程中處于安全狀態。

4 結語

轉體橋球鉸在靜止狀態下，由于其上下球鉸接觸為協調接觸，因此運用《公路橋涵施工技術規范》簡化算法及非赫茲接觸理論進行應力計算時，會出現應力分布的偏差，基于兩者計算而得出的抗傾覆力矩有所不同，將兩者結果與工程實測結果進行對比分析。結果表明，基于簡化算法的抗傾覆力矩比基于非赫茲接觸理論所得的傾覆力矩大40.6%，因此，基于非赫茲接觸理論下的轉體施工傾覆驗算更符合實際計算結果。