數學給我的影響

摘要：提出分享式教學，數學給我的影響最大，主要體現在兩點：一是公理化思想，二是數學抽象的特征——去個性化、去情境化、去時間化。分享式教學有三個“公理”。第一，我們的能力是有限的，需要群居合作而生存;我們的感官帶有局限，需要分享智慧而發展。第二，教育不可有悖人的天性：好奇，好探究，好秩序，好分享。第三，教育要讓我們的學生學會像一般人一樣思考：“問題—思考—分享”。公理化思想有助于我們梳理已有的教育理念;而去個性化、去情境化、去時間化，有助于我們去尋找適合不同情境、不同個性、不同時間的課堂教學中的共同規律，重建課堂教學的規則。

關鍵詞：分享式教學公理化抽象教學規則

高中時，我是最討厭數學的。尤其是數學習題，太多了，總也做不完，人們叫它“題海”，我可不想在題海里淹死。高三一年，我只是完成老師安排的、必須上交的數學作業，沒有做過一道課外的數學習題，包括老師布置的課本上的練習題。高考前，不會寫步驟，就買了一本《數學習題解》看步驟是怎么寫的，還記得那本書是內蒙古人民出版社出版的。高考成績出來后，數學分數最低，卻陰差陽錯地歸了數學專業。如今，我提出分享式教學，自認為數學給我的影響最大。那么，數學給了我哪些影響呢？

我想結合我提出的分享式教學談一點看法。這不奇怪，談影響，是要聯系到具體的某一方面的。

一、 公理化思想

我們初中學習的平面幾何體系，就是建立在公理化基礎上的。但老師們并不一定知道公理化。我在山東某中學做業務校長時，有次組織數學教研組長會，提到公理化思想。一位組長說：“我不知道什么是公理化思想。這個只有你們搞研究的人才關心吧。”這事過去二十多年了，這位老師的質疑一直縈繞在我心頭。數學教學最有價值的內容是什么？怎么才能讓我們的老師體會到數學的價值？如果老師都體會不到數學的價值，又怎么能讓學生體會到它的價值？這個問題至今無法排解。

那么，什么是公理化呢？公理化是一種數學方法，抑或說是一種思想。二千多年前的歐幾里得，把幾何中的結論分為基本概念和公理、定理，并梳理出了它們之間的關系。他總結概括出14個基本命題，然后由此出發，運用演繹方法將當時所知的全部幾何學知識推演出來，整理成一套演繹體系。簡單說，就是幾何中存在的那么多定理、推論，向上溯源，其實都是有其“生母”的——就是那么幾條公理，衍生出了眾多的“兒孫”。

有人說：“任何真正的科學都始于原理，以它們為基礎，并由之而導出一切結果來。”這種思想，已影響到現在的各個學科。我們不要把這句話僅當成一個事實的陳述。對這句話的深思，會讓我們突破“已有公理化”的樊籬，自己去嘗試創立新的公理體系。

自然，我的這種想法不會得到那些“正統觀念”的認可。在一次全國性高級研討班研討活動中，我就提出過這個觀點，希望我們的老師能從教育的本真處去思考，基于問題，然后提出自己的觀點，不要動輒引述西方或某名人的論典，只會為現有的理論做補綴的案例。我的觀點剛說完，有一位專家馬上就站起來反駁了。他希望老師們不要想太高，要先做好實踐和案例工作。他也是好意，怕老師們好高騖遠，耽誤了大好時光。

其實，我知道，與我觀點相左的大有人在。比如，馬復主編的義務教育數學課程標準實驗教科書《數學》教材，一開始提出局部公理化處理方式、擴大的公理化方式，就被很多人扛出歐氏公理化的大旗反對。這些反對者可能忘記了不同的公理可以推衍出不同的科學體系這樣的發展史實。

2005年我到了北京，有人知道我有杜郎口中學的背景，問我：“杜郎口中學教學方式的理論依據在哪？”我也嘗試著用現有的理論去解釋“類杜郎口現象”。結果發現，我所知道的現有的理論都無法全面解釋“類杜郎口現象”。

當現有理論無法解釋新的現象時，是需要有新的理論產生的。這本來是歷史發展的必然，但由于我們缺少公理化思想的思考，很多人不是去嘗試建構理論，而是對“類杜郎口現象”進行各種質疑，甚至貼上了“杜郎口是教育的怪胎”的標簽。

于是，我想到了公理化方法，希望尋找到更合理的解釋。如何尋找？現在想，道理很簡單。就像大樹的分支、江河的支流，現有的理論只能解釋它下面分支的部分現象，不能解釋全部，要尋找能解釋全部現象的理論，我們只能往根部尋找，往上流尋找。顯然，我們需要思考人的天性是什么？人是怎樣思考和理解問題的？這些應當是本初的東西。

關于人的天性，也有不同的解釋，由此產生了不同的科學。如經濟學之父亞當·斯密由人的自利性和利他性提出了市場經濟學。古來也有人性本惡，性本善之爭。基督教認為，人性本惡，人生而有原罪，于是倡導人要贖罪。儒家學說認為“人之初，性本善”，于是有“大學之道，在明明德”。

那么，對于教育者來說，人的本性是什么呢？我認為人的天性是好奇、好探究、好秩序、好分享。人沒有好奇、好探究的欲望，便無法在世間存活和發展。這“四大天性”是人類社會進化、歷史選擇的結果。以此為出發點，我提出分享式教學。其三個“公理”如下：

第一，我們的能力是有限的，需要群居合作而生存;我們的感官帶有局限，需要分享智慧而發展。

不是嗎？我們的四肢沒有獵豹般靈巧，不能箭矢般地為追獲獵物奔跑，遇到災難時也不能飛速脫逃;我們無虎狼的獠牙和利爪，不能遂心如意地撕咬捕獲的食物;我們無野牛的尖角，遇上敵人的侵害時能對來犯者頭抵角挑……我們是脆弱的，注定我們不能如虎獨步山林，不能似熊孤影北極。

承認我們的身體天生是弱小的，就需要成員間群居合作而生存;承認我們的感官天生帶有局限，就需要成員間分享智慧而發展。群居的生活，交往、分享變得無比重要。上古集體狩獵，要分享獵物，才能延活生命;近代更是分享、合作，才能有蛟龍入海，神舟授課。

知道了我們的局限，需要我們遠離傲慢和偏見，放下經驗和情感，不小看每一個人，不高估自己的觀點，謹記：每個人對世間人和事的看法可能都是一孔之見，需要借助和他人的分享才能補充完善。

第二，教育不可有悖人的天性：好奇，好探究，好秩序，好分享。

商界成功的要素一定是能滿足客戶的需求。同樣的道理，教育教學的成功也一定是體現在能滿足學生的需求。什么是需求？從某種意義上說，可以有這樣的等式：需求=能力+欲望。《基礎教育課程改革綱要（試行）》指出：“義務教育課程標準應適應普及義務教育的要求，讓絕大多數學生經過努力都能夠達到，體現國家對公民素質的基本要求，著眼于培養學生終身學習的愿望和能力。”需求包含愿望和能力兩個方面。而我們的教學，關注更多的是能力部分，少了“欲望”方面：我們關注課前調研，前測學生知識的基礎缺陷，想千方設百計，試圖從不同的講授角度去突破學生的認知難點，但對學生想什么卻關注不夠。

人是好奇的、好探究的、好秩序的、好分享的。那么，這四大天性之間有什么關系？又和我們的教學有什么關聯呢？

人們對未知的世界是好奇的，產生了好奇心，總希望自己能一探究竟。那么，這種探究到什么程度為止呢？到自己能夠理解了，把未知轉化為已知，感到世界在一個統一的秩序中，自己能夠解釋了，心理得到一種慰藉才肯罷休。簡單說，人生來是講理的，講公道，論公平，求平等。當人們經過思考，得到對未知世界的解釋或產生新的疑惑，人們會把這種思考的經歷分享給別人，以取得社會成員間同伴的認可，品嘗成功的喜悅，或在同伴間的分享中將自己的思考再得到進一步發展和提升。

好奇、好探究、好秩序、好分享，既可以將此看成是人的四大天性，也可以將它們看成人們探究未知世界的四個過程。由分享得到的成功喜悅，又會成為新的探索的動力。我們需要注意的是，這四大天性之間無須指令和助力，思維會自動順暢地往前發展。

由四大天性，我們會推出下面的“定理”：把情境給學生， 學生好奇的眼睛會發現問題;把問題給學生， 學生好探究的大腦能想到辦法;把困惑給學生， 學生好講理的天性能讓思維更縝密;把空間給學生，學生會在分享中品嘗到快樂。

第三，教育要讓我們的學生學會像一般人一樣思考：“問題—思考—分享”。

一般人的思維方式和學習方式，與人的天性一樣，是人類社會進化的結果，是歷史的選擇。我們不能總用帶有個性化的、部分聰明人的學習方式來教孩子，而忽視了人類長期進化的文明成果。

由此，我們提出“教學的基本單元應當與思考問題的基本單元一致：問題—思考—分享”。這樣一來，我們不僅能解釋“類杜郎口現象”，而且我們的教學會變得簡單多了。把教學變得簡單，其中一個表現就是，教師不要在一些細小問題上進行一廂情愿的精心設計。這既可以大大減輕教師的負擔，讓教師教得輕松，又能促使學生自主提問，自由思考，自在分享，學得輕松快樂。更重要的是，這樣可以培養學生獨立的人格。

這些想法，主要是受數學的公理化思想的影響。

二、 抽象的特征：去個性化，去情境化，去時間化

談抽象，不能不說去個性化、去情境化、去時間化。有了這“三去”，我們才能做到數學的抽象。

史寧中教授曾把世界上的學問分為科學與藝術兩種。并指出，科學的結論是一般的，與時間、地點、人物無關;而藝術的結論是個性的，因時間、因人、因地而異。數學的結論是抽象的，一般性的，也就說，數學的結論是去個性、去情境、去時間的。也正因為這樣，數學的結論才具有了普適性。

先說去個性化。

我們知道，3只雞加上4只雞用數學算式表示就是3+4，3只狗加上4只狗用數學算式表示也是3+4……不僅如此，更一般地，一個集合中的元素數是a，另一個集合中的元素個數是b，那么，這兩個集合一共有a+b個元素。至于這a、b是雞是狗還是人我們都統統不去管，這是去個性化的。

去情境化也不是那么難理解。

路途有限速，某人開車，說：“這一段沒有攝像頭， 也沒有交警，可以開快一點。”你看，這行車的速度是與具體情境中有無監督相聯系的。當然，限速本身的規則也是離不開情境的：前方有學校，速度要慢一些;高速路上，速度要快一些。限速多少也是與具體情境相聯的。

而數學就不同了，它的結論不是情境的函數，是不能隨著環境的變化、情境的異同而發生變化的。8+9=17，在中國是這樣，在美國也是如此。

最后再說去時間化。

聽到過這樣一則“笑話”：

中華人民共和國成立初期，有領導去西部聽課，聽的是數學課。教師對學生說：“‘加減乘除并不難，后算乘除先加減。也就是四則運算要記清，先加減，后乘除。”課后，領導指出其錯誤，該教師態度極為誠懇，連連表示下節課改之。第二節課，教師嚴肅地說：“上節課老師犯了個錯誤，應該是：‘加減乘除并不難，先算乘除再加減。至于我們昨天說的‘先加減，后乘除，那是中華人民共和國成立前的算法，現在改過來了。”

數學的結論是去時間化的，不會隨時間的流逝而變化。

那么，去個性化、去情境化、去時間化對我們數學課堂教學規則的重建有什么幫助和啟發呢？

正是因為數學是去個性化的，數學才能針對所有的對象;正是因為數學是去情境化的，數學才能適用于任何的情境;正是因為數學是去時間化的，數學才會普適于世間不同的時間和角落。有了數學抽象的結論，才有了數學思想方法的普遍適用性。普遍的適用性可以給我們帶來什么好處呢？數學家龐加萊說過一句話：“僅僅著眼于直接應用的那些人，他們不會給后世留下任何東西，當面臨新的需要時，一切都必須重新開始。”有了抽象的結論，我們不用每次都回到出發點去，可以省掉大量的再探索過程。

由此，我們可以再看一下我們的課堂教學：哪些是可以去個性化的？哪些是可以去情境化的？哪些是可以去時間化的？我們把這些內容找出來，考慮一下是否可以將其作為我們課堂教學的規則。如果可以，則用其規范課堂中師生的行為，以此形成良好的行為習慣。豈非樂哉？

以舉手發言為例。

在我們的課堂上，舉手發言可以說是一條入學必知、人人要執行的規則。之所以叫規則，就是這條“舉手發言”具備前面說的“三去”特征：去個性化——淘氣發言要舉手，聰聰發言也要舉手，人人都要遵守;去情境化——在張老師的物理課堂上如此，在王老師的語文課堂也是如此;去時間化——在幼兒園時這樣，上了高中，入了大學，也是照舊。

合理與否呢？單從經濟效益上考慮就大有可探究的必要。你想，如果你是學生，要發言，需要經過一個怎樣的思維過程：產生想法，獲得老師允許發言的指令，組織語言，決定發言與否，舉手示意，引起老師注意，老師應允，起立發言。如果你是老師呢？決定要不要讓學生發言，允許學生舉手發言，觀察舉手的學生，選擇發言的對象，發出應允指令……在這一系列的過程中，我們會發現，無論是老師還是學生，僅為發言這一個行為就要經歷很多的思維環節。而這些環節都是花費在過程的執行途中，并不能產生思維的價值。在分享式教學的課堂上，去掉了這一個規則，改為站起來就說，我們可以比較一下，省略了多少思維過程。

重建新的課堂規則，其中有一項原則是“名師經驗‘成文化”

課堂規則的重建，還有這樣一些原則：基于對學生的理解和欣賞，處理好目的與手段的關系，讓行動從無序到有序，考慮學生的心靈感受，注重體現程序民主化，讓學生遠離個人權威，用非常規的方式思考等。。

“只可欣賞，不好模仿。”“是至愛，學不來。”常常聽到老師們發出這樣的聲音。名師之所以得到眾人的認同，各有其掌控課堂的超人之處。而我們為什么會說“學不來”？

名師掌控課堂的規則是存于內心的，并不是公開的，這些規則源于他們多年的經驗積累形成的習慣，并非操作機器使用的說明書寫成明文的。這需要我們把名師的經驗由“習慣”到“成文”，由“秘密”到“公開”。這有點像法學的發展歷史。法學的發展就經歷了一個由“秘密法”到“公開法”，由“習慣法”到“成文法”的發展過程。

天才并非天生。從天才人物身上找到大眾可以汲取的、共性的財富，這是教育者的責任。

華應龍、吳正憲、孫維剛……這些名師身上的共性是什么？就是去個性化、去情境化、去時間化以后尚存的那些做法。

“微笑、輕聲、躬身、多聽”就是名師身上的共同素養。比如“微笑”，這不是某一位名師身上才具備的特征，而是所有名師必備的素養。無論是吳正憲老師、劉可欽老師還是孫維剛老師，他們臉上的微笑，讓我們看到的是他們對教育、對學生的愛，看到的是他們為人的低調謙和、包容大度。“微笑”是去個性化的、去情境化的、去時間化的，需要我們將“微笑”作為一個規則去遵守、去踐行，以形成習慣，陶冶性情。

克萊因的名著《古今數學思想》中有這樣的話：“現在的根，深扎在過去，而對于尋求理解‘現在之所以成為現在這樣子的人們來說，過去的每一事件都不是無關的。”研究名師的課，繼承前輩們的優良傳統，需要我們用數學的抽象思想，做好去個性化、去情境化、去時間化的細致的工作。

在“三去”上做文章，我認為是世界文化發展的一種主要方式。比如，一提到秦始皇，我們除了想到他的“焚書坑儒”外，還會想到他的“統一度量衡”，這“統一度量衡”其實就是做了去個性化、去情境化、去時間化的工作。

而規則的建立，就可以省去我們的重復勞動，體現人的聰明。這句話是什么意思呢？有兩層意思。其一，從過去的經驗中提煉出的規則，以后可用。其二，提煉出的規則，要針對具體的情境。也就是說，規則的使用要針對不同的人、不同的場所、不同的時間，要具體問題具體分析，而不能生搬硬套。人的聰明，就體現在對具體情境中的問題的確認、解決問題方法的對比和諸方法優劣的判斷，以及最終的方法選擇。

改革的實質是規則的重建。分享式教學，就是基于對傳統課堂的反思，基于對歷年來優秀教師的智慧，將新的課堂規則的提煉作為一項重要任務。

注意，規則的建立不是人們搞的小聰明，不能創造一些無用的“八股規則”。規則總結后的應用，還是需要費腦子做分析、對比、選擇等一系列工作的，妄想不用“對癥”就“下藥”，就是有害的了。比如，凡表揚，均為“棒、棒、棒”;凡提問題，不假思考地就問“是什么”“為什么”“怎么做”。再好的規則，離了對具體問題的思考都是對“規則”的一種“虐待”。

我們生活在規則中。只不過生活中的規則，有的并不像數學中的規則那樣嚴謹，不如數學中的“三去”那樣“去”得干凈利落。比如，我們的姓名就是一種規則，不管何地何時都是這個姓名，這是去時間、去情境的，但未必去個性。

分享式教學之所以能打破學段和學科的界限，就在于一開始便立足去尋找適合不同情境、不同個性、不同時間的課堂教學中的共同的規律。

懂得抽象，知道“三去”并不是科學家的專利。小孩子也知道。就比如，你今天出門穿了一身西服，明天出門你換了一身中山裝，小孩子不會因你換了衣服錯認為是他人而不讓你進家門。美國《科學美國人》月刊網站報道，兒童天生就會試驗科學的一個關鍵手法，就是通過分離出變量并分別檢測這些變量來獲取信息。科學家先向孩子們展示某些塑料珠子單獨放在一個特殊的盒子上時會使綠色LED光閃爍并播放音樂。然后，科學家拿出來兩對珠子，一對粘在一起，另一對可以分開，并向這些孩子演示，兩對珠子放在盒子上的時候都可以啟動機器——由此可以判斷，每對珠子可能只有一顆起作用。接下來，科學家讓這些孩子自己玩，想知道他們會不會把珠子分開，分別放在機器上，確定究竟是哪顆珠子啟動了機器。孩子們做到了。他們強烈地感覺到，只有分別試驗每顆珠子才能弄清答案。于是，他們做出了任何一位科學家都沒有想象到的事情：當兩顆珠子粘在一起時，他們豎著拿珠子，這樣每次就只有一顆珠子接觸到盒子。斯坦福大學的諾厄·古德曼說，這顯示出他們分離因果變量的驚人決心。他說：“他們實際上設計出一項試驗以獲得想要的信息。”這種分離變量的方法，實質與“三去”是相同的。“教育者由此得到的啟示是，發揚兒童對科學的直覺，同時在抽象概念和現實生活的謎題之間建立更好的聯系。”

參考文獻：

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（任景業，山東省聊城市茌平區周樓小學數學教師。分享式教學倡導者。新世紀小學數學教材（北師大版）編委、山東版初中數學教材編委。曾任教育部北京師范大學基礎教育課程中心數學工作室副研究員、訪問學者。北京大學“國培”教學專家組組長。著有《分享孩子的智慧——改進教學的建議》《關注思維的細節——讀懂孩子的建議》《走進孩子的課堂——研讀課標的建議》《分享式教學實操指南》等。 ）