初中數學“二元一次方程組”的教學實踐與思考

王春華

(江蘇省啟東市大江中學 226200)

一、二元一次方程組的常見解法

1.消元法及其應用

消元法是求解二元一次方程組中比較常用的一種求解方法，主要適用于同一未知數的系數相等或相反時，將兩個方程通過相加或相減的方式消除掉該未知數，以此就可以通過“消元”處理的方式得到一個一元一次方程.歸結起來，消元法的應用主要包括如下幾個步驟：其一，對二元一次方程組中的兩個方程進行仔細地觀察，看是否兩個方程某一未知數的系數保持相等或相反；其二，如果存在上述情況，那么可以采取相加或相減的方式對兩個方程進行處理，以此可以獲得一個一元一次方程；其三，通過求解“消元”后的一元一次方程，求解出一個未知數；其四，將求解出的未知數代入原方程組中，求解出另一個未知數.

解析通過觀察該方程組，發現未知數y的系數互為相反數，所以可以通過①+②消除y，之后可以列出只包含x的一元一次方程，即：(2x+5y)+(3x-5y)=9+6，求解可得x=3，之后將其代入式①或式②，可求得y=0.6.如此一來，就可以求出最終答案.

除了消元法之外，還有一種類似的求解方法，那么就是消常數項法，即在求解二元一次方程組的時候兩個方程的常數項保持一致，此時可以直接將常數項消除掉，之后可以依照系數相反或相同的特殊情況，將系數消除掉.然后可以將方程中的某個未知數用另一個未知參數進行替代后代入方程組中進行求解.

解析通過觀察方程組，發現①和②式中的常數項保持一致，此時可以通過做差的方式求得x和y之間的關系式，然后可以通過加減消元或代入消元的方式進行求解.比如，通過式①-式②，可得y=3x/5，之后將其代入式①可得x=5,y=3.

2.換元法及其應用

換元法主要是首先假定一個未知參數，以其對二元一次方程組中的兩個未知數的值進行表示，這樣就可以將待求解的方程組相應地轉換成一元一次方程組進行求解.在應用換元法求解二元一次方程組時，主要步驟如下：其一，對二元一次方程組進行仔細地觀察，首先假定一個恰當的未知參數；其二，用假定的未知參數對二元一次方程組中的兩個未知數(x和y)進行分別表達；其三，將用假定未知參數表達的x與y分別代入二元一次方程組中進行求解，這樣最終就可以得出待求的未知參數x與y.

3.對稱法及其應用

對稱法主要適用于那些二元一次方程組中兩個方程中的形式保持對稱的問題求解中，即將其中某一個方程組中的x，y兩個未知參數進行對換后可以得到另一個方程，或者說這兩個方程處于等價狀態.基于該種方程的對稱性特性，可以直接令x=y，之后代入求解即可.

解析由于該方程組中①與②兩個方程中的x與y保持對稱狀態，所以可以直接利用對稱法進行求解，令x=y，代入式①可得x=y=22.5.

二、二元一次方程組在應用題求解中的應用

在應用題求解中，二元一次方程組比較常見，具體的求解步驟如下：(1)認真審題.搞清楚題目中涉及到的數量關系，用x和y對未知數進行表達；(2)找出應用題中有關x和y兩個未知數的全部等量關系；(3)基于兩個未知數的等量關系，列出相應的二元一次方程組；(4)求解二元一次方程組；(5)對其答案的合理性進行檢驗.

例5現在有大小兩種運貨卡車，3輛小卡車和2輛

大卡車每次可以運送15.50t貨物，6輛小卡車和5輛大卡車每次可以運送35t貨物.試求5輛小卡車和3輛大卡車每次可以運送多少噸貨物.

解析針對該道應用題的求解，主要是要確定出每輛小卡車和大卡車每次運送貨物的噸數，所以可以分別將其假設為x和y，之后根據題目內容可以得到有關這兩個未知參數的等量關系：(1)3x+2y=15.5；(2)6x+5y=35.通過聯立這兩個方程，求解即可得出x=2.5，y=4，所以可以求得5輛小卡車和3輛大卡車每次可以運送為5×2.5+3×4=24.5t.

總之，二元一次方程組是初中數學教學的重點，也是中考數學考試的熱點內容.為了幫助學生順利地突破這部分學習重點，教師要重點將消元法、換元法與對稱法等常用的二元一次方程組求解方法傳授給學生，并要結合具體的應用題幫助學生理解與掌握二元一次方程組的應用步驟，力求不斷提升學習效果.