基于創課導學的把課堂還給學生的數學教學實踐

張享發　戴陳敏

【摘 要】本文闡明創課導學的課堂教學方法的內涵，以“直線與雙曲線位置關系”為例，闡述創課導學的課堂教學方法的具體應用，創設讓學生“再創造”的數學課堂，通過問題導向、實驗導學，把課堂的時間、空間、個性還給學生。

【關鍵詞】數學課堂 創課導學 再創造 問題導向 實驗導學

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）04B-0109-03

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾（1905—1990）認為：“數學教學方法的核心是學生的‘再創造。”他認為在數學教學中，教師應該提供適合作為知識載體的具體情境，使學生通過實踐探究，自己“再創造”出概念、法則、定理、公理等數學知識。《普通高中數學課程標準（2017 年）》指出，現代信息技術要“致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去”。因此，在高中數學課堂教學中，如何創設適合學生“再創造”的教學環境，把課堂還給學生，讓學生真正成為課堂的主人，是擺在數學教師面前的新課題。

創課導學是基于廣西師范大學唐劍嵐博士數學實驗創課的觀點開展的課堂教學方法。依據高中數學創課導學的課堂教學方法，在日常的高中數學課堂教學中，借助信息技術、實物教具等實驗工具可以創設一個讓學生“再創造”的數學實驗環境，通過關鍵問題的導向，讓學生在動手“實驗”的過程中經歷觀察、猜想、推理等科學方法，主動建構數學模型，養成“用數學”的習慣，從而提升數學素養。現以具體的教學案例對此進行闡述。

一、研究的主要問題

〖問題 1〗過點（0，1）可以作幾條直線與雙曲線 4x2-y2=4 有且只有一個公共點？

〖問題 2〗過點（0，1）的直線與雙曲線 4x2-y2=4 的交點有幾種情況？

〖問題 3〗若直線 l 過定點（，0），雙曲線：x2-2y2=2。（1）若直線 l 與雙曲線有且僅有一個公共點，求直線 l 的方程;（2）若直線 l 分別與雙曲線的兩支各有一個公共點，求直線 l 斜率的取值范圍。

二、重難點突破辦法

將教室虛擬為實驗室，借助圖形計算器、iPad、希沃電子白板等工具構建實驗平臺，讓學生圍繞課堂核心問題，創設實驗。猜想交點的圖形特征，積累分析交點特征的實驗猜想經驗。通過實驗平臺動手操作、合作探究、感悟思想、建構知識。

三、教學模式

創課導學的基本模式是：問題—實驗—解惑。

四、教學過程

〖問題 1〗

[師]前面我們用什么方法判定直線與橢圓的位置關系？

[生]首先，幾何方法，通過圖象觀察交點個數;其次，代數方法，聯立方程組分析根的個數。

[師]如何用幾何方法判斷過點（0，1）可以作幾條直線與雙曲線 4x2-y2=4 有且只有一個公共點？

〔學生活動〕大家都嘗試在紙上畫出過已知點的直線以及相應的雙曲線的示意圖。由于多數同學所畫的雙曲線沒有突出雙曲線有兩條漸近線的圖形特征，因此通過示意圖很難直觀判斷交點情況。教師隨堂巡視，進行個別指導。

學生先在紙上徒手畫圖，發現無法準確判斷交點情況后，再借助圖形計算器或 iPad 進行探究求證。通過直線斜率的變化觀察直線與雙曲線的交點個數情況，找出符合條件的直線。充分交流后形成如下結論：

1.過點（0，1）的直線主要由斜率 k 決定。

2.當直線斜率 k 與雙曲線的漸近線不平行時，分別與左支、右支曲線各有 1 條直線滿足條件（通過圖形計算器、iPad，改變直線的斜率，觀察驗證）。

3.當直線斜率 k 與雙曲線的漸近線平行時，分別與左支、右支曲線各有 1 條直線滿足條件（通過圖形計算器、iPad，改變直線的斜率，觀察驗證）。

4.示意圖如圖 1 所示。

[師]利用代數方法求解時，能否分別求出這四條直線的斜率？

〔學生活動〕嘗試聯立直線與雙曲線的方程組進行求解，利用二次項系數等于零以及判別式等于零，分別求出對應斜率的個數，最后相互驗證幾何方法、代數方法所得出的結論。

歸納總結：（1）過定點的直線，主要由斜率來確定位置，通過斜率的變化能形成直線束;（2）判斷交點個數，先要明確直線斜率與雙曲線漸近線的位置關系;（3）聯立方程組既可以判斷交點個數，又可以明確交點的坐標。

〖問題 2〗

[師]通過剛才的實驗，直線與雙曲線有哪幾種交點的情況？

[生]有三種情況，無交點，1 個交點，2 個交點。

[師]這三種情況下交點的分布有哪幾類？

[生]沒有交點，左支一個，右支一個，左支兩個，右支兩個，左右各一個。

實驗探究：過點（0，1）的直線與雙曲線 4x2-y2=4 的交點有幾種情況？請利用圖形計算器或 iPad 進行分析總結：隨著直線斜率的變化，直線與雙曲線的交點的變化情況。記錄并填入下表，并用圖形計算器演示對應的各種圖象。

〔學生活動〕利用圖形計算器或 iPad，通過改變直線的斜率，觀察交點的變化，并進行記錄。除了以上的只有一個交點的情況外，有兩個交點的情形分別是圖 3，圖 4，圖 5，沒有交點的情況如圖 2。

按照斜率從小到大的次序歸納 k 的取值范圍與交點個數的情況，如下：

過定點（，0）的直線 l 與雙曲線 x2-2y2=2 的各種交點的情況，可通過旋轉直線 l 來實現（如圖 6 所示）。

歸納總結：根據圖形計算器圖象中交點的變化情況，可以發現交點個數按逆時針旋轉的變化，其規律為：沒有交點——右支 1 個—— 右支 2 個—— 右支 1 個—— 左右各 1 個—— 左支 1 個—— 左支 2 個—— 左支 1 個—— 沒有交點。旋轉的時候，主要是直線斜率在變化。

〖問題 3〗

學生利用之前的探究成果獨立解題，然后小組交流，檢驗學習成效。

[第（1）問]

方法一：幾何法。通過雙曲線方程可以得出定點（，0）正好是雙曲線的右頂點，通過作圖（如圖 7 所示）可以看出，直線與雙曲線相切或者與漸近線平行時都是只有一個交點，容易確定直線方程。

方法二：代數法。當直線斜率不存在時，直線 l 為 ?符合題意;當直線斜率存在時，設直線方程為 ，聯立直線與雙曲線的方程組，利用判別式等于零，即可求出直線的方程。

[第（2）問]同學們鞏固解題方法，加深對兩種方法的理解與認識。

歸納總結：通過對比發現，幾何法講究數形結合，通過作圖，觀察圖形變化的特點，能快速解決交點問題。代數方法則通過聯立方程組，通過二次項系數為零或者二次方程的根來確定方程組的根，進而確定交點的坐標及交點個數，兩種方法，各有優劣。

五、教后總結

本案例是基于高中數學創課導學的課堂教學實踐，較為成功地展示創課導學“問題導向，實驗導學”的課堂教學理念。本案例依托現代信息技術，借助圖形計算器、iPad、希沃電子白板等工具構建實驗平臺，圍繞課堂核心問題，創設讓學生“再創造”的數學課堂，通過開展實驗探究，把數學課堂還給學生。主要體現在以下三個方面：

（一）把課堂的時間還給學生。高中數學創課導學以幫助學生解惑、提升學生數學素養為根本任務。在本案例中，“創課”從設置系列背景問題開始，借助實驗工具，通過實驗、演示、推導，不斷讓學生動手實踐。學生在實踐過程中動腦、動心、動情、動手，并在探究過程中掌握類比、觀察、猜想等學習方法。在導學過程中，始終將學生置于研究者、探索者的位置。學習探索需要過程，有過程就需要時間。在學生進行主動探索、合作探究中，我們既要確保學生學習的時間，又要把學習的主動權還給學生，從而使學生的數學知識得到增加，數學能力得到提高。

（二）把課堂的空間還給學生。高中數學創課導學以“問題導向，實驗導學”為設計理念，重視科學思想和數學方法的引導。在本案例的課堂教學過程中，讓學生經歷遇到實際問題、創設情境、實驗探究、小組合作、歸納結論等過程，使學生靈活運用觀察、分析、歸納等科學方法。學生圍繞“問題”“實驗”探究的過程是一個主動參與課堂學習的過程，有實踐、有交流、有質疑、有展示、有體驗，在規律形成的總結中發展了學生的思維空間，在實驗成果的匯報中鍛煉了學生的表現空間。

（三）把課堂的個性還給學生。高中數學創課導學注重培養學生的個性化思維。創課導學的課堂教學過程提倡的是充分調動學生的學習積極性，發揮學生的自主能動性。在本案例的教學中，圍繞核心問題，開展實驗探究。學生動手操作，并經歷獨立思考、獨特感悟、自由聯想、自由表達的過程。實驗探究的過程，既是交流合作的過程，又是知識生成的過程。在這個過程中，會有問題分析的異中求同，也會有問題解決的成功體驗，學生的個性化思維得到發展，使學生在實驗中感悟思想，在體驗中建構知識。

【參考文獻】

[l]唐劍嵐，黃一娉，黃夢遠.基于5E學習環和HP工具的數學實驗創課設計：以《函數圖象變換》的教學為例[J].數學周報，2016（9）.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1995.

（責編 盧建龍）