繩索落地問題的兩種算法對比分析

高彩云

（山西大同大學物理與電子科學學院,山西大同 037009）

從古到今，對于物體下落問題的探討貫穿著物理學的發展。牛頓由蘋果落地的聯想發現了萬有引力定律，伽利略比薩斜塔的實驗反駁了亞里士多德統治多年的“重物先落至地”的觀點，而愛因斯坦廣義相對論等效性原理的得出，也是通過構建了自由下落的升降機的理想實驗[1-3]。鏈條或繩索的下落作為變質量物體的典型體系，引入了力學和理論力學教科書作為范例，一直備受關注。現有的文獻研究主要集中在兩個方面：一是變質量物體的動力學方程的推導及意義，分別從質點系動量定理、質點動量定理出發，對方程的物理含義進行解析[4-6]，指出不能以牛頓第二定律的形式來代替變質量物體運動的動力學方程，從本質上說，后者是質點系動量定理的一種具體形式[7]；二是變質量物體運動方程的應用，比如是雨滴下落、火箭上升和鏈條（繩索）落地等，指出運用該方程時必須注意的關鍵問題，比如研究對象的選取，受力分析及各部分運動特征的分析[8]。其中，鏈條落地作為一個典型范例，文獻[9]、[10]都涉及到鏈條豎直懸掛，起始時刻末端剛好與地面接觸，那么在下落過程中的任意時刻它對地面的壓力等于已經落下部分重力的3 倍。而文獻[11]詳細地分析了鏈條的下落運動的四種初始構型，并分析了它們下落運動所具有的有別于自由落體運動的特征。本文在研究現有文獻的基礎上，以繩索為例，著重探討了運用質點動量定理和質點系動量定理兩種不同的方法求解落地過程中任意瞬時繩索對地面的壓力，解決教學中的一些困惑。

1 問題提出

一柔軟、無彈性、質量均勻的繩索，豎直地自高處下落至地板，質量為M和長度為L，求當繩索剩在空中的長度等于x(x＜L) 時，它對地板的壓力。設開始時，它的速度為零，下端離地板的高度為h[12]。建立模型如圖1。

圖1 繩索落地的簡化模型

由于繩索質量均勻，假設其線密度為σ，則

首先繩索是柔軟的，內部的約束為柔性體約束。將它看作一個連續微元體，各個微元之間只有拉力、沒有壓力，當它落地時，地面的作用力只能作用到與地面接觸的那個微元上，而不沿著繩索向上傳遞，這一點不同于剛體。剛體落地時由于地面的撞擊，各部分的速度都瞬間變為零，能量損失，而它此時對地面的壓力，可以利用動量定理來求，但是又和地面的硬度等有很大關系。

其次繩索無彈性，各微元之間的作用力大小相等，所以內力互相抵消，如果忽略空氣阻力，下落過程中只有重力的作用，那么繩索將作自由落體運動，且各處的速度相同，這一點又不同于彈簧等有彈性的繩索。彈簧在自由落體運動過程中，剛開始彈簧下部是不動的，彈簧從上面數第一圈開始逐漸地下落初始狀態時，人手對彈簧一個拉力，這個拉力為彈簧的重力。當松開彈簧時，彈簧開始自由落體運動，頂圈的彈簧由于人手的拉力突然消失，彈簧的彈力依然存在，頂圈彈簧在自身重力和彈力的作用下加速下落（比自由落體快），隨著頂部彈簧的下落，下面彈簧的彈力減小（對于特定的彈簧彈力和伸長量成正比，彈簧伸長量減小，彈力也減小），當彈力小于以下彈簧的自重時，彈簧開始下落，并且下降加速度逐漸增加。

2 兩種算法對比與討論

首先可以確定的是，繩索落地過程中任意瞬時對地面的壓力應大于已經落下部分的重力，還有一部分正在落地微元對地面的沖力，且不能忽略，那么問題的關鍵就是求解這部分沖力。可以用質點系動量定理和質點動量定理兩種方法求解。

2.1 運用質點系動量定理求解

2.1.1 動力學方程推導

繩索落地的過程中，是一個變質量問題，留在空中的部分質量不斷減小，而落在地面的部分質量不斷增加。下面推導其動力學方程。

設一個物體的質量為m，在t時刻具有速度v(v＜＜c)，此時，有一質量為Δm的微元以的速度u運動，二者在Δt時間后“合并”，合并以后具有共同速度v+Δv。如果整個過程中二者所受合外力為F，那么把它們看作是一個質點系，它們之間的內力大小相等、方向相反，因而消去，則根據質點系動量定理，有：

展開，并略去二階微小量ΔmΔv，等式兩邊同時除以Δt，Δt→0，得到變質量物體的運動方程：

式中，F則為作用在質點系（即系統）上的合外力，u是微元Δm與物體m合并前一瞬間的速度，這種情況稱為“合并問題”（例如雨滴下落），是物體質量的變化率，因質量不斷增大，取正，當然，微元的在合并之前的瞬時速度可以為零，例如雨滴下落過程中不斷凝結在它上面的水汽，這時，u=0，方程就簡化為：

形式上和牛頓第二定律類似，不同的是這里的質量m是不斷變化的；u也可以是微元Δm未與物體m分離以后一瞬間的速度，這種情況稱為“分離問題”（例如火箭上升），這時是物體質量的變化率，因質量不斷減小，取負。

根據上面推導的運動方程，就可以將繩索落地的問題看作是合并問題或者分離問題兩種方法求解，落到地面上的繩索速度為零，首先需要計算剩在空中的部分此時具有的速度。

一維問題，取豎直向下為正方向。不考慮空氣阻力，繩索的下落為自由落體運動，則此時剩余在空中的繩索具有的速度為：

2.1.2 合并問題

將已經落在地面上的繩索看作“主體”，正在與與地面接觸的繩索看作微元，那么這就是“合并問題”，地面上的繩索質量在不斷增大。如圖2。

圖2 以落地繩索為主體的變質量體系

此時地面上繩索的質量為零，假設已經落地的繩索受到地面的總支持力為N，這里面包含兩部分力，一是已經落地繩索的受到地面的支持力，二是正在與地面接觸的微元所受到的地面的沖力。代入變質量物體的運動方程，有：

N-σ(L-x)g=σu2，

再將(4)式代入，得此時它對地面的壓力，即：

2.1.3 分離問題

將剩在空中的繩索看作“主體”，正在與與地面接觸的繩索看作微元，它在分離后的瞬時速度為零，剩余的繩索質量在不斷減小，那么這就是“分離問題”。如圖3。

圖3 以剩余繩索為主體的變質量體系

代入變質量物體的運動方程，有：

求導數，得：

既可求得此時微元受到地面對它的沖力為：

f=σv2，將兩部分力（一是已經落地繩索的受到地面的支持力，二是正在與地面接觸的微元所受到的地面的沖力）相加，即得到繩索受到地面的總支持力：

2.2 運用質點動量定理求解

繩索落地問題中，落地處微元所受的沖力還可以用質點動量定理來解決。

以正在與地面接觸的微元作為研究對象，并且把它看成一個質點，假設它的質量為dm，初始速度為v，由于地面的沖力作用f，經過Δt時間后速度變為零，忽略空氣阻力和它自身的重力，根據質點動量定理，得：

而dm=σvdt，代入，得：

與上面變質量方程得到的結果是一樣的。

2.3 兩種算法的比較分析

2.3.1 “合并問題”與“分離問題”

把繩索落地問題看作“合并問題”和“分離問題”的相同之處是：首先，不管是“合并”還是“分離”，研究對象都是兩個質點構成的質點系，都是變質量問題，所以都可以用變質量物體運動方程求解。其次，繩索空中下落過程都假設為自由落體運動，而且由于繩索是柔軟的，所以落地瞬間與地面接觸的微元會受到地面給它的一個沖力，不能忽略，并且由于繩索本身的特性，這個力僅僅作用在這個微元上，并不向上傳遞，這一點不同于剛體。最后，計算過程中，由于剩余在空中的繩索長度為x，而繩索的長度在不斷縮短，所以，且，這在兩種方法中是相同的。另外，兩種解法的不同之處，有以下幾個方面：

第一，選取的研究對象不同。

“合并問題”的研究對象是將已經落地的繩索作為“主體”，正在與地面接觸的微元與之合并，所以“主體”的質量是不斷增大的，即：

“分離問題”的研究對象是將剩余在空中的繩索作為“主體”，正在與地面接觸的微元與之分離，所以“主體”的質量是不斷減小的，即：

第二，系統的合外力不同。

“合并問題”的系統所受的合外力是有兩部分，一是已經落地的繩索所受的重力σ(L-x)g，方向向下，σ(L-x)g＞0，二是地面作用的總支持力N，這里的支持力已經包含了正在與地面接觸的微元所受的沖力，方向向上，N＜0。

“分離問題”的系統所受的合外力是也是有兩部分，一是剩余在空中的繩索所受的重力σxg，方向向下，σxg＞0，二是正在與地面接觸的微元所受的沖力f，方向向上，f＜0。因此，求出的f只是此時地面對繩索支持力的一部分，最后還需加上已經落地部分繩索的重力，即N=f+σ(L-x)g。

第三，運動方程中各部分的速度不同。

“合并”問題中，已經落地的繩索處于靜止狀態，即主體靜止，所以v=0，而微元正在與地面接觸，具有速度u2=2g(L+h-x)，也就是它在合并前一剎那的速度。

“分離”問題中，剩余在空中的繩索（主體）正在自由落體運動，它具有速度=2g(L+h-x)，而微元正在與地面接觸，由于地面的作用，分離后速度一瞬間靜止，所以u=0，也就是它在分離后一剎那的速度。

2.3.2 質點系動量定理與質點動量定理

把正在與地面接觸的微元隔離出來，看作質點運用質點動量定理本質上和“合并問題”運用質點系動量定理是相同的。對比式(6)和(9)，將式(6)兩邊同時乘以dt，有：

式中，σxgdt是剩余繩索在微元落地到速度變為零的時間間隔dt內所受重力的沖量，σxdv是這段時間內它的動量變化量，而另外兩項fdt和σvdx就是(9)式中接觸地面的微元所受的沖力的沖量和它動量的變化量，從這里也可以看出，此時忽略了微元所受的重力，所以地面對它的沖力就是它所受的合外力，正因為如此，微元正接觸還未接觸的dt內看作是勻速直線運動，觸地后速度突變為零。所以，兩種方法得到同樣的結果。

3 結語

首先，用理想化的方法建立繩索下落問題的模型，并分析了繩索的柔軟和無彈性的條件，得出下落過程中繩索各處的速度相同，與地面接觸時地面的作用力只作用在一個點，而不向上傳遞。然后，分別運用質點系動量定理和質點動量定理進行求解，得到相同的結果，N=σg(3L+2h-3x)，很容易發現，如果繩索起始時刻下端與地面接觸，那么h=0，則任意瞬時N=3σg(L-x)，也就是已落地部分所受重力的3 倍，這與已有的研究結果是一致的。最后對這幾種方法進行了討論分析。

由于繩索模型進行了簡化處理，所以文章計算的結果與實際情況還存在差異，實際情況要更加復雜，比如繩索本身具有一定的離散性和剛性，與地面之間的作用點并非集中于一點，運動也不完全是平動，還會伴隨一定的轉動等，許多細節問題還有待進一步深入研究。