Hilbert-Huang變換在結(jié)構(gòu)參數(shù)時變特性識別中的應(yīng)用

張 權(quán) ，裴 強(qiáng) ，郭 航 ，陳二亮

（1. 中國電力工程顧問集團(tuán)華北電力設(shè)計院有限公司，北京 100013；2. 大連大學(xué) 建筑工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

結(jié)構(gòu)參數(shù)識別屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題，理論上其參數(shù)在外部荷載作用較小時是不發(fā)生改變的，但當(dāng)外部輸入荷載較大時，結(jié)構(gòu)內(nèi)部會發(fā)生損傷，從而引起這些參數(shù)的改變，因此可以利用結(jié)構(gòu)動力參數(shù)改變的特征來對結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)時，其模態(tài)參數(shù)不會隨著時間的推移而發(fā)生改變，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)，迄今為止，對于這類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別，已經(jīng)發(fā)展了許多被廣大學(xué)者熟練使用的方法，比如ARMA[1]、卡爾曼濾波、小波變換[2]等方法。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于彈塑性階段時，認(rèn)為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是時變的，對于時變系統(tǒng)而言，其結(jié)構(gòu)的參數(shù)也是隨著時間而變化的，采用常規(guī)方法難以得到此類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)的時變規(guī)律。尤其當(dāng)結(jié)構(gòu)遭遇強(qiáng)震作用時，結(jié)構(gòu)的輸入經(jīng)歷了從小震到中震再到大震的過程，而這個過程結(jié)構(gòu)的參數(shù)也會隨著結(jié)構(gòu)從彈性階段到塑性節(jié)點內(nèi)的變化過程，需要采用具有時頻變化特征的參數(shù)識別方法可以辨識結(jié)構(gòu)參數(shù)的這個變化過程。希爾伯特-黃(HHT)方法是一種新的時頻分析方法[3-4]，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)取得了結(jié)構(gòu)參數(shù)時變特性識別的研究成果[5-6]。本文將在這些研究成果的基礎(chǔ)上，基于傳統(tǒng)希爾伯特黃變換方法，定義希爾伯特黃變換邊(HHT)際移動譜，用以識別非線性時變系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。首先給出了HHT邊際移動譜的定義，然后以一個三層混凝土結(jié)構(gòu)為對象，通過MATLAB語言編程，建立了該混凝土結(jié)構(gòu)的三線性退化非線性數(shù)值計算模型。選取不同峰值的地震加速度作為結(jié)構(gòu)模型的輸入地震波，進(jìn)行彈塑性時程反應(yīng)分析，得到結(jié)構(gòu)在不同損傷狀態(tài)下各層的加速度反應(yīng)，最后對這些加速度反應(yīng)進(jìn)行HHT邊際移動譜分析，根據(jù)邊際移動譜結(jié)果識別結(jié)構(gòu)在強(qiáng)烈地震作用下參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。

1 HHT邊際移動譜

瞬時頻率[7]是一個瞬變的概念，瞬時頻率可以隨時出現(xiàn)、也可能會隨時消失，瞬時頻率可能是一個不隨時間變化的常數(shù)、也有可能是一個不斷隨時間變化的值，它只與信號在某時刻的局部特征相關(guān)。對時域信號隨時間逐步作出邊際譜，定義為時刻t的邊際譜，能夠體現(xiàn)信號到時刻t為止的頻域特征，時域上該時刻以后的信號特征不會對該時刻以前產(chǎn)生任何影響。這與傅里葉譜通過整個時域用整個正弦函數(shù)疊加來表達(dá)信號有著本質(zhì)的區(qū)別。信號的HHT邊際移動譜定義為其HHT時頻譜在時間段0到t內(nèi)的積分：

其中，t為時間，當(dāng)進(jìn)行離散化數(shù)值積分計算時，邊際移動譜時間t為一等差數(shù)列，公差Δt代表邊際移動譜在時域上的最小分辨率，本文中統(tǒng)一取為0.1s。

對實際得到的邊際移動譜云圖研究后發(fā)現(xiàn)，由于邊際移動譜云圖中的包含了過多結(jié)構(gòu)信息，導(dǎo)致峰值頻率不夠清晰，從而不能由結(jié)構(gòu)各層響應(yīng)準(zhǔn)確地識別出結(jié)構(gòu)的振動頻率。此時，可以用一種常用的加窗方法對結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進(jìn)行平滑處理，得到去掉不必要細(xì)節(jié)的邊際移動譜，顯示出結(jié)構(gòu)振動特性。

對任意頻率f，以f為中心，向頻率左右各擴(kuò)展Δf，形成一個寬度為2Δf的“窗口”，對“窗口”內(nèi)的所有頻點進(jìn)行平均，“窗口”內(nèi)的頻點個數(shù)為：

其中Δω為邊際移動譜在頻率軸上進(jìn)行離散化時的最大分辨率，也就是邊際移動譜中頻率軸上的最小刻度。對“窗口”內(nèi)的所有頻點進(jìn)行平均之后，將窗口向后移動Δω，重復(fù)進(jìn)行平均計算，以完成整個信號的平滑濾波。將窗口2Δf的寬度稱之為濾波帶寬，單位為Hz。為了完全消除邊際移動譜譜圖中的過多細(xì)節(jié)，選取不同濾波帶寬對結(jié)構(gòu)邊際譜移動譜進(jìn)行濾波后，即可以得到能清晰顯示結(jié)構(gòu)基本特性的邊際移動譜圖形。

2 結(jié)構(gòu)模型

為了驗證HHT邊際移動譜識別結(jié)構(gòu)參數(shù)時變特性的精度，本文選取一個三層的框架結(jié)構(gòu)，利用MATLAB編制程序計算該結(jié)構(gòu)模型的彈塑性地震反應(yīng)，再對計算得到的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)進(jìn)行HHT邊際移動譜變換來識別結(jié)構(gòu)參數(shù)的時變特性。數(shù)值計算中結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型按層間剪切模型來考慮，結(jié)構(gòu)的非線性模型輸入為典型的退化三線性模型[8]。框架結(jié)構(gòu)模型的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣為：

其中各層的質(zhì)量分別為：2000 kg、1500 kg、1000 kg；各層的剛度分別為：1800 kN/m、1200 kN/m、600 kN/m。恢復(fù)力模型中的第一和第二剛度折減系數(shù)0.3和0.1；各層的開裂位移取值為6.5 mm、4.8 mm、4.0 mm；各層的屈服位移取值為31.0 mm、21.0 mm、17 mm。

為了便于識別和對比，首先采用振型分解反應(yīng)譜法計算了結(jié)構(gòu)模型在彈性狀態(tài)、開裂狀態(tài)和屈服狀態(tài)對應(yīng)的各階固有頻率，將振型分解反應(yīng)譜法的計算結(jié)果作為結(jié)構(gòu)對應(yīng)各個損傷狀態(tài)固有頻率的理論值，計算結(jié)果如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)固有頻率理論值

3 結(jié)構(gòu)自振頻率識別

對結(jié)構(gòu)輸入29 gal El_centro地震波，進(jìn)行彈塑性時程分析，提取結(jié)構(gòu)一層加速度反應(yīng)，輸入及一層輸出加速度見圖1。結(jié)構(gòu)一層輸出加速度求邊際移動譜，見圖2（a），由于邊際譜圖中存在過多的“毛刺”，譜圖中圍繞3 Hz左右存在致密的亮帶。接下來用0.64 Hz濾波帶寬對譜圖進(jìn)行濾波，結(jié)果如圖2（b），此時結(jié)構(gòu)一階頻率處明亮單一，效果較好。但是二、三階頻率處亮帶不明顯。

輸入29 gal地震波時，結(jié)構(gòu)尚未破壞，結(jié)構(gòu)邊際移譜識別出的一階自振頻率也呈現(xiàn)出一條沿時域的直線。為了研究邊際移動譜對結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時的識別效果，將輸入加速度幅值增大到280 gal。El_centro地震波峰值加速度出現(xiàn)的時間非常早，結(jié)構(gòu)破壞的時間也會非常早，針對這一特點，將El_centro反向輸入結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)破壞將是一個漸進(jìn)的過程，這將有利于進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識別。

圖3為反向輸入結(jié)構(gòu)地震動及結(jié)構(gòu)一層位移響應(yīng)，圖4為結(jié)構(gòu)一層位移以及開裂、屈服位移示意。根據(jù)定義的邊際移動譜函數(shù)，圖5給出了幅值為280 gal的 El_centro地震波反向輸入時結(jié)構(gòu)一層加速度響應(yīng)的邊際移動譜圖。

圖4結(jié)構(gòu)首層位移曲線表明，結(jié)構(gòu)首次開裂時間在28 s附近，結(jié)構(gòu)首次屈服時間在42 s左右，地震輸入時間達(dá)到49 s左右時，結(jié)構(gòu)位移多次位于屈服位移之上。圖5的結(jié)構(gòu)一層輸出加速度邊際移動譜（280 gal加速度輸入）表明，結(jié)構(gòu)首層的邊際移動譜圖有一個明顯的向低頻轉(zhuǎn)移的亮帶出現(xiàn)在28 s附近，這是結(jié)構(gòu)自振頻率降低的表現(xiàn)，結(jié)合圖4的位移結(jié)果，可以判斷結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生折減；地震輸入時間達(dá)到32 s左右時，結(jié)構(gòu)位移處于開裂位移之下，結(jié)構(gòu)剛度中彈性部分恢復(fù)為初始狀態(tài)，邊際移動譜圖中下移的亮帶逐漸淡化。地震輸入時間達(dá)到42 s左右時，邊際移動譜圖中亮帶的中心頻率開始向低頻處轉(zhuǎn)移，此時結(jié)構(gòu)已經(jīng)屈服，頻率已經(jīng)變化到屈服時應(yīng)有的穩(wěn)定頻率，59 s附近的亮帶中心已經(jīng)明顯小于2 Hz。

圖5邊際移動譜中頻率變化的時刻，基本能夠與圖4中結(jié)構(gòu)開裂屈服、時刻以及開裂屈、服持續(xù)時間相對應(yīng)，說明邊際移動譜具有識別出結(jié)構(gòu)自振頻率變化的能力，具有識別結(jié)構(gòu)損傷發(fā)生時刻的能力。

圖1 輸入及一層輸出加速度（29gal）

圖2 一層輸出加速度邊際移動譜（29gal輸入）

圖3 輸入及一層輸出加速度（280gal）

圖4 一層位移響應(yīng)（280gal加速度輸入）

圖5 一層輸出加速度邊際移動譜（280gal加速度輸入）

4 結(jié)論

首先，將模型結(jié)構(gòu)輸入地震加速度的峰值調(diào)整為29 gal，此時，結(jié)構(gòu)最大層間位移小于預(yù)先設(shè)定的首次開裂時的位移，結(jié)構(gòu)保持彈性狀態(tài)。首先使用邊際移動譜結(jié)合信號濾波去噪的方法對結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行識別，結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的一階自振頻率在譜圖中反應(yīng)明顯，該頻率能夠得到有效識別。

然后，將模型結(jié)構(gòu)輸入地震加速度的峰值調(diào)整為為280 gal，此時，在強(qiáng)烈地震加速度作用下結(jié)構(gòu)的最大位移先后達(dá)到并超過開裂和屈服位移，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)開裂并進(jìn)入屈服，結(jié)構(gòu)反應(yīng)處于彈塑性的狀態(tài)，結(jié)構(gòu)的剛度隨著屈服而發(fā)生折減，從而引起結(jié)構(gòu)自振頻率的改變。對結(jié)構(gòu)首層的輸出加速度進(jìn)行HHT變換進(jìn)而得到其HHT邊際移動譜，分析結(jié)果表明，在強(qiáng)震作用下結(jié)構(gòu)自振頻率隨時間發(fā)生變化的過程以及變化后的自振頻率均能在其HHT邊際移動譜中清晰地識別，也進(jìn)一步表明在強(qiáng)震作用下結(jié)構(gòu)動力參數(shù)的時變特征可以采用HHT邊際移動譜進(jìn)行識別。