基于Cayley 圖上量子漫步的匿名通信方案*

賀振興 范興奎 初鵬程 馬鴻洋

(青島理工大學理學院, 青島 266033)

1 引 言

近年來, 量子通信是通信技術重要研究方向之一, 包括量子秘密共享和隱形傳態等領域[1?3]. 而隱私和匿名是量子通信過程中保護信息安全的重要方法, 隱私意味著傳輸消息不能公開, 匿名意味著隱藏發送方和接收方的身份信息, 而兩者在匿名量子通信、匿名量子投票等方面有著舉足輕重的作用[4,5].

眾多學者在量子通信理論方案和實驗實現方面有深入的研究[6?11], 并且在匿名通信協議設計及量子信息比特匿名傳輸等方面碩果累累[12?18].1988 年, Chaum[9]提出一種經典的匿名通信方案,方案中根據無條件保密信道, 構造出無條件發送不可跟蹤信道, 實現匿名通信; 2002 年, 薛鵬和郭光燦[13]在物理期刊中綜述了量子通信領域發展, 并介紹了量子通信的基本理論框架和研究進展, 其團隊后期的研究成果為本文提供了研究方向; 2002 年,Boykin[14]提出利用量子密鑰編碼經典比特信息的匿名通信協議, 協議中通信方共享量子糾纏對獲取安全密鑰, 并對噪聲攻擊具有較高的抗性;2005 年, Christandl 和Wehner[15]提出一種匿名傳輸經典比特的量子協議, 該協議主要討論傳輸量子態時的安全問題, 并利用糾纏量子態擴展協議使得通信雙方能夠匿名發送和接收量子位; 2007 年,Bouda 和Sprojcar[16]提出了一種量子信息比特的匿名分發協議, 該協議在公共接收方(發送方)的通信模型下, 可用于接收方(發送方)匿名信道構建和無條件信息保密; 2007 年, Brassard 等[5]提出匿名量子通信協議模型, 并在理論上證明該模型受到攻擊時只能以指數級的小概率破壞通信雙方的匿名性以及量子態的隱私性, 該模型提升了整個通信協議的安全性; 2012 年, Jiang 等[17]提出了以連續變量糾纏量子態作為信息載體的匿名量子投票系統. 與上述成果不同, 本方案利用量子漫步作為搜索算法進行量子信息搜索, 并且量子漫步算法本身可以模擬多體物理體系的量子行為適用于多種網絡結構.

經典隨機行走算法是對粒子在底層圖結構內隨機移動的模擬算法[19], 量子漫步算法則是模擬粒子在圖上移動的量子相干性演化. 深入研究文獻[20?30], 很多學者發現量子漫步算法相較于經典隨機算法的優點主要有兩個: 尋找目標節點時間更少和從源頂點分散到所有頂點的時間更少.2002 年, Travaglione 和Milburn[21]提出在離子阱量子計算機上實現量子漫步的方案, 方案展示了量子漫步直線方差和混合時間增強的特征, 實驗結果顯示在強退相干限制下量子漫步算法逐漸趨于經典算法; 在2004 年, Childs 和Goldstone[22]提出利用圖上連續時間量子漫步來求解Grover 問題的一般方法, 并證明了如果圖結構是一個高維度的晶格可以實現算法的二次加速; 2009 年, Childs[25]提出利用散射過程構造量子算符, 將量子漫步作為計算基在基層圖中進行量子計算; 2019 年, Zhan[26]從圖譜的角度解釋離散量子漫步肯頓模型的完全態轉移, 并構造了一個允許完全態轉移的無限族的四正則循環圖; 2019 年, Costa 等[27]根據氣體HPP模型提出多粒子量子漫步算法, 通過HPP 模型模擬量子態碰撞后的運動方向, 并構造出粒子碰撞的演化算符. 而量子各個領域在不斷交叉情況下出現非常多的研究成果, 尤其是近年來將量子漫步算法與量子通信相結合的通信方案不斷涌現[31?38], 例如在2017 年, 薛鵬團隊[31]提出基于兩個硬幣態量子漫步的廣義隱形傳態, 與現有的d維量子態隱形傳態相比不需要預先制備糾纏態, 這是第一個利用量子漫步實現通信協議的方案; 2019 年, 馮艷艷等[32]提出基于量子漫步-隱形傳態的仲裁量子簽名方案, 方案通過量子漫步產生糾纏態進行隱形傳態, 并利用隨機數和公共板驗證量子簽名正確性;2019, Li 等[33]提出基于多硬幣態量子漫步的量子信息分割方案, 該方案不需要預先準備糾纏態, 也不需要測量糾纏度, 降低量子網絡通信資源消耗.

本方案依據量子漫步的隨機特性設計匿名量子通信方案[39?41]. 本方案在量子Cayley 網絡上進行通信[42?44], Alice 通過文獻[4]中的邏輯或操作匿名選擇Bob 實現量子網絡匿名協議, 從而保護通信雙方身份信息; 可信第三方根據量子盲簽名方法檢測Alice 和Bob 身份信息是否泄露或被竊聽;可信第三方根據群上傅里葉變換計算Bob 量子漫步位置概率分布函數, 并將概率最大值對應的位置信息作為確認幀發送給Alice; Alice 獲取位置信息后利用量子保密一次通信建立信道[45,46], 將制備的量子信息傳輸至Bob 量子漫步時出現概率最大的位置[22,47,48], 利用量子壓縮對信息進行預處理,減少信息的比特長度, 最多減少37.5%的比特長度[49?51]; Bob 通過Cayley 圖上離散時間量子漫步算法在網絡中搜索Alice 傳輸的信息. 在通信雙方遵循量子網絡匿名協議的前提下, 本方案根據量子漫步的隨機特性, 使得接收方能夠以極大的概率避免被竊聽者獲得身份信息, 并且沒有破壞量子網絡匿名協議.

本文具體內容如下: 第2 節介紹Cayley 圖上量子漫步和量子壓縮; 第3 節討論匿名通信方案和離散量子漫步概率解析解; 第4 節分析方案的安全性, 并計算Cayley 中環的概率分布; 第5 節, 對方案進行總結和簡要概述.

2 相關工作

2.1 Cayley 圖上量子漫步

假設群G是有限群,S是該群的生成集合,Cayley 圖和群G存在一一對應關系, 若節點g和g′滿足g′=gh, 則存在一條邊 (g,g′), 其中g ∈G,h ∈S. 將Cayley 圖中元素量子化:

其中,HS為硬幣算符所在的Hilbert 空間,HG為量子漫步所處的位置空間. Cayley 圖上量子漫步的演化算符為E=T(C ?I) ,I為位置空間的單位算符,C為硬幣算符,T為轉移算符, 具體定義如下:

2.2 量子信息降維壓縮算法

量子降維壓縮算法中3 維張量信息可以表示為

3 通信方案

通信雙方在超立方體量子Cayley 網絡上進行量子通信. 初始化階段: 發送方利用文獻[4]中邏輯或操作匿名選擇接收方. 假設網絡中存在m+1個通信節點, 可信第三方選擇發送方為Alice, 并設置安全參數Z; Alice 根據比特分布D選取隨機比特xi=0或 1 (xi ∈D), 其他m個節點選擇xi=0 ;Alice 根據的取值(不包含發送方選擇的比特數)進行邏輯或操作匿名選擇接收方, 即設i為其他m個節點中的一個節點, 根據安全參數Z重復選擇比特數xi, 做模2 加運算, 令(j表示選擇xi的次數), 若yi=1, 則選擇節點i為接收方Bob, 否則重新執行邏輯或操作選擇接收方, 接收方將模2 加運算結果發送給可信第三方.圖1 為匿名量子通信流程,

圖1 匿名量子通信方案流程圖Fig. 1. Flow chart of anonymous quantum communication scheme.

3.1 身份驗證階段

協議1可信第三方利用量子盲簽名驗證通信雙方身份信息. 可信第三方與Alice 和Bob 通過量子密鑰分發生成和分發安全密鑰K3A和K3B,Bob 作為簽名者, 可信第三方作為仲裁者判斷簽名的有效性. Bob 制備EPR 對序列,

這些EPR 對處于相同狀態, Bob 通過可信第三方將A粒子發送給Alice. 身份驗證過程如下:

Alice 盲化信息. Alice 制備量子比特信息序列A, 并利用量子投影測量方法對序列A進行測量, 測量后序列A中量子比特不發生變化, 且得到相對應的經典二進制信息序列n={n1,n2,··· ,nn};依據經典比特信息測量量子比特序列A, 當ni=0時, Alice 將Pauli-Z作為測量基, 當nj=1 時, Alice選擇Pauli-X作為測量基, 得到的測量結果記為M={m1,m2,··· ,mn}, 測量后的量子比特序列記為A′; Alice 將序列n和M組合成新的信息序列N={n1∥m1,n2∥m2,··· ,nn∥mn}, Alice利用安全密鑰K3A對信息序列N加密得到盲化信息N′=EK3,4(N) ;Alice 將序列N和盲化信息N′同時傳輸給可信第三方.

Bob 進行簽名. 可信第三方將序列A'發送給Bob, Bob 對量子態序列A′和B粒子進行可觀測量C上的聯合測量,C有非簡并本征態, 并且符合

聯合測量結果為Sor={Sor1,Sor2,··· ,Sorn},Sorj表示兩個比特, 且測量結果為時, 序列Sorj對應00, 10, 01, 11; Bob 利用密鑰K3B對序列Sor加密獲得簽名序列Sor′=EK3B(Sor), 并將簽名序列Sor′發送給可信第三方.

可信第三方驗證簽名信息. 可信第三方對N′和Sor′解密獲得序列N和Sor, 若序列N與對應位置的元素都匹配, 則認定簽名有效, 否則簽名無效并終止通信. 對應關系如表1 所示.

表1 信息N 和簽名Sor 的對應關系Table 1. Correspondence between information N and Sor signature.

3.2 信息傳輸階段

協議2完成協議1 后, 可信第三方計算Bob 從當前位置進行量子漫步, 概率最大值對應的位置信息為LocB,將其轉化為量子態LocB →,并將作為確認幀通過信道傳輸給Alice. 協議中的具體操作如下:

1)可信第三方對Alice 返回確認幀ACK,

對10 維傳輸信息進行壓縮, 則信息碼元為

圖2 量子壓縮過程Fig. 2. Quantum compression process.

3)Alice 利用量子保密一次通信, 將壓縮后的比特串添加確認幀進行傳輸,, 傳輸到第三方計算出的網絡節點位置LocB.

3.3 量子漫步搜索傳輸信息

在信息傳輸完成后, Bob 進行量子漫步搜索信息位置, 得到節點存留的信息. 通信協議在量子Cayley 網絡上進行, Bob 以Cayley 圖上量子漫步的演化算符作為量子動力在網絡中移動. 但是, 在Bob 搜索信息前第三方需要對位置進行安全檢測,如下所述:

協議3第三方對信息比特串中的確認幀作保真度測量. 首先, 對信息比特串作幺正變換提取確認幀的量子態,

然后, 計算確認幀的保真度判斷存儲信息的位置是否被竊聽,

其中, 0?α<1 . 對信息比特串作做內積, 保真度若為1, 則表明該位置未被竊聽; 若為α, 在不考慮噪聲影響的情況下認為該位置被竊聽.

協議4在第三方確定信息位置安全的前提下, Bob 在Cayley 網絡中進行量子漫步搜索目標節點, 獲得傳輸信息. 具體步驟如下:

2) Bob 接受確認幀后, 進行Cayley 圖上量子漫步搜索信息; 以Bob 位置g為起點開始搜索,

上述過程重復10 次后, 獲得t=10 時Bob 的量子漫步狀態,

圖3 匿名量子通信過程Fig. 3. Anonymous quantum communication process.

3) Bob 搜索得到信息后通過逆幺正變換U?1對壓縮信息解碼:

上述協議1—4 中, 任何一步的檢驗出現錯誤都會終止通信方案, 并且Alice 在傳輸完信息后就將量子保密一次通信的信道舍棄, 然后重新選擇通信雙方, 從協議1 開始新一輪通信.

3.4 Cayley 圖上量子漫步概率計算

協議4 中, 利用量子漫步算法作為搜索算法搜索傳輸信息位置, 因此在計算位置概率時需要對t時刻量子漫步狀態進行群上的傅里葉變換,將離散變量轉換為連續變量, 進而得到量子漫步位置概率分布函數的解析解. 假設群G為Abelian群, 其同構于多個ZN群的直積,G ～=ZN1×···×ZNs,ZN為模N的加法群, 則群G中每個元素g都有一個n元組 (g1,··· ,gn) 一一對應.

對群元素進行傅里葉變換[35], 算子的形式如下:

其中,χg為群的特征標,

其中, 轉移算符對傅里葉基態作用后的形式為

可以證明傅里葉基態下, 轉移算符只改變基態的振幅.

最后, 得到傅里葉基態下t時刻的振幅為, 通過逆傅里葉變換求解離散時間的振幅:

得到離散時間量子態的振幅后, 通過模方運算計算位置概率分布函數,

根據協議2 中描述, 第三方計算出Bob 量子漫步的概率分布函數, 即的數值分布情況, 并將出現概率最大的位置以確認幀的形式發送給Alice, Alice 將信息傳輸到該位置.

4 協議分析和數值仿真

4.1 協議分析

目前, 存在很多量子漫步實現量子通信的研究, 如文獻[42]中提出離散時間量子漫步算法實現量子通信的方案, 并且方案擁有通信網絡限制少,實現狀態轉移保真度為1 和步驟少等優勢; 文獻[43]利用量子漫步進行量子隱形傳態實現N比特量子信息傳輸, 并且實現過程只應用但量子比特門能夠簡化實驗過程. 這些研究成果多是將量子漫步算法應用于信息比特傳輸或隱形傳態編碼中, 而本方案利用量子漫步算法的隨機特性進行匿名量子通信,能夠以極大的概率規避竊聽. 本節針對常見的通信攻擊方式和竊聽者進一步對方案進行分析.

1)在4.2 節中t=10 和傳輸信息節點位置為6 時符合文獻[42]中所提出的理論公式 ((n ?x)/2)∈Z(n為漫步步數,x為節點位置,Z為整數集合),因此本方案能夠利用離散時間量子漫步算法進行匿名通信, 且在量子態轉移時能夠保證保真度為1.

2)假設Alice 在進行通信之前被惡意替換身份, 在協議1 中采用量子盲簽名方法驗證身份信息時, 能夠檢測出惡意替換身份者為不誠實通信方,從而第三方終止匿名通信; 假設傳輸信息位置被竊聽者獲取, 在協議3 中對標記狀態進行保真度測量, 若保真度不為1 則檢測出傳輸位置被竊聽, 可信第三方終止通信防止通信雙方身份信息泄露; 假設存在文獻[18]中提到的虛假粒子糾纏攻擊和解糾纏攻擊, 由于通信過程中無需糾纏態進行信息傳輸, 并且只在量子漫步算法的初始態中出現糾纏態, 則通信過程中受到虛假粒子糾纏攻擊或解糾纏攻擊時, 將會出現糾纏攻擊無效或無法進行量子漫步的情況,但不會泄露通信雙方身份信息.

3)假設在量子網絡中存在竊聽者, 則協議4 中Bob 搜索傳輸信息位置時會暴露自身身份信息, 但Bob 進行量子漫步時具有隨機特性, 會不斷地改變位置進行信息搜索, 量子漫步的隨機特性將會保護Bob 身份, 即使竊聽者獲取Bob 初始位置,則竊聽者獲得Bob 準確身份信息的概率為, 即漫步3 步時竊聽者獲取Bob 身份信息的概率為ρ=0.0929% . 除此之外, 竊聽者若竊聽Bob 將會改變Bob 量子漫步時初始態的振幅, 使得Bob 的概率分布發生變化, 減小搜索到信息位置的概率.

4)經典網絡層輕量級匿名通信協議[52]中,Alice 發送空的數據包與Bob 建立連接后才能進行正式通信, 并且網絡節點信息中包含Bob 位置信息, 網絡節點將Alice 的信息比特轉發給Bob,最后利用終端加密信息傳輸路徑實現匿名通信,其他經典協議與文獻[52]相比也只是身份匿名方式不同; 而匿名量子通信利用量子比特作為信息載體來進行信息交互, 量子比特的測不準原理和不可克隆特性使得傳輸信息具有較高安全性. 并且經典匿名通信需要安全的兩兩配對的經典頻道,以及經典的廣播頻道, 才能實現身份匿名和信息傳輸; 而匿名量子通信只需要通信雙方匿名共享糾纏態即可隱藏身份信息, 傳輸信息階段只設計局部操作和經典信道. 本方案中傳輸信息比特過程與文獻[52]相比步驟更為簡便, 只需執行量子漫步算法就能以45.31%的概率搜索到傳輸信息, 并且本方案的量子網絡節點只構造量子漫步演化算符不包含Bob 位置信息, 因此本方案通信過程更為簡單, 且支持不同量子網絡結構進行匿名量子通信.

4.2 量子漫步概率分布數值仿真

Cayley 圖是對環的拓展, 因此本方案對環上量子漫步進行數值仿真, 如圖4 所示, 其生成元集合S={1,?1}, 硬幣算符為Hadamard 算符,C=.t時刻量子漫步的疊加態為

其中,N為環上節點總數.

圖4 環形結構Fig. 4. Ring structure graph.

通過3.4 節中公式計算離散量子漫步時刻連續疊加態的振幅,t為偶數:

t為奇數:

其中,θk滿足,k表示環上的位置. 則t時刻位置j的概率為

選取節點數N=200 , 0 節點作為初始位置,t=10 的概率分布情況如圖5 所示,

Bob 進行量子漫步時搜索環上第6 個節點的概率最大, 為45.31%. 其他的數值仿真結果表2 所列.

圖5 量子漫步10 步時概率分布圖Fig. 5. Probability distribution diagram for quantum walk in 10 steps.

表2 數值仿真結果Table 2. Numerical simulation results.

5 結 論

方案中采用量子壓縮對傳輸信息進行預處理,減小信息比特長度, 間接提高量子保密一次通信的傳輸效率; 文獻[49]針對量子壓縮進行研究, 計算10 維信息解壓縮后的保真度為0.9978, 對傳輸信息的損耗非常低, 提高匿名量子通信的效率, 并降低通信過程的資源消耗.

本文最后給出200 個節點的環上量子漫步概率分布, 漫步10 步時第6 個節點概率45.31%, 根據協議2 和協議4 第三方將位置節點6 轉化為量子態發送給Alice, 并對Bob 返回確認幀Bob 進行量子漫步搜索Alice 傳輸的信息. 根據漫步10 步的概率分布規律并舍棄概率趨近于0 的節點, 竊聽者針對Bob 進行竊聽時獲取Bob 具體身份信息的概率近似為 6×10?7% . 因此, 本方案能夠更好地保護接收方的身份安全, 防止信息泄露.若量子網絡本身安全性較高, 可以通過減少量子漫步的步數提高搜索概率, 如表2 中所列,t=3 時搜索到第2 個節點的概率為72.72%, 并且通過數據可以得出網絡性質不變的情況下, 節點總數對概率最大節點位置和概率影響很小.