原子核電荷半徑的研究*

曹穎逾 郭建友

(安徽大學物理與材料科學學院, 合肥 230601)

1 引 言

眾所周知, 原子核電荷半徑是描述原子核性質最基本的物理量之一. 核力的性質、核物質密度以及殼結構等方面的信息可以通過研究核電荷半徑得到. 核電荷半徑測量的精確程度是驗證原子核微觀模型和理論的重要依據.

隨著科技的發展, 實驗儀器越來越精密, 技術和測量方法也越來越完善, 對物理量的測量也更加精確. 核電荷半徑可通過高能電子在原子核上的散射[1]、原子光譜超精細結構的同位素移動[2]、 μ? 原子激發X 射線譜[3,4]、原子光譜[5,6]來獲得. 在文獻[7]中收集了909 個基態均方根核電荷半徑, 這些數據中包含了遠離b 穩定線的核素的核半徑. 這表明核電荷半徑的測量已經擴展到遠離b 穩定線的區域.

在核電荷半徑的理論計算和實驗測量等方面,人們做出了大量工作. 早期, 人們通常使用簡單的單參數公式 Rc=r0A1/3. 在文獻[8,9]中, Nerlo 和Pomorski 提出包含同位旋的兩參數公式與三參數公式, 指出同位旋與核電荷半徑的關系. 文獻[10]提出含Casten 因子項和d 項的四參數公式和五參數公式, 這兩個公式給出了核電荷半徑與殼效應和奇偶擺動的關系. 由于以 A1/3律的單參數公式缺乏物理量的解釋, 曾謹言[11,12]提出了以 Z1/3律的單參數公式. 張雙全等[13]提出含有同位旋的 Z1/3律公式, 該公式很好地描述了遠離b 穩定線的核電荷半徑. 另外殼層效應對核電荷半徑的影響[14]、鏡像核電荷半徑的差異現象[15]和重核及其同位素半徑的研究[16]等仍然是熱點課題.

本文首先對上述公式進行擬合, 比較公式之間的優劣. 再考慮到原子核電四極矩與形變的關系,在三參數公式基礎上提出加入電四極矩項的核電荷半徑新公式. 最后對新公式進行改進, 分析新公式的優點和不足.

2 原子核電荷半徑常用公式

核電荷半徑通常由下面的等效半徑表示:

其中r0是核電荷半徑常數,A為質量數, 擬合后得核電荷半徑常數r0= 1.2269 fm, 擬合圖像如圖1所示, 在輕核和重核區偏離較大, 中間區域符合較好. 由(2)式得到的核電荷半徑理論值和實驗值的均方根偏差為

通過實驗數據和圖1 的分析表明r0不是一個常數,對于輕核,r0較大, 到了重核r0逐漸減小. 這種系統性的偏離表示A1/3律有某些物理內容的缺失. 為了解決A1/3律在輕核與重核的偏離, 曾謹言[11,12]依據實驗數據提出電荷半徑的Z1/3律:

用最新數據擬合得到r0= 1.6394 fm, 均方根偏差s= 0.0939 fm, 擬合圖像如圖1 中右圖所示. 對比A1/3律(2)式,σ減小了0.0285 fm, 這說明了Z1/3律比A1/3律描述得更好. 在文獻[8,9]中提到兩參數公式:

圖1 Rc =r0A1/3 與 Rc =r0Z1/3的擬合曲線(左圖是 Rc =r0A1/3的擬合曲線, 右圖是 Rc =r0Z1/3 的擬合曲線)Fig. 1. The fitting curve of the Eqs. (2) and (4).(The left picture is the fitting curve of the Eq. (2) and the right picture is the fitting curve of the Eq. (4)).

式中有一個同位旋項 (N ?Z)/A, 加入此項的目的是將遠離 β 穩定線的核素的核電荷半徑變化趨勢更好地描述, 擬合(5)式得到擬合參數r0=1.2827 fm,a= 0.2700, 均方根偏差s= 0.0855 fm.為了更好地描述Z?8 的偶偶核元素, (5)式加入1/A項, 得到三參數公式[9]:

擬合(6)式得到參數r0= 1.2331 fm,a= 0.1461,

b= 2.3301, 均方根偏差s= 0.0510 fm. (6)式是目前描述電荷半徑變化較好的公式之一, 也是應用較為廣泛的公式. 對比于(5)式和(6)式, 文獻[13]提出如下公式:

其中N?表示 β穩定線上核素的中子數,N/Z是與同位旋相關的物理量, 擬合(7)式得到r0=1.6312 fm,a= 0.0627, 均 方 根 半 徑s=0.0618 fm.

為了更好地描述原子核電荷半徑的變化規律,文獻[10]提出以下兩個公式:(8)式和(9)式中考慮到殼效應對核電荷半徑的影響, 引入P項,P代表 Casten 因子[17,18], 實質意義是質子與中子的相互作用, 質子與中子的相互作用是導致原子核集團運動和形變的重要因素之一[19].P具體的表達式是NpNn/(Np+Nn) , Casten 因子廣泛地應用于相位轉移、形變、激發態性質、轉動慣量等方面[20?23].δ項是描述奇偶擺動現象, 在同位素鏈中偶偶核的電荷半徑比相鄰的兩個奇偶核的電荷半徑的平均值大, 奇奇核的電荷半徑比相鄰的兩個奇偶核的電荷半徑的平均值小[10]. 可粗略表示為: 偶偶核的d= 1, 奇奇核的d= –1, 其他情況的d= 0. 對(8)式擬合, 得到擬合參數r0=1.2262 fm,a= 0.1473,b= 1.9876,c= 0.3993,均方根偏差s= 0.0273 fm. 對(9)式 擬合, 得到擬合參數r0= 1.2262 fm,a= 0.1472,b= 1.9952,c= 0.4030,d= 0.1093, 均方根偏差s= 0.0266 fm.(8)式和(9)式的均方根偏差都很小, 可以較好地描述核半徑的變化.

3 形變與核電荷半徑的關系

核的形變與核半徑密切相關, 其中原子核的電四極矩是反映原子核電荷分布偏離球對稱程度的物理量[24]. 電四極矩也是理解原子核內物質分布[25,26]、檢驗核模型[27]、核子與核子的相互作用的基本觀測量之一[28,29]. 原子核電四極矩的研究引起了許多核物理的熱點課題. 包括其中的奇異核粒子的研究[30]、原子核形狀共存的研究[31]、以及殼演化的研究. 經過多年的研究, 人們對電四極矩有了大致的了解, 也開發了一系列的計算方法. 但是由于核結構較為復雜, 所以電四極矩的理論計算和實驗測量都存在困難, 目前的實驗測量和理論計算仍不盡完善. 電四極矩值隨著核子數有著周期性變化, 計算出的理論值與實驗值相比有較大的偏差[32].

電四極矩可由電勢的多極展開得到, 原子核的內稟電四極矩有積分表示方法與張量表示方法, 具體計算過程見文獻[33], 得到的內稟電四極矩表示為

其中e是質子的電荷元, 代入積分上下限, 得,Z為原子核的核電荷數.

假設與橢球體等體積球體的半徑為R, 定義形變參量, 由等體積性得到半軸長則形變參量與內稟電四極矩的關系為

由(11) 式可計算出形變參量ε, 計算結果表明, 大多數原子核的形變參量都很小, 說明大多數核是偏離不大的非球形核. 在文獻[33]中提出電四極矩與內稟電四極矩的關系為

當總自旋I= 0 或I=1/2 時, 電四極矩Q一定為0. 有了理論的支持, 再從文獻[34]中取出378 個基態電四極矩, 去除中子數N?8和質子數Z?8的核素, 剩余368 個基態電四極矩. 這些電四極矩有正值與負值, 其中電四極矩的大小代表原子核偏離球形的程度, 正負號代表偏離的方向. 把電四極矩取絕對值, 表示成Q?, 并在三參數公式(6) 式的基礎上, 加上一個Q?/A的項, 得到

擬合(13)式得到參數r0= 1.2221 fm,a= 0.1350,b= 2.4698,c= 0.8976, 均方根偏差s= 0.0397 fm.擬合圖像如圖2 所示, 相比圖1, 圖2 在輕核區和重核區符合更好.

與應用廣泛的(6)式擬合的結果相比, 均方根偏差下降了, 說明用(13)式能夠較好地描述核電荷半徑的變化趨勢.

圖2 的擬合曲線圖Fig. 2. The fitting curve of the Eq. (13).

由(12)式可知,Q還與總自旋I有關, 繼續從文獻[34]中取出對應的368 個核素的總自旋I, 反求內稟電四極矩Q0, 并取絕對值, 表示成, 替換(13)式中的Q?, 得到

擬合(14)式, 得到參數r0= 1.2220 fm,a= 0.1410,b= 2.4200,c= 0.3643, 均方根偏差s= 0.0372 fm.擬合圖像如圖3 所示, 圖3 在重核的一些區域表現得更平滑.

再取(9)式中能反映奇偶擺動現象的δ項, 將其加入(14)式中得到(15)式:

圖3 的擬合曲線圖Fig. 3. The fitting curve of the Eq. (14).

擬合(15)式,得到參數r0= 1.2223 fm,a=0.1421,b= 2.4577,c= 0.3660,d= 0.1705, 均方根偏差s= 0.0369 fm. 擬合圖像如圖4 所示.

為了看出(13)式—(15)式在具體的同位素鏈中擬合的好壞程度, 選取兩個滿殼附近的核Ba 和Fr, 與兩個遠離滿殼附近的核Ho 和Lu. 把(13)式—(15)式計算的理論的核電荷半徑值與實驗值進行對比, 結果如圖5 所示. 可以看出, 在實驗曲線上的一些跳躍和轉折, (13)式并不能很好地體現. 這些跳躍和轉折現象與奇偶擺動、殼效應、

圖4 的擬合曲線圖Fig. 4. The fitting curve of the Eq. (15).

圖5 Ba 和Fr, Ho 和Lu 四個同位素鏈核電荷半徑的實驗值與(13)式—(15)式計算的核電荷半徑理論值的對比Fig. 5. The experimental values of the nuclear charge radii of Ba and Fr, Ho and Lu isotopic chains are compared with the theoretical values calculated by Eqs. (13)–(15).

形變相關. 把電四極矩項轉變為內稟電四極矩項之后, 均方根偏差下降, 說明含有內稟電四極矩的(14)式與實驗曲線符合得更好, 且(14)式在跳躍與轉折的地方有了些許改善. 在加入了奇偶擺動項之后, 在跳躍與轉折的地方符合得更好, 但是在一些沒有出現跳躍與轉折的地方, (15)式卻表現出來跳躍與轉折, 這表明僅僅加入這些項還是不足以描述核電荷半徑復雜的變化.

為了從整體上看出理論值與實驗值的差距, 計算了核電荷半徑的實驗值與(13)式—(15)式計算的理論值的差值 ?R,做出 ?R隨質子數Z變化,結果如圖6 所示. 可以看出, 整體趨勢上(15)式得出的結果比(13)式和(14)式更加集中, 也印證了(15)式得出的均方根偏差最小. (13)式計算的 ?R相對比較分散, 但在Z= 10 的輕核區, (13)式有少數核的 ?R比(14)式和(15)式的 ?R小. 在圖6中還可以看到, 傳統幻數Z= 28, 50, 82 所對應的?R接近于零, 也印證了電四極矩與殼效應相關.對于輕核區, (13)式—(15)式的擬合結果不是很好, 計算的理論值和實驗值差值較大, 這說明僅僅通過幾個參數來精準地描述核電荷半徑的變化趨勢是很困難的. 以后還需要挖掘出蘊含在更深層的物理內容來對其進行補充. 最后, 將本文所提及的公式列在表1 中, 可以直觀地看到各公式擬合的參數和精確程度.

圖6 計算368 個核電荷半徑的實驗值分別與(13)式—(15)式計算的理論值的差值. (從上到下依次為核電荷半徑的實驗值與(13)式的差值圖, 核電荷半徑的實驗值與(14)式的差值圖, 核電荷半徑的實驗值與(15)式的差值圖)Fig. 6. The difference between the experimental value of 368 nuclear charge radii and the theoretical value calculated by Eqs.(13)–(15) , respectively.

表1 各種核電荷半徑公式Table 1. The mentioned equations for nuclear charge radius Rc .

4 結論與展望

本文對已有的核電荷半徑實驗數據和已經提出的核電荷半徑公式進行驗證. 并在三參數的基礎上加入了電四極矩項, 發現計算結果的均方根偏差下降. 在已有的電四極矩數據的基礎上, 又求出內稟電四極矩. 替換擬合公式中原本的電四極矩項,發現在質子數Z= 28, 50, 82 附近元素的實驗值與公式計算的理論值相差非常小, 說明了內稟電四極矩項的加入, 很好地反映了殼效應的變化趨勢,繼續加入奇偶擺動項之后, 進行擬合并計算均方根偏差, 發現均方根又減小了. 相比于已經提出的公式, 新提出的公式更好地反映了原子核形變、殼效應和奇偶擺動等變化趨勢, 在計算精度上也有所提高, 這將為今后的實驗提供有益的參考.