電磁飛環的緩擴散傳播特性*

王任 劉勝 張默然 王秉中

(電子科技大學應用物理研究所, 成都 610054)

1 引 言

無源麥克斯韋方程組是描述自由空間電磁場的基本方程, 平面波、X 波、貝塞爾波束、高斯脈沖和艾里脈沖等是麥克斯韋方程組的典型解[1?5]. 這些解對應的電磁場是典型的橫波, 即傳播方向的電場和磁場分量均為0. 而且, 這些解具有空時可分離特性, 即可以寫成獨立空間函數和獨立時間函數的乘積[6,7]. 然而, Brittingham[8]和Ziolkowski 等[9,10]發現, 麥克斯韋方程組有一類有限能量解和上述典型解具有明顯區別, 其空間函數和時間函數因具有內在聯系而無法分離, 被稱為電磁定向能量脈沖串(electromagnetic directed energy pulse trains,EDEPTs). 隨后, 學者們發現了一系列EDEPTs,包括調制功率譜脈沖(modified power spectrum pulses)[9]、方位角依賴脈沖 (pulses with azimuthal dependence)[11]以及單周期電磁脈沖(single-cycle electromagnetic pulses)[12,13]等. 這些有限能量脈沖形態各異, 但都是麥克斯韋方程組的嚴格解.

在單周期電磁脈沖中, 有一種脈沖因其奇特的形態引起了學者們的關注, 即電磁飛環(flying electromagnetic toroid, FET), 也稱飛翔的電磁甜 甜 圈 (flying electromagnetic doughnut)或 聚焦的電磁甜甜圈(focused electromagnetic doughnut)[12?15]. 近期研究表明, 電磁飛環具有空時不可分離特性、寬頻譜特性、有限能量非衍射特性及能量回流特性[14?17]. 尤其引人注目的是, 電磁飛環具有超環面拓撲結構, 該拓撲結構具有與電磁飛環傳播方向平行的場分量, 即縱向場分量[14?16]. 因為超環面拓撲結構和縱向場分量的存在, 電磁飛環在粒子加速和特殊場激勵方面具有重要潛在應用[12?15].2017 年, Raybould 等[18]發現電磁飛環可以在介質球內同時激勵起電偶極子模式和超環偶極子(toroidal dipole)模 式, 并 由 此 激 勵 起 著 名 的Anapoles 非輻射模式, 為研究場與物質的相互作用提供了有效工具[19,20]. 作為應用和產生電磁飛環的基礎, 對其特性的研究尤為重要. 如前文所述,學者們已經研究了電磁飛環的基本傳播特性, 發現了電磁飛環具有一個“聚焦范圍”, 在此范圍內具有很多新奇特性[12?17].

本文通過理論計算對電磁飛環的傳播特性進行了深入研究. 通過討論電磁飛環橫向和縱向場分量的空間分布和頻譜特征, 發現電磁飛環在“聚焦范圍”內保持超環面拓撲結構傳播的同時, 也會緩慢向外發散, 即電磁飛環具有緩擴散傳播特性. 本文的研究為電磁飛環的應用提供了理論基礎.

2 電磁飛環的緩擴散傳播特性

電磁飛環具有橫磁(TM)和橫電(TE)兩種形式. TM 電磁飛環的磁場在與傳播方向垂直的面上呈環形, 其電場繞磁場旋轉, 整體呈現一種超環面拓撲結構, 如圖1 所示. 在柱坐標系下, 沿z方向傳播的TM 電磁飛環的電場和磁場可以表示為[12]:

式中,τ=z ?ct,σ=z+ct,q1表示電磁飛環脈沖的有效波長,q2表示電磁飛環的聚焦范圍,q1?q2. 有效波長指的是電磁飛環在傳播方向上所覆蓋的空間范圍, 聚焦范圍指的是電磁飛環傳播過程中發散速度較慢的空間范圍. 當|z|>q2時, 電磁飛環以與高斯脈沖相同的方式傳播, 其有效波長為q1, 瑞利(Rayleigh)長度為q2. TM 電磁飛環的電場既有橫向場分量Eρ, 又有縱向場分量Ez, 而其磁場只有橫向場分量Hφ. TE 電磁飛環與TM 電磁飛環拓撲結構相同, 電場和磁場位置互換. 從(1)式—(3)式可知, 根據方程的實部和虛部可以分別構建兩種不同的脈沖. 這兩種脈沖都是麥克斯韋方程組的精確解. 實部對應的脈沖具有周期電場和單周期磁場, 虛部對應的脈沖具有單周期電場和周期磁場[14]. 因此, 我們將(1)式—(3)式實部和虛部對應的脈沖分別稱為周期脈沖和單周期脈沖. 由于古伊相移作用, 單周期脈沖和周期脈沖會在傳播過程中逐漸相互轉化[12,13]. 不失一般性地, 在本文中我們以(1)式—(3)式的實部為例,對TM 電磁飛環的縱向場分量和橫向場分量進行理論研究. 通過對方程中的時間變量t賦不同的值, 可以計算出電磁飛環在傳播到不同位置時的場分布、拓撲結構及頻譜分布, 從而在理論上準確研究電磁飛環的傳播特性.

圖1 TM 電磁飛環示意圖Fig. 1. Schematic of TM FET.

考慮參數為q2= 100q1的TM 電磁飛環, 根據(1)式—(3)式畫出其在t= 0 時刻的場分布, 如圖2 所示.電磁飛環的各場分量在垂直于傳播方向(z方向)的面上(xy面)都是旋轉對稱的. 縱向電場Ez在z= 0 附近沿+z方向, 在r= 0 處(即x= 0,y= 0)場值最大. 隨著r增大, 場值逐漸減小, 而后電場方向反轉, 變為沿–z方向. 在z= 0 平面,橫向電場Er與橫向磁場Hq場值均為0. 無論z取何值,Er與Hq在r= 0 處的場值均為零, 隨著r的增大, 場值逐漸增加到最大值, 再逐漸減小為零.

在t= 0 時刻, 上述電磁飛環的縱向電場Ez的最大值位于直線r= 0 上, 橫向電場Er的最大值位于柱面r= 4.5q1上, 這兩個位置上的場分量如圖3 所示. 由圖可知, 在直線r= 0 上,Ez的最大值位于z= 0 處, 此處Er恒為零. 在柱面r=4.5q1上, 橫向電場Er的最大值和最小值分居z= 0兩側, 即橫向電場Er在z= 0 處改變方向; 縱向電場Ez在柱面r= 4.5q1上的最大值仍位于z= 0處, 即Er的0 值位置.

圖2 電磁飛環在t = 0 時刻的場分布 (a) y = 0 平面Ez; (b) y = 0 平面Er; (c) y = 0 平面Hq; (d) z = 0 平面Ez; (e) z = –q1 平面Er; (f) z = –q1 平面HqFig. 2. Field distribution of the FET when t = 0: (a) Ez on the y = 0 plane; (b) Er on the y = 0 plane; (c) Hq on the y = 0 plane;(d) Ez on the z = 0 plane; (e) Er on the z = –q1 plane; (f) Hq on the z = –q1 plane.

圖3 在t = 0 時刻的z 方向上的場分布 (a) 直線r = 0 處; (b) 柱面r = 4.5q1 上直線(x = 4.5q1, y = 0)處Fig. 3. Field distribution along z direction when t = 0: (a) on the line r = 0; (b) on the line (x = 4.5q1, y = 0) of cylindrical surface r = 4.5q1.

圖2和圖3 討論了t= 0 時刻電磁飛環的拓撲特征. 值得說明的是, 電磁飛環的特性是隨著傳播過程不斷變化的. 當上述TM 電磁飛環沿+z方向傳播時, 其中心(即縱向場Ez最大值所在的位置)以光速向+z方向移動. 為了研究電磁飛環傳播過程中結構的發散情況, 我們根據(1)式—(3)式理論計算了電磁飛環傳播到各位置處的場, 并提取了每個傳播狀態下電磁飛環中心平面上的場值. 隨著電磁飛環的傳播, 即(1)式—(3)式中t 的增加,縱向場Ez和橫向電場Er的變化如圖4 所示. 圖4的縱坐標為傳播過程中電磁飛環中心在z 軸上的位置, 色值表示電磁飛環中心移動時縱向場Ez和橫向電場Er最大值所在的水平面(xy 面)上的場分布. 從圖中可以看出, 在電磁飛環傳播過程中,縱向場Ez的最大值始終位于直線r = 0 上, 且隨著傳播過程逐漸減小. 當電磁飛環的中心位于z = 0處時, 橫向場分量Er的最大值在r = 4.5q1處, 隨著電磁飛環的傳播, Er的最大值逐漸向外移動. 當電磁飛環傳播到z = q2= 100q1時, 橫向場分量Er的最大值移動至大約r = 10q1處. 這表明, 即使在一般認為的聚焦區域q2(或稱非衍射區域)內[12?15], 電磁飛環也是不斷向外擴散的, 只是擴散的范圍較小, 即電磁飛環具有緩擴散傳播特性. 以電磁飛環中心位于z = 0 面上時其 Eρ分量最大值的 ρ 坐標為基準(擴散0%), 電磁飛環傳輸距離(z 坐標, 以q1為單位)與環半徑( ρ 坐標, 以q1為單位)的擴散關系如表1 所示. 值得說明的是, 電磁飛環在z < q2范圍內雖然會緩慢擴散, 但其各場分量的相對位置并沒有發生改變, 也就是說其仍然能夠維持超環面拓撲結構.

圖4 電磁飛環在傳播過程中場分布的演化 (a) 縱向電場Ez; (b)橫向電場Er, 黑線表示電磁飛環傳播到不同位置時橫向電場最大值所在位置Fig. 4. Evolution of the field distribution of FET: (a) Longitudinal electric field Ez; (b) transverse electric field Er, the black line indicates the position of maximum transverse electric field when the FET propagates to different positions.

為了更清晰地展示電磁飛環的緩擴散傳輸特性, 我們分別使用線性方程和對數方程對其傳播到不同位置時橫向電場最大值所在的位置軌跡進行了擬合,zq2區間的線性擬合曲線和對數擬合曲線分別為(6)式和(7)式, 擬合的決定系數記為R2, 擬合曲線與理論計算曲線的對比如圖5 所示. 由擬合結果可知, 當zq2時, 電磁飛環傳播到不同位置時橫向電場最大值所在的位置軌跡與線性曲線更吻合. 也就是說, 電磁飛環在初始傳播階段發散非常緩慢, 在傳播較遠距離后接近線性發散.

表1 電磁飛環傳輸距離z 與環半徑r 的擴散關系Table 1. Relation between propagation distance and toroid radius of FET.

圖5 電磁飛環傳播到不同位置時橫向電場最大值所在位置 (a) z < q2; (b) z > q2Fig. 5. Position of maximum transverse electric field when the FET propagates to different positions: (a) z < q2; (b) z > q2.

前文已經從時域討論了電磁飛環的拓撲結構和傳播特性, 接下來展示電磁飛環的頻域特性. 根據(1)式—(3)式, 在空間中各點提取電磁飛環傳播過程中經過該點的場值, 即獲得該點對應的電磁飛環的時域信號, 然后對該信號做傅里葉變換, 即可得到電磁飛環在該位置處的頻譜. 在z= 0 平面上記錄電磁飛環各分量對應的時域場并做傅里葉變換, 得到的頻譜分布如圖6 所示. 由圖可知, 縱向電場Ez的頻譜在所有頻點的最大值均位于r=0 處. 隨著r的增大, 縱向場分量Ez各頻點的譜值先減小后增加, 在頻譜圖上形成一條譜值為零的帶狀區域. 橫向電場Er的頻譜在r= 0 處為零, 隨著r的增大, 各頻點的值先增大后減小. 比較電磁飛環的橫向電場和縱向電場的空間分布可以知道,各頻點的電場均在r= 0 附近沿z方向穿過電磁飛環的中心, 然后沿r方向逐漸變為橫向場, 再經由電磁飛環外邊緣(即r較大的位置)演變為沿z方向的縱向場, 由此形成電場閉環, 即形成圖1所示的超環結構.

圖6 電磁 飛 環 經 過z = 0 平 面 時的 歸 一 化 頻 譜分 布(a)縱向電場Ez; (b)橫向電場ErFig. 6. Normalized spectrum distribution when the FET propagates through the z = 0 plane: (a) Longitudinal electric field Ez; (b) transverse electric field Er.

從圖6(a)可以, 縱向電場Ez的頻譜在各個頻點的最大值的位置都為r= 0, 那么橫向電場Er頻譜在各個頻點的最大值的位置是否保持不變呢? 答案是否定的. 在上述q2= 100q1的TM 電磁飛環傳播過程中, 計算垂直于傳播方向的每個面的頻譜, 并記錄各個頻點最大值的坐標, 如圖7 所示.圖7 中最外側曲線對應頻率為c/15q1的最大值的坐標, 越往內側的曲線頻率越高, 最內側曲線對應頻率為c/q1的最大值的坐標. 每一個頻點的最大值坐標都隨著z增大(即隨著電磁飛環的傳播)逐漸向外移動, 并且頻率越低的曲線向外偏轉的幅度越大. 這表明即使在z

圖7 橫向電場Er 各個頻點最大值的位置曲線Fig. 7. Position curves of maximum value of each frequency of the transverse electric field Er.

3 結 論

本文通過理論計算揭示了電磁飛環的緩擴散傳播特性. 電磁飛環的超環面拓撲結構在傳輸過程中的穩定性可以為粒子加速、特殊多極子激勵等應用提供有力支持[12,18], 而本文的研究為這些應用提供了重要參考. 例如, 在粒子加速應用中, 要精確計算場與粒子的作用力, 電磁飛環的緩擴散傳輸特性是必須加以考慮的; 在激勵Anapole 等模式時,因為緩擴散傳輸特性的存在, 電磁飛環起始位置與目標激勵區域的距離將影響場激勵的效果. 當前,關于電磁飛環特性的理論研究日趨完善, 要在實際系統中應用電磁飛環的諸多新奇特性, 則必須將電磁飛環實際產生出來. 因此, 如何產生電磁飛環將成為后續研究需要關注的重點.

感謝英國南安普頓大學Nikolay I. Zheludev 教授的指導.