乘積函數(shù)的圖像盒維數(shù)的一個注記①

杜玉坤

(廣東茂名幼兒師范專科學校 理學院，廣東 茂名 525200)

1 引言

維數(shù)是分形幾何的中心概念，其中盒維數(shù)的數(shù)學計算及經驗估計相對容易一些。文獻[1-3]有盒維數(shù)的具體定義。而部分分形是以函數(shù)圖像的形式出現(xiàn)的[4-7]。設f：I≡[0,1]→R是連續(xù)函數(shù)，令

Γ(f，I)={(x,f(x))：x∈[0,1]}

為函數(shù)f在I上的圖像。

定義1.1 設f是I上的連續(xù)函數(shù)。設δ>0，x∈I，記Of,δ(x)為函數(shù)f在點x的δ-振幅，即

Of,δ(x)=sup{|f(x1)-f(x2)|：x1,x2∈[x-δ,x+δ]∩I}.

定義1.2 設[c,d]∈I，函數(shù)f在[c,d]上的δ-變差Vf,δ[c,d]定義為f的δ-振幅在[c,d]上的積分。

在不產生混淆時，可以簡單地記為Vf,δ.

引理1.1設f是I上的連續(xù)函數(shù)，則

則稱這共同的值為函數(shù)f圖像的盒維數(shù)，記為dimBΓ(f,I)[8].

引理1.2 如果dimBΓ(f,I)≠dimBΓ(g,I)，則

dimBΓ(f+g,I)=max{dimBΓ(f,I)，dimBΓ(g,I)}[8].

因此，我們有如下問題：

(2)dimBΓ(fg,I)=max{dimBΓ(f,I),dimBΓ(g,I)}是可能的嗎？

2 定理及證明

定理2.1 設f,g是I上的連續(xù)函數(shù)，有

證明設δ>0，對任意x∈I，x1，x2∈[x-δ，x+δ]∩I，有

Ofg,δ(x)=sup|f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)|

≤sup(M(g)|f(x1)-f(x2)|+M(f)|g(x1)-g(x2)|)

≤supM(g)|f(x1)-f(x2)|+supM(f)|g(x1)-g(x2)|

≤2max{M(g),M(f)}(Of,δ(x)+Og,δ(x)).

這里M(f)=maxx∈If(x)，M(g)=maxx∈Ig(x).記A=2max{M(g),M(f)}，則

Vfg,δ≤A(Vf,δ+Vg,δ)≤2Amax{Vf,δ,Vg,δ}.

由引理1.1得

≤limδ→0sup(2-log(2A·max{Vf,δ，Vg,δ})·(logδ)-1)

=limδ→0sup(2-log 2A·(log δ)-1-log max{Vf,δ，Vg,δ})·(logδ)-1)

=limδ→0sup(2-log max{Vf,δ，Vg,δ}·(logδ)-1)

定理2.2 設f,g是I上的連續(xù)函數(shù)，且f,g>0.若dimBΓ(f,I)≠dimBΓ(g,I)，則dimBΓ(fg,I)=max{dimBΓ(f,I),dimBΓ(g,I)}.

證明：設dimBΓ(f,I)>dimBΓ(g,I)，記C1=minx∈If(x)，C2=maxx∈If(x)，則C2≥C1>0.

由于

|logf(x1)-logf(x2)|=|f(x1)-f(x2)|·(f(x′))-1

其中x′屬于x1與x2之間的數(shù)。進而有

故由引理1.1得

=limδ→0inf(2-logVf,δ·(logδ)-1)

由于dimBΓ(f,I)存在，可得dimBΓ(logf,I)=dimBΓ(f,I).由于dimBΓ(g,I)存在，同理可得dimBΓ(logg,I)=dimBΓ(g,I).

由假設可知dimBΓ(f,I)>dimBΓ(g,I)，則dimBΓ(logf,I)>dimBΓ(logg,I).由引理1.2可知，dimBΓ(logf+logg,I)存在，且

dimBΓ(logf+logg,I)=max{dimBΓ(logf,I),dimBΓ(logg,I)}.

即dimBΓ(logfg,I)存在，則dimBΓ(fg,I)=dimBΓ(logfg,I)，且

dimBΓ(fg,I)=max{dimBΓ(f,I),dimBΓ(g,I)}.

3 結論

(1)兩個連續(xù)函數(shù)乘積的圖像的上盒維數(shù)不大于每一個連續(xù)函數(shù)的圖像的上盒維數(shù)。

(2)對于任意兩個連續(xù)函數(shù)，當其函數(shù)圖像的盒維數(shù)存在且不等時，得到兩個函數(shù)乘積圖像的盒維數(shù)存在并且等于兩者中的最大一個。