整體思考　聚焦核心　提升素養(yǎng)

葉國(guó)苗

【摘要】畢業(yè)總復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是回顧知識(shí)、提升能力的重要途徑。數(shù)學(xué)教材中“圖形的運(yùn)動(dòng)”主要涉及圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、擴(kuò)大和縮小，本文試著通過(guò)對(duì)思考復(fù)習(xí)的要素、把握復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)來(lái)明確如何對(duì)“圖形的運(yùn)動(dòng)”進(jìn)行全面、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，力求做到胸中有“標(biāo)”、心中有“本”、眼中有“生”，探尋有效的復(fù)習(xí)路徑，進(jìn)而形成畢業(yè)總復(fù)習(xí)的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】圖形 運(yùn)動(dòng) 復(fù)習(xí)

畢業(yè)總復(fù)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的最后一環(huán)，它承載著回顧知識(shí)、整理結(jié)構(gòu)、形成網(wǎng)絡(luò)、提升能力、發(fā)展思維的獨(dú)特功能，還能順利完成中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接。

“圖形的運(yùn)動(dòng)”這一知識(shí)點(diǎn)在小學(xué)數(shù)學(xué)中主要安排了四個(gè)板塊：二年級(jí)下冊(cè)安排軸對(duì)稱(chēng)圖形的認(rèn)識(shí)，平移、旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí);四年級(jí)下冊(cè)要求畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形的另一半以及平移后的圖形;五年級(jí)下冊(cè)要求能具體地描述圖形的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形;六年級(jí)下冊(cè)在比例單元中安排了圖形的擴(kuò)大與縮小。筆者認(rèn)為，要把這四個(gè)板塊的內(nèi)容整合到一節(jié)課中進(jìn)行系統(tǒng)的整理與復(fù)習(xí)，需要對(duì)其進(jìn)行整體思考，著力構(gòu)建知識(shí)體系。

一、整體思考復(fù)習(xí)要素

長(zhǎng)期以來(lái)，教學(xué)總復(fù)習(xí)普遍呈現(xiàn)了“冷飯重炒”的傾向，實(shí)踐中一些教師發(fā)出了復(fù)習(xí)課難上的感慨。這給我們研究總復(fù)習(xí)提出了思考與分析，教學(xué)中要立足于“促進(jìn)學(xué)生發(fā)展”的理念，努力追尋符合課改精神的目標(biāo)。

1.尋找合理的教學(xué)目標(biāo)體系

教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)一節(jié)課的靈魂，準(zhǔn)確把握“圖形的運(yùn)動(dòng)”復(fù)習(xí)課需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是要全面了解和把握“圖形的運(yùn)動(dòng)”的知識(shí)點(diǎn)，明確四大板塊中原來(lái)已經(jīng)達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)確把握學(xué)生遇到的困難與疑惑。二是要正確認(rèn)識(shí)“圖形的運(yùn)動(dòng)”教材編排的規(guī)律，從圖形運(yùn)動(dòng)的感知到動(dòng)手畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形再到根據(jù)角度畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，最后根據(jù)比例來(lái)畫(huà)出擴(kuò)大與縮小的圖形。

基于上述思考并結(jié)合六年級(jí)的要求可以整體架構(gòu)教學(xué)目標(biāo)：一是在知識(shí)整理的過(guò)程中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平面圖形中存在平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象;二是建構(gòu)起圖形運(yùn)動(dòng)知識(shí)體系，明確知識(shí)的來(lái)龍去脈;三是了解圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)的變與不變的規(guī)律與性質(zhì);四是會(huì)用圖形平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（軸對(duì)稱(chēng)）揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

2.尋找同類(lèi)知識(shí)間的共性

將共性的或同類(lèi)型的知識(shí)通過(guò)類(lèi)比串在一起，既能揭示共性，又能突出各自的特點(diǎn)，從而提高學(xué)生的記憶能力、理解能力和運(yùn)用能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的圖形運(yùn)動(dòng)只研究平面上圖形運(yùn)動(dòng)及運(yùn)動(dòng)后所形成的圖形，在整體認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)后，分別在三個(gè)年級(jí)安排了動(dòng)手實(shí)踐環(huán)節(jié)，畫(huà)出平移、旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)大（縮小）后的圖形。在復(fù)習(xí)時(shí)，教師要讓學(xué)生再現(xiàn)這三種圖形的變換，進(jìn)一步通過(guò)觀察、思考、類(lèi)比，在不同的運(yùn)動(dòng)中尋找相同的地方，感受數(shù)學(xué)中變與不變的思想;引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑“不一樣的運(yùn)動(dòng)方式，其運(yùn)動(dòng)的核心要素是什么”“明確運(yùn)動(dòng)前后的圖形什么變了，什么沒(méi)有發(fā)生變化”，溝通四種運(yùn)動(dòng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建圖形運(yùn)動(dòng)的整體框架（如圖1）。

3.尋找不同知識(shí)間的聯(lián)系

著名數(shù)學(xué)教授鄭毓信指出：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建起整體性的知識(shí)系統(tǒng)，特別是要尋找不同知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而構(gòu)建起學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)。

“圖形的運(yùn)動(dòng)”復(fù)習(xí)中，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)適度開(kāi)發(fā)一些學(xué)習(xí)素材，拓展、改變數(shù)學(xué)例題與習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、思考感受圖形變換的深層次知識(shí)的應(yīng)用，如平面圖形面積公式的推導(dǎo)、通過(guò)平移旋轉(zhuǎn)求圖形的面積等，充分理解圖形與圖形運(yùn)動(dòng)中知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生多角度、多途徑來(lái)分析、解決問(wèn)題的能力（如圖2），初步形成“以聯(lián)系的眼光研究數(shù)學(xué)、分析數(shù)學(xué)”的意識(shí)與能力。

二、整體把握復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)

在畢業(yè)復(fù)習(xí)課中，“復(fù)習(xí)什么”比“怎樣復(fù)習(xí)”更重要。我們要立足教材內(nèi)容，著眼學(xué)生需求，根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)將復(fù)習(xí)內(nèi)容有針對(duì)性地進(jìn)行梳理，突出重點(diǎn)、把握難點(diǎn)，以提高目標(biāo)的達(dá)成度。

1.架構(gòu)知識(shí)體系

四十分鐘的一節(jié)課，要把四個(gè)板塊的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效的復(fù)習(xí)，教師需要對(duì)整個(gè)知識(shí)體系進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主復(fù)習(xí)、合作交流對(duì)所涉及的內(nèi)容進(jìn)行一次整理與優(yōu)化。我們可以采取“前測(cè)反饋—分析優(yōu)化—比較歸納—解決問(wèn)題”的教學(xué)思路，讓學(xué)生利用表格整理這部分內(nèi)容的“知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”，發(fā)揮“溫舊知、明聯(lián)系”的作用。

2.聚焦核心內(nèi)容

“圖形的運(yùn)動(dòng)”是圖形與幾何中一個(gè)重要的內(nèi)容，教材在練習(xí)中安排了作圖、操作利用比例知識(shí)進(jìn)行面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)具體的情景把三種圖形的運(yùn)動(dòng)整合起來(lái)，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、完整性地呈現(xiàn)出來(lái)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，這就是本節(jié)課復(fù)習(xí)的核心內(nèi)容。因此，復(fù)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生努力尋找本節(jié)課的核心知識(shí)、探尋各知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系，達(dá)到復(fù)習(xí)的基本目的和要求。

3.抓典型錯(cuò)誤

畢業(yè)復(fù)習(xí)課的一項(xiàng)重要功能是幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺。我們要積極利用前測(cè)了解學(xué)生在哪些知識(shí)上有學(xué)習(xí)障礙，哪些地方存在學(xué)習(xí)漏洞，充分利用前測(cè)中學(xué)生的典型錯(cuò)例，在分析與交流中暴露學(xué)生的思維水平。

如畫(huà)出兩次平移后的圖形需要借助第一次平移或分別平移（如圖3），放大的圖形只有一條邊按2∶1放大（如圖4）。在學(xué)生辨析、討論和修改的過(guò)程中，讓學(xué)生利用點(diǎn)的平移畫(huà)出兩次平移后的最終圖形;通過(guò)對(duì)圖形形狀的判斷，明確圖形放大的本質(zhì)。

三、整體實(shí)施復(fù)習(xí)內(nèi)容

在復(fù)習(xí)中，我們都有共識(shí)，“知識(shí)梳理”與“習(xí)題訓(xùn)練”是一節(jié)復(fù)習(xí)課的兩翼，通過(guò)知識(shí)梳理，引導(dǎo)學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，明確各知識(shí)點(diǎn)的核心內(nèi)容;通過(guò)系統(tǒng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生提升知識(shí)技能，發(fā)展思維品質(zhì)。

（一）自主梳理，形成結(jié)構(gòu)

我們認(rèn)為復(fù)習(xí)課的一個(gè)重要任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生將各個(gè)年級(jí)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理。板塊式的內(nèi)容可以建構(gòu)網(wǎng)絡(luò);散狀式的知識(shí)可以溝通聯(lián)系。

1.自主回憶，再現(xiàn)知識(shí)

知識(shí)梳理是復(fù)習(xí)課的重要環(huán)節(jié)。通過(guò)翻閱書(shū)本、大腦回憶，將一些曾經(jīng)遺忘的知識(shí)進(jìn)行提取和再現(xiàn)，為進(jìn)一步運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題埋下伏筆。

課始，多媒體出示圖例（如圖5），教師設(shè)疑：這三幅圖包含了怎樣的圖形運(yùn)動(dòng)？組織學(xué)生從圖形的結(jié)構(gòu)、樣態(tài)進(jìn)行一個(gè)動(dòng)態(tài)、靜態(tài)的思考，逐漸梳理出小學(xué)階段所學(xué)的四種圖形變化：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)、放大與縮小。然后組織學(xué)生分別說(shuō)說(shuō)這些圖形中哪里用到了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)、放大與縮小。這樣的環(huán)節(jié)安排自然、合理，使學(xué)生能一下子聚焦到本節(jié)課所要復(fù)習(xí)的內(nèi)容上，有利于在大腦中建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

2.構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，甄別異同

復(fù)習(xí)能把零散的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)整理串成一條線，能清晰地感受到知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別。完成第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形的形狀、大小、位置、要素等角度進(jìn)行思考，并用表格的形式呈現(xiàn)出來(lái)，便于知識(shí)的分類(lèi)、系統(tǒng)整理，方便比較和溝通。通過(guò)這樣的環(huán)節(jié)，學(xué)生不僅能清晰地理解四種運(yùn)動(dòng)方式的特征，知道各種運(yùn)動(dòng)間的異同點(diǎn)，還能在知識(shí)整理的過(guò)程形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、提升整理意識(shí)。

（二）精心編題，提升能力

知識(shí)的習(xí)得都需要一定量的練習(xí)，我們的練習(xí)設(shè)計(jì)既要鞏固已學(xué)的知識(shí)，又要尋找知識(shí)點(diǎn)背后的思想與方法，這樣才能快速提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。

1.尋找原點(diǎn)，把握本質(zhì)

總復(fù)習(xí)課的練習(xí)要整體關(guān)注知識(shí)的結(jié)構(gòu)，重視知識(shí)的綜合運(yùn)用。在復(fù)習(xí)題的設(shè)計(jì)中，要尋找到與核心知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，整體性地呈現(xiàn)在學(xué)生面前。隨后，出示五年級(jí)上冊(cè)平面圖形面積的推導(dǎo)方式，組織學(xué)生寫(xiě)出陰影部分的運(yùn)動(dòng)方式（如圖6）。

在教學(xué)三類(lèi)平面圖形面積推導(dǎo)的過(guò)程中，教師往往較多地關(guān)注數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，很少關(guān)注在轉(zhuǎn)化思想的背后是圖形運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的一種結(jié)果，其核心就是“平面圖形幾何運(yùn)動(dòng)時(shí)的不變量”。

我們認(rèn)為：圖形運(yùn)動(dòng)的重要特性是通過(guò)運(yùn)動(dòng)之后圖形的形狀和大小保持不變，割補(bǔ)法就是這一特性的使用。站在圖形運(yùn)動(dòng)的角度重新審視面積的推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生有一種豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，往往能抓住問(wèn)題本質(zhì)，體會(huì)轉(zhuǎn)化法的內(nèi)涵。

2.辨析練習(xí)，拓寬思維

復(fù)習(xí)鞏固時(shí)，設(shè)計(jì)一些專(zhuān)項(xiàng)的對(duì)比性練習(xí)有利于學(xué)生在類(lèi)比、辨析中把握知識(shí)內(nèi)涵，提升思維品質(zhì)。筆者認(rèn)為，可以繼續(xù)借助圖形的面積計(jì)算來(lái)進(jìn)行深化，設(shè)計(jì)如下兩題：（1）如圖7，某小學(xué)有一個(gè)長(zhǎng)34米，寬21米的花海，如果花海的中間修2條小路，小路的寬度是1米，求花海的面積是多少平方米。（2）如圖8，求出圖中陰影部分的面積。

我們發(fā)現(xiàn)，第（1）題可以讓學(xué)生嘗試練習(xí)計(jì)算，然后比較兩種方法（如圖9）。在對(duì)比中學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)第二個(gè)方法較為簡(jiǎn)便，然后教師追問(wèn)為什么，學(xué)生自然會(huì)想到運(yùn)用了圖形的平移方式來(lái)解決;而第（2）題要巧妙解決需利用圖形的旋轉(zhuǎn)（或?qū)ΨQ(chēng)）來(lái)解決。通過(guò)這樣的練習(xí)，讓學(xué)生充分感受到圖形的運(yùn)動(dòng)在解決實(shí)際問(wèn)題中的廣泛運(yùn)用。

34×21-34×1-21×1+1×1? ? ? ? ? ?（34-1）×（21-1）

=714-34-21+1 ? ? ? ? ? =33×20

=680-21+1 ? ? ? =660（平方米）

=660（平方米）

3.分層練習(xí)，尊重差異

學(xué)生的認(rèn)知能力具有一定的差異性，教師應(yīng)該充分尊重這種差異性，設(shè)計(jì)有一定梯度性和開(kāi)放性的題目來(lái)滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展需求。如探索圖形之間的變換關(guān)系，可以出示書(shū)本習(xí)題（如圖10），組織學(xué)生思考：仔細(xì)觀察涂色部分，你有什么發(fā)現(xiàn)？讓學(xué)生能根據(jù)圖形的組成和圖形的運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖的涂色部分的面積是一樣的，進(jìn)一步明白圖形運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律。

為了感受圖形運(yùn)動(dòng)在圖形計(jì)算中的價(jià)值，設(shè)計(jì)這樣的習(xí)題：一個(gè)直角三角形ABC的兩條直角邊長(zhǎng)分別是3厘米和4厘米，把它按2∶1放大后得到三角形DEF。三角形ABC與DEF的周長(zhǎng)之比是多少？面積之比呢？

學(xué)生往往計(jì)算出原三角形的面積，再分別按比例擴(kuò)大求出面積之比。直面學(xué)生思維認(rèn)知障礙，讓學(xué)生在網(wǎng)格中畫(huà)圖驗(yàn)證，從而把握?qǐng)D形放大與縮小的本質(zhì)。

總之，畢業(yè)總復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，整體把握各知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)屬性，有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生不僅掌握知識(shí)，還能提升能力，這樣才能讓復(fù)習(xí)更加接地氣，更加有生命力。