數學問題解決教學設計的創(chuàng)新示例

【摘?要】數學問題解決教學設計要求教師不能將自己的解題思維不加變動地呈現給學生，而是必須促進學生產生整理與組織信息的行為活動，啟發(fā)學生通過對信息的處理過程，自行地萌生（數學）觀念，在觀念指導下發(fā)生有意識、有目的的行為。這樣的教學過程實現了理解數學知識，生成數學觀念，產生數學猜想，形成解題能力，落實核心素養(yǎng)，萌生數學情感等教育價值。

【關鍵詞】數學問題解決;教學設計;以行致知;由知導行

【作者簡介】楊經驗，高級教師，淮北市濉溪縣教育科學研究室中學數學教研員，主要研究方向為數學教育研究;張昆，高級教師，博士，主要研究方向為數學教學論、數學課程論、數學教育哲學、數學史等。

美國數學家哈爾莫斯說，問題是數學的心臟，是展開思維的動力。數學問題解決是鞏固數學知識、發(fā)展數學能力、萌發(fā)數學觀念、產生數學猜想（想象）、養(yǎng)成核心素養(yǎng)的重要途徑;數學問題解決是體驗創(chuàng)造精神、激發(fā)學習興趣的前提;數學問題解決是將形成的數學能力與經驗遷移到新情境（超過數學的范圍）的關鍵。本文通過探究“以行致知”與“由知導行”統(tǒng)一的數學問題解決的創(chuàng)新教學設計，實現數學問題解決的教育價值。

一、數學問題解決教學設計創(chuàng)新實踐示例

數學問題解決對促進學生理解教材（特定數學知識）起到了重要的作用。那么，促進學生理解數學知識的最有成效的數學問題是什么？教師應通過何種途徑將教材所提供的練習題轉化為富有成效的數學問題？這些都是在數學問題解決教學設計中，教師必須要考慮的問題。因為數學問題解決的教學價值具有等級層次性，除了取決于數學問題自身的性質與特點，教師的教學設計及其課堂實施方式也起到重要作用。筆者在聽了一位教師的一節(jié)“三角形內角和定理”公開課后，就數學問題解決的教學設計做一些探討。

例題?已知：如圖1，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求證：∠CAD=∠CBA。

師：記∠ADC=∠BAC ①，∠CAD=∠CBA ②。用不同標識標示圖1中①②這兩個對等角。

生1：線段AD分割條件①中的∠BAC，因為圖形重疊會影響探索問題的思路，所以先解決重疊問題，使我們更容易看清圖形的本質。

師：請你動手試一試。

（學生活動關鍵環(huán)節(jié)：把圖1中的△ADC平移出來，得到了圖2與圖4，根據已知條件①和要證明的結論②，把圖2變換成圖3的位置形態(tài)。教師相機板書作圖，學生用不同標識標示出圖1中①②兩個對等角。）

師：對比圖3與圖4，大家有什么新發(fā)現嗎？

生2：比較圖3與圖4中的兩個三角形的相關角得：

已知條件是∠ADC=∠BAC?①，所求結論是∠CAD=∠CBA?②，公共角是∠ACD=∠BCA?③。

生3：①和③成立，要求證的結論②應該也成立。

師：還有其他想法嗎？

生4：應用三角形的內角和等于180°進行解題。

師：如何應用？

生5：①②③式左邊的三個角分別是△DAC三個內角，①②③式右邊的三個角分別是△ABC三個內角。把這三個等式左、右兩邊分別相加，得到這兩個三角形的內角和等于180°，即∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°。

師：下一步該怎么辦呢？

生6：兩個等式右邊都是180°，知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB ④。只要將④的左、右兩邊分別減去①③的左、右兩邊，得到結論②成立。[1]

師：下面請同學們寫出完整的證明過程。

（學生板書）

該課例無論是教學設計還是課堂實施，都有獨到之處，蘊含了數學教學設計及其課堂實施的創(chuàng)新思想。為了探尋課例的深層價值，為今后的教學提供借鑒，筆者從理論內涵與實踐內涵做進一步分析。

二、課例的理論內涵

課例展示的師生活動過程所提供的信息，能夠抽象出某種程度上的理論意蘊，這對于發(fā)展時代教學理念，指導教師的教學設計及其課堂實施的行為具有重要作用。下文以“以行致知”與“由知導行”辯證統(tǒng)一的關系，探索數學問題解決的一般思維活動環(huán)節(jié)。

在真實的數學問題解決中，發(fā)現問題思路的關鍵性環(huán)節(jié)是理解與把握問題的條件信息。如果解題主體不知道條件信息所隱含的意義，那就不能解決問題（這是某種程度上的“以行致知”的活動過程）。解題主體用自己的解題經驗，使條件信息進行合適的關聯(lián)，組成正確率比較高的脈絡輪廓，由這個脈絡輪廓決定選擇利用某個與它相似的具體知識結構（這是“由知導行”的活動過程）。“以行致知”與“由知導行”統(tǒng)一其實就是解題主體從題設信息所得到的脈絡輪廓與他已經掌握的數學知識結構互相磨合、調適的過程;任何數學問題，只有經由這兩者統(tǒng)一的過程，才能獲得解決問題的思路[2]。

“以行致知”與“由知導行”的統(tǒng)一過程可以簡單地概述為解題主體辨別條件信息的具體特點，抽繹出支點信息，抽繹的心理活動是由條件信息與學習掌握的數學知識結構之間互相吸引、相互誘導、互相滲透、相互調整的產物;基于支點信息與外圍信息組織成具體數學知識結構的信息脈絡輪廓;由脈絡輪廓提示解題者選擇具體的數學知識結構;當信息脈絡輪廓與數學知識結構相統(tǒng)一時，問題便得以解決[3]（如圖5）。

關于“以行致知”與“由知導行”的統(tǒng)一過程，筆者將其稱為數學知識結構封裝外在數學化信息的過程，簡稱“信息封裝”的過程。因為解題主體在對條件信息（經由肢體或心智）的操作活動中，形成解題主體起承轉合的心智活動與肢體活動相互配合、相互驗證、相互促進的作用，從而萌生出一系列數學觀念，這些數學觀念指導解題主體的解題活動，這是“以行致知”與“由知導行”統(tǒng)一的重要標識。它為教師在數學問題解決中提供啟發(fā)式教學設計的方向。

數學問題解決教學設計及其課堂實施創(chuàng)新的重要心理意向在于，當學生面對外在條件信息時，教師不是將其獲得的解題思路的關鍵環(huán)節(jié)和盤托出呈現給學生，而是應該啟發(fā)學生確定支點信息，并以其為“凝聚核”吸收外圍信息，形成信息脈絡輪廓，由信息輪廓的特點選擇封裝它的具體數學知識，最終以這個數學知識結構為藍本對信息脈絡輪廓加以檢驗，實現“信息封裝”。在教學設計及其課堂實施中，教師要做足功課，重在啟發(fā)學生不斷地生成數學觀念，用以指導他們發(fā)現解題思路的一系列活動，這正是數學問題解決教學設計及其課堂實施創(chuàng)新的主旨所在。

數學問題解決不是解題主體行為活動的直接結果，因為只有當主體依據解題的目的產生有意識的行為時，才會對問題解決發(fā)生作用。而這種目的是由主體已經掌握好的知識與觀念提供的。當主體目前還不具備這樣的觀念時，教師要想方設法啟發(fā)學生萌生出數學觀念，而不是直接向學生發(fā)出具體行動的觀念指令，這正是形成主體創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)。當主體將信息組織成脈絡輪廓時，如果發(fā)現與決定這一脈絡輪廓的知識結構存在差異時，例如，脈絡輪廓中缺少知識結構所要求的某些環(huán)節(jié)的信息元素，或者信息元素的位置難以調適成知識結構所要求的形態(tài)時，這就為解題主體尋求隱含條件提供動力。此時，猜想與想象的作用就應運而生了，由此可以提高解題主體洞幽察微的信息處理能力。

數學問題解決也不是主體已經擁有的知識結構的直接應用（因為主體所掌握的知識結構不同于客觀知識），而是已經由人的數學觀念系統(tǒng)賦予某種程度上的能動性。因為雖然主體意識結構中的知識結構本身具有客觀性，但不能自動地適應問題所提供的信息。數學問題解決的過程必須在知識結構的引導下，主體通過活動探究信息的可能組成脈絡輪廓，然后以知識結構為范式對所形成的信息脈絡輪廓加以檢驗。在此過程中，知識結構首先轉化觀念形態(tài)，由觀念的攜載，調動它作用于信息的脈絡輪廓。因此，這個課例的理論內涵就是數學問題解決的教學設計必須幫助學生實現“以行致知”與“由知導行”相統(tǒng)一的過程。

三、課例的實踐內涵

這一課例源于某位教師的一節(jié)數學公開課，這位教師選擇這道練習題作為“三角形內角和定理”教學內容的例題，目的是為了鞏固“三角形內角和定理及其推論”這節(jié)新授課的知識。該教師利用多媒體呈現了問題，通過講授法，向學生闡釋分析過程。因為∠BAC=∠CAD+∠BAD，∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAD為公共角，于是，通過觀察發(fā)現，為了證明結論∠CAD=∠CBA成立，只要證明∠BAC=∠ADC就達到目的了，而∠BAC=∠ADC是已知條件，顯然成立。接著，該授課教師利用多媒體展示了證明過程，整個教學過程一氣呵成。

在聽課中，筆者觀察到有少數學生就是如此直接發(fā)現解題思路的，說明這樣的課堂實施方式確實具有一定的適應性基礎。同時筆者還發(fā)現，大多數學生雖然能聽得懂教師講授的結論，但是對如此迅捷地獲得解題思路感到非常突然。因為圖形比較復雜，如果教師沒有對分析過程進行提示，學生很難想到這樣的解題思路。由于整個教學過程都是通過多媒體呈現，學生沒有通過自行探究形成自己的解題思路，這種教學方式比較難以啟發(fā)學生萌生指令行為活動的數學觀念，學生體悟不到“信息封裝”的過程。

從某種程度上說，這樣的證明書寫過程只是對發(fā)現過程做比較精致的整理和記錄而已，如果將這種“記錄”直接地呈現給學生，那就削弱了數學解題的教學價值[4]。

因此，教師應通過反思這種“記錄”的心理來源，認識到獲得解題思路的諸多環(huán)節(jié)的思維活動過程至關重要。教師在教學設計及其課堂實施中，應力求將“記錄”的結果還原為這種結果的生成過程，即從分析信息要素，確定支點信息，萌生信息脈絡，選擇知識框架，實現“信息封裝”，從而啟發(fā)學生歷經整個探究問題思路的心理過程，如此，才能發(fā)揮數學解題教學的價值，實現解題教學目標。

在整個教學過程，筆者只用寥寥數語來啟發(fā)學生從操作外在數學化信息著手，引導學生從行動出發(fā)，要求學生標示出題設（圖形）中的相等的角，促進學生感悟信息、組織信息，再將學生找到的條件經由選擇合適的表征，使信息組織成信息輪廓，即板書①②③所產生的表征，由此表征啟發(fā)學生萌生選擇三角形內角和定理來“封裝信息”的數學觀念，這是解決數學問題的“頓悟”的過程（“以行致知”），它是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的基石。

比較這位教師與筆者的教學設計及其課堂實施過程發(fā)現，授課教師采用的是講授法教學方式，而筆者采用的啟發(fā)式教學方式。顯然，這兩種教學方式所產生的教學價值不同，實現的教學目標層次也不同。前者重在要求學生記住分析過程（其實只是“由知導行”，而沒有“以行致知”這個環(huán)節(jié)），而后者著重培養(yǎng)學生自己分析條件信息，并從中獲得信息脈絡輪廓（“以行致知”），然后選擇知識框架進行信息封裝（“由知導行”）。筆者在教學設計及其課堂實施中實現了“以行致知”與“由知導行”的辯證統(tǒng)一，從而最大限度地發(fā)揮例題的教學價值。

四、結語

這是一個數學問題解決教學設計的創(chuàng)新實踐課例，它基于“以行致知”與“由知導行”統(tǒng)一的教學過程，說明了為實現數學解題教學的價值，教師不能將自己發(fā)現的解題思維不加變動地呈現給學生，而是應該促進學生產生整理與組織信息的行為活動，啟發(fā)學生通過對信息的操作過程，自行地萌生（數學）觀念，在觀念指導下發(fā)生有意識、有目的的行為，從而幫助學生實現理解數學知識，生成數學觀念，形成解題能力，產生數學想象，養(yǎng)成數學素養(yǎng)，萌生數學情感等教育價值。

參考文獻：

[1]張昆.整合數學教學設計的取向：基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究[J].中國教育學刊，2011（6）：52-55.

[2]鄭毓信.傳統(tǒng)應用題教學之當代重建（上）[J].中小學課堂教學研究，2020（1）：3-7.

[3]張昆，羅增儒.數學解題教學設計的實踐探索：透過將解題形態(tài)轉化為教學形態(tài)的視點[J].中小學課堂教學研究，2019（2）：16-19.

[4]張昆.潛心教學研究?實現專業(yè)成長：例析提升數學教師教學水平的心路歷程[J].中學數學（高中版），2016（4）：48-52.

（責任編輯：陸順演）