完善數(shù)學(xué)知識體系 促進(jìn)學(xué)生有效建構(gòu)
——我國臺灣地區(qū)翰林版小學(xué)《數(shù)學(xué)》“幾何”（含測量）的特點(diǎn)及啟示

蘭贈連

（福建省武平縣教師進(jìn)修學(xué)校）

一、緣起：對公頃與平方米之間面積單位斷層的思考

近來，筆者所在縣某校六年級的一位教師隔著屏幕布置學(xué)生整理以前學(xué)過的面積單位，并提出相應(yīng)的問題。在學(xué)生提出的諸多問題中有一個共性的問題是類似于圖1這位學(xué)生提出的第1個問題。雖然學(xué)生表述該問題的形式不盡相同，但其完整的意思都是：“為什么公頃與平方米之間的進(jìn)率是10000，而其他兩個相鄰面積單位之間的進(jìn)率是100？”學(xué)生都聚焦于同一個問題，可能與在學(xué)習(xí)“公頃和平方千米”單元內(nèi)容（人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級上冊）時，教師就教材教教材——教材沒有編排“公畝”這個面積單位有關(guān)。如果把“公畝”補(bǔ)上，相鄰兩個面積單位之間的進(jìn)率就都是100。因?yàn)闆]有學(xué)習(xí)“公畝”，有一部分學(xué)生在遇到有關(guān)平方米和公頃之間的化聚問題時屢屢出錯，對在“1”的后面究竟有幾個“0”常常產(chǎn)生疑惑。

圖1 學(xué)生整理的小學(xué)階段學(xué)過的面積單位及提出的疑問

最近，我研讀了我國臺灣地區(qū)翰林版小學(xué)《數(shù)學(xué)》12冊教材內(nèi)容中的“幾何”（含測量）主題內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)其在完善數(shù)學(xué)知識體系、促進(jìn)學(xué)生有效建構(gòu)方面很有特色。

二、特點(diǎn)：從內(nèi)容到編排

（一）主題內(nèi)容：單、跨、移、缺

我國臺灣地區(qū)翰林版小學(xué)《數(shù)學(xué)》12冊教材內(nèi)容涵蓋“數(shù)與量”“幾何”“代數(shù)”“統(tǒng)計與機(jī)率”“連結(jié)”等五大主題。其中“幾何”主題內(nèi)容與大陸小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容相比較，有明顯的不同。其特點(diǎn)可用“單、跨、移、缺”四個字來概括。一是“單”，是單獨(dú)屬于“幾何”主題的內(nèi)容，主要包括平面和立體基本圖形的認(rèn)識、圖形的特征和分類、圖形運(yùn)動中的線對稱圖形（我們大陸稱為“軸對稱圖形”）、縮放圖與比例尺（我們大陸將其歸入“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域）。二是“跨”，是跨越“數(shù)與量”和“幾何”兩個主題的內(nèi)容，包括理解面積（底面積、表面積）與周長公式、體積公式。三是“移”，將長度（周長）、面積（底面積、表面積）、角度、體積、容積等有關(guān)測量的概念、度量單位及單位之間的換算、大小比較等內(nèi)容移到“數(shù)與量”中“量”的部分。四是“缺”，缺少大陸小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中包含的圖形運(yùn)動中的平移和旋轉(zhuǎn)、位置與方向、觀察物體等內(nèi)容。總而言之，該版《數(shù)學(xué)》“幾何”主題內(nèi)容比我們大陸數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容少了許多，但是就其已呈現(xiàn)的知識編排來看，發(fā)現(xiàn)其在促進(jìn)學(xué)生知識建構(gòu)方面相當(dāng)用心，可以說是“少而精”。

（二）具體編排：構(gòu)建、明示、界定

因“測量”是我們大陸小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中作為培養(yǎng)學(xué)生空間觀念不可忽缺的四大部分（圖形的認(rèn)識、測量、圖形的運(yùn)動、圖形與位置）內(nèi)容之一，所以，本文在分析我國臺灣地區(qū)翰林版小學(xué)《數(shù)學(xué)》“幾何”主題內(nèi)容的編排特點(diǎn)時，把測量內(nèi)容也一并考慮進(jìn)去。

1.構(gòu)建發(fā)展路徑

該版教材“幾何”（含測量）主題內(nèi)容有一個明顯的特點(diǎn)就是“構(gòu)建發(fā)展路徑”。如本文開頭提到的面積單位，其在第十冊（五下）第8單元“生活中的大單位”之第二小節(jié)“8-2認(rèn)識公畝、公頃和平方公里”中，對公畝、公頃和平方公里這3個土地面積單位安排了四個層次的學(xué)習(xí)：一是認(rèn)識公畝：從“100平方公尺與1公畝哪個大”以及詼諧的問題：“公母，到底是公的還是母的”正反兩方面引入“公畝”概念，接著呈現(xiàn)字母表示法、用方格圖表示1公畝的大小以及公畝與平方公尺之間的進(jìn)率（圖2）（為了便于讀者閱讀，已將圖2～8教材內(nèi)容中的繁體字轉(zhuǎn)化成了簡體字）。二是認(rèn)識公頃：包括公頃的概念及其字母表示法、用方格圖表示1公頃的大小以及公頃分別與公畝、平方公尺之間的進(jìn)率（圖3）。三是認(rèn)識平方公里：包括平方公里的概念及字母表示法、用方格圖表示1平方公里的大小（圖4）。四是用3個連續(xù)的“＝”表示4個土地面積單位之間的進(jìn)率，形成相鄰兩個土地面積單位之間的進(jìn)率都是100的發(fā)展路徑（圖5）。另外還安排了有關(guān)土地面積單位化聚的9個例題，因篇幅所限，不作贅述。

圖2 認(rèn)識公畝

圖3 認(rèn)識公頃

圖4 認(rèn)識平方公里

圖5 土地面積單位之間的進(jìn)率

2.明示銜接內(nèi)容

該版教材“幾何”（含測量）主題內(nèi)容的第二個特點(diǎn)是“明示銜接內(nèi)容”。該特點(diǎn)表現(xiàn)在兩個方面：首先，明示與單元內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的前后銜接內(nèi)容。這個特點(diǎn)不僅僅體現(xiàn)在“幾何”主題，其他主題內(nèi)容也一樣，即每單元起始頁主題圖的下方，都明示“以前學(xué)過的”“本單元要學(xué)的”“以后要學(xué)的”三個階段的內(nèi)容，以及“溫故練習(xí)”。這樣編排有利于激活中、下水平學(xué)生的記憶，為他們打通新、舊知識之間的聯(lián)系，使他們獲得對新知進(jìn)行延展聯(lián)想的思維支撐。如第十冊（五下）“容積”單元的起始頁下方明示了與“容積”單元內(nèi)容有關(guān)的以前學(xué)過的知識、本單元要學(xué)習(xí)的要點(diǎn)和以后要學(xué)的內(nèi)容（圖6）。其次，明示與某個具體知識相關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。如第十二冊（六下）“角柱與圓柱”單元內(nèi)容之第三小節(jié)“2-3角柱與圓柱的體積”中，在學(xué)習(xí)底面為平行四邊形的柱體體積時，先以“溫故”的形式呈現(xiàn)其學(xué)習(xí)基礎(chǔ)——以前學(xué)過的長方體體積計算公式、底面積計算公式、簡化的體積計算公式及所屬冊別和單元標(biāo)題（圖7）。

圖6 與“容積”單元相關(guān)的前后銜接內(nèi)容

圖7 “底面為平行四邊形的柱體體積”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

3.界定概念內(nèi)涵

該版教材“幾何”（含測量）主題內(nèi)容的第三個特點(diǎn)是“界定概念內(nèi)涵”。如第十冊（五下）“容積”單元，明晰了容積概念“是指容器內(nèi)部空間的大小”，容量概念“是指將容器裝滿液體時，液體的量”和生活中經(jīng)常碰到的“c.c.”大小“1立方公分可以簡記成1c.c.”。其中容積概念用“容器”作為前置概念，暗含著空心的意思；用“內(nèi)部”這個表示具體位置的詞作定語來修飾空間，毫無疑問地表明了計量容積要從里面量的道理。該概念的界定形式既直接又簡單地揭示了容積的內(nèi)涵，與體積概念“物體占有的空間大小”構(gòu)成對比，使學(xué)生容易理解。另外，從第五冊（三上）開始到第十二冊（六下），每冊教材的后面都附錄了本冊教材中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)名詞解釋，以方便學(xué)生理解、查閱。如第十二冊（六下）附錄了關(guān)于“幾何”（含測量）主題內(nèi)容的兩個名詞“柱體的體積”和“柱體的表面積”（見表1）。

表1 數(shù)學(xué)名詞解釋表

三、啟示：把握知識的內(nèi)在邏輯

我國臺灣地區(qū)翰林版小學(xué)《數(shù)學(xué)》“幾何”（含測量）主題內(nèi)容的三個特點(diǎn)，可以給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來以下啟示。

（一）補(bǔ)齊知識斷層

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材，因各種各樣的原因，對部分知識有所取舍，造成數(shù)學(xué)知識的斷層。如人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》沒有編排與“公畝”有關(guān)的內(nèi)容，可能與其不是法定單位（我國公布施行的土地面積法定單位有3個：平方千米/平方公里、公頃、平方米）且應(yīng)用范圍不廣有關(guān)。有的取舍可能有利于學(xué)生對相關(guān)知識的建構(gòu)，但有的取舍卻可能適得其反。因而，教師要仔細(xì)研讀教材，盡力挖掘隱藏的數(shù)學(xué)知識，并仔細(xì)斟酌是否要將隱藏的數(shù)學(xué)知識顯性化，在教學(xué)中給予呈現(xiàn)。對有的應(yīng)當(dāng)補(bǔ)齊的知識斷層，不要拘泥于現(xiàn)有教材沒有將其編入的局限，而要大膽地將其結(jié)合在教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)習(xí)。正如剛才提到的“公畝”，雖然在人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級上冊“公頃和平方千米”單元中沒有出現(xiàn)，但在例1以國家體育場“鳥巢”的占地面積為例認(rèn)識完“公頃”之后，其下面的“做一做”題目：“在操場上量出邊長是10米的正方形，看看它的面積有多大。（ ）塊這么大的正方形的面積是1公頃”中隱含著一個面積單位“平方百米”——公畝。與之配套的《教師教學(xué)用書》明確了安排該題的目的：“通過測量活動，讓學(xué)生建構(gòu)起100平方米的直觀表象，為準(zhǔn)確建立1公頃的表象提供間接經(jīng)驗(yàn)支持。”既然這樣，從保證面積單位研究方式的延續(xù)性（邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米；邊長1分米的正方形，面積是1平方分米……邊長100米的正方形，面積是1公頃），面積單位的全面性、連續(xù)性以及學(xué)生思維發(fā)展的角度考慮，有必要讓這個隱藏著的面積單位露出“真面目”。因此，在學(xué)生完成“做一做”的測量活動后，教師可以順勢揭開“公畝”的“蓋頭”，讓這個面積單位及字母表示法在學(xué)生面前閃亮登場。另外，該單元也沒有給出公頃的字母表示法，但是在六年級下冊末尾的附表中又給出了公頃的字母表示法——“hm2”（這與國際上通用的公頃字母表示法“ha”不同）。所以，為了避免在六年級下冊突然出現(xiàn)公頃字母表示法的突兀，也有必要在該單元認(rèn)識公頃時，一并讓學(xué)生認(rèn)識我國使用的公頃的字母表示法“hm2”，以保證面積單位字母表示法的連續(xù)性。從量上看，學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，好像增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)；但從知識的結(jié)構(gòu)性和規(guī)律性來看，更有利于學(xué)生建構(gòu)一個完整的相鄰兩個面積單位之間的進(jìn)率都是100的縱向知識鏈。（圖9所示六年級下冊末尾的附表中關(guān)于面積的計量單位只給出了平方厘米、平方分米、平方米、公頃、平方千米，為了與學(xué)生在小學(xué)階段所認(rèn)識的長度單位“毫米、厘米、分米、米、千米”對應(yīng)，所以本知識鏈除了加上“公畝”外，還補(bǔ)上了平方毫米）學(xué)生可以憑借“100”這個規(guī)律進(jìn)行類推，有效解決有關(guān)面積單位間的化聚問題。

圖9 相鄰兩個面積單位之間的進(jìn)率

（二）溝通前后聯(lián)系

不同的數(shù)學(xué)知識之間或多或少都存在著聯(lián)系，只是有的聯(lián)系明顯，屬強(qiáng)聯(lián)系，容易發(fā)現(xiàn)；有的聯(lián)系則不明顯，屬弱聯(lián)系，需要經(jīng)過一些知識的中轉(zhuǎn)，搭建聯(lián)系的橋梁；有的甚至表面上看起來毫無聯(lián)系，需要轉(zhuǎn)換角度，或者透過表面深入本質(zhì)才能找到它們之間深藏著的聯(lián)系。教師在研讀教材時，要努力發(fā)現(xiàn)各種知識之間的隱性聯(lián)系，教有聯(lián)系的數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生有效建構(gòu)相關(guān)的知識體系。如在學(xué)生學(xué)完長方體體積計算公式的推導(dǎo)過程后，讓學(xué)生試著聯(lián)想以前學(xué)習(xí)的平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程——將平行四邊形剪拼成面積不變的長方形，如果把若干個一模一樣的平行四邊形重疊在一起，就成為一個底面是平行四邊形的柱體，也可以將這個柱體切拼成體積不變的長方體（圖10），由此可推導(dǎo)出底面是平行四邊形的柱體體積計算公式。同樣，從三角形、梯形及圓面積計算公式的推導(dǎo)過程可以聯(lián)想將若干個一模一樣的三角形、梯形、圓形采用重疊的方法分別變成底面是三角形、梯形、圓形的柱體，將兩個完全一樣的底面是三角形、或梯形的柱體拼成底面是平行四邊形的柱體，可以求出底面是三角形或梯形的柱體的體積計算公式；將圓柱切拼成體積不變的近似長方體，進(jìn)而推導(dǎo)出圓柱的體積計算公式，在此基礎(chǔ)上歸納出統(tǒng)一的柱體體積計算公式“柱體體積＝底面積×高”。這樣將立體圖形體積計算公式的推導(dǎo)過程與平面圖形面積計算公式的推導(dǎo)過程建立聯(lián)系，區(qū)別只在于，如平行四邊形、圓面積計算公式的推導(dǎo)過程是“等面積變形”，底面是平行四邊形、圓形柱體體積計算公式的推導(dǎo)過程是“等體積變形”。如果能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生像這樣在同類或不同類知識之間建構(gòu)聯(lián)系，對培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力將大有裨益。

圖10 兩種公式推導(dǎo)過程的聯(lián)系圖

（三）揭示概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中的一個不可忽缺的部分。學(xué)生學(xué)習(xí)某類數(shù)學(xué)知識，首先是始于對該類知識相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，是從概念出發(fā)，然后將學(xué)習(xí)一步一步推向深入。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要重視引導(dǎo)學(xué)生撥開概念中的“詞語迷霧”，揭示概念的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度學(xué)習(xí)。如人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級下冊“長方體和正方體”單元中的“容積和容積單位”的教學(xué)，要重視引導(dǎo)學(xué)生理解容積概念：“箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積”。揭示該概念的本質(zhì)要從三個方面展開：一是“箱子、油桶、倉庫”等具體物品所代表的概念——容器，其本質(zhì)是空心，能裝東西。二是“所能容納物體的體積”，即用其他物體的體積來定義容積，是間接定義。如米桶中裝滿米，米的體積是米桶的容積；倉庫裝滿貨物，貨物的體積是倉庫的容積。三是最最本質(zhì)的部分，如米桶裝滿米，米桶本身有厚度，厚度不能計算在內(nèi)，所以米的體積實(shí)質(zhì)上就是米桶內(nèi)部空間的大小，這就決定了計算米桶的容積要從里面量米桶的長、寬、高。只有經(jīng)過這樣的三重建構(gòu)，學(xué)生對諸如“一罐牛奶盒上寫的‘凈含量480ml’指的是（ ）A.牛奶盒的體積，B.牛奶盒的容積，C.牛奶的體積，D.牛奶的容積”這樣的題目時，才能作出正確的選擇。

綜上所述，不管是補(bǔ)齊知識斷層、溝通前后聯(lián)系，還是揭示概念本質(zhì)，都要求教師深入研讀教材，把握知識內(nèi)在的邏輯，在思考怎樣教之前真正弄清楚教什么。其目的是實(shí)現(xiàn)用教材教，是在忠實(shí)于現(xiàn)有教材的情況下，又能超越教材。只有這樣，才能不斷完善數(shù)學(xué)知識體系，促進(jìn)學(xué)生有效建構(gòu)。