基于數學規劃的救援物資分配優化模型及其求解算法綜述

曹策俊，高學鴻

（1. 重慶工商大學商務策劃學院，重慶400067； 2. 釜山大學工業工程系，釜山609-735，韓國）

0 引言

理論和實踐研究表明：救援物資分配問題是應急響應過程中非常重要的研究內容或熱點主題［1-3］；制定合理的救援物資分配策略對應急管理的成功具有重要意義［4-5］。主要原因在于：1）van Wassenhove［6］指出應急救援過程中 80% 的活動涉及到物流；且Besiou 等［7］再次全面地強調了人道主義物流活動的重要性。2）Camacho-Vallejo 等［8］指出，實施高效的救援物資分配策略有利于縮短運輸時間、減少應急費用以及提高響應效率。3）Hoyos 等［9］明確強調了有效的方法對成功實施救援物資分配方案是必須且重要的，有助于減少死亡人數、財產損失和環境破壞。

此外，Cao 等［1］和 Moreno 等［10］還強調了不合理的救援物資分配策略會導致某些區域嚴重或相對缺乏物資，可能會誘發各種社會問題，甚至引發極端事件，從而導致應急響應決策系統陷入無序和混亂狀態。例如，在2013 年俄克拉荷馬州的大龍卷風應對過程中，由于作為救援物資的血液嚴重缺乏，導致幸存者醫療救助任務開展緩慢，幸存者的痛苦無法得到有效緩解；2015 年北大西洋桑迪颶風毀壞了大量醫療救援物資的預置庫存，導致救援工作幾乎癱瘓；2018 年印尼地震與海嘯響應過程中，由于食物和水的供給不及時，導致諸如搶劫超市和加油站的極端事件發生；在2019 年新型冠狀病毒（Corona Virus Disease 2019，COVID-19）事件應對過程中，由于防護口罩等嚴重缺乏，增加了大眾暴露和感染病毒風險。很顯然，處理這些問題所需的社會成本會急劇增加。

因此，救援物資在突發事件響應過程中起著至關重要的作用［3］，它是生命延續、應急任務完成的基本保障，缺少救援物資的應急響應沒有任何意義。為提高救援物資利用率，緩解幸存者痛苦，以及促進社會、環境和經濟可持續發展，如何采用有效方法對救援物資分配優化問題進行建模，設計高效的求解算法，獲得最佳分配策略，完成受影響區域涌現出的大量應急任務，從而有效應對大規模突發事件和滿足救援過程的可持續要求，是各級決策主體在黃金救援階段的首要任務之一，也是當前亟待解決的重要課題。

一方面，大規模突發事件的突發性、救援活動本身的高度不確定性和復雜性，增加了救援物資分配優化問題建模的難度。基于此，如何設計有效的方法和算法對救援物資分配優化問題進行建模與求解亟待解決。另一方面，數學規劃作為最具代表性的優化方法，許多管理數量方法最終都可轉化為數學規劃來處理。特別地，2006 年，Altay 等［5］系統梳理了運作研究/管理科學（Operations Research or Management Science，OR/MS）方法在災害運作管理中的研究現狀，強調了數學規劃是該領域最受青睞的方法。從這種意義而言，數學規劃方法為解決此問題提供了新的思路和技術手段。

數學規劃問題的三要素包括目標函數、決策變量和約束條件。該方法被廣泛應用于經濟、管理和軍事等領域。特別地，Galindo 等［11］指出數學規劃是對救援物資分配優化問題進行建模的有效方法。基于此，運用數學規劃方法對救援物資分配優化問題進行建模是重要且迫切需求的。此外，為了獲得救援物資最佳分配策略，還需設計高效的算法求解所構建的數學規劃模型。近年來，國內外學者對此主題進行了大量的研究，并取得了豐碩的成果。借鑒文獻［12］的觀點，為系統梳理和準確識別此領域的研究空白，提出未來研究方向，本文聚焦于數學規劃方法在救援物資分配優化問題建模中的應用現狀及其求解算法研究現狀的梳理和歸納。

具體地，基于系統視角，本文對代表性的相關研究進行全面綜述。首先，根據目標數量和“府際”關系兩個準則，分別對已有成果進行分類，梳理救援物資分配優化模型的研究現狀；接著，闡述求解救援物資分配數學規劃模型的精確和啟發式算法的研究進展；最后，對數學規劃方法在救援物資分配優化問題中的應用及其求解算法研究進展進行總結，并指出未來可能的研究方向。

1 救援物資分配優化模型

正如前文強調的，救援目標的數量、利益相關者間的“府際”關系都會直接影響應急響應過程的整體績效。基于此，目標（函數）數量、“府際”關系被作為文獻分類的準則。因此，首先根據目標函數的數量（即目標數量準則）將已有成果分為單目標和多目標規劃模型兩類；然后根據利益相關者間的“府際”關系將文獻分為考慮橫向和縱向“府際”關系兩類。

1.1 目標數量準則下的救援物資分配優化模型

目標函數準則下的救援物資分配數學規劃模型的一般形式為：

其中：式（1）為目標函數，若k = 1，則為單目標規劃模型，否則為多目標規劃模型；式（2）、（3）為約束條件，分別為硬約束和軟約束；式（4）為決策變量。

針對救援物資分配單目標優化問題，Hwang［13］構建的救援物資單目標分配模型旨在最大限度減少饑餓和痛苦。Fiedrich等［14］建立了以最小化由次生衍生事件、應急救援操作持續時間、缺乏救援行動、延遲運輸或轉移、運輸持續時間內、缺乏轉移導致的死亡人數為目標函數的大型救援設備分配模型。?zdamar等［15］、Barbarosoglu 等［16］針對考慮多供應點、同質災民的救援物資分配問題，分別構建了以未滿足需求總和最小、以總成本最小為目標的單目標優化模型。Balcik 等［17］提出的人道主義物流配送單目標規劃模型，旨在最小化總成本。Zhang 等［18］針對考慮次生災害的多供應點應急資源分配問題，構建了以總成本最小為目標的混合整數規劃模型。劉亞杰等［19］針對考慮多災點和公平性原則的選址-分配問題，構建了最大化綜合滿意度的隨機混合整數規劃模型。Sheu［20］構建的災后救援物資服務集中物流分配單目標混合整數規劃模型的目標函數為最大化幸存者韌性。王旭坪等［21］提出了以攀比函數值最小化的應急物資分配單目標非線性整數規劃模型。Sung 等［22］針對考慮單出救點、異質災民的應急醫療資源分配問題，提出了以最大化挽救生命能力為目標函數的混合整數非線性規劃模型。Li 等［23］聚焦于災后汽油供應問題，建立了最大化滿足度和公平性的混合整數規劃模型。Al Theeb等［24］針對考慮異質災民的車輛路徑規劃和救援物資分配問題，提出了以最小化未滿足需求數量、未接受服務的傷員數量和未轉移的工作人員數量為目標函數的單目標整數規劃模型。Liu 等［25］針對考慮不確定需求與運輸時間的應急物流優化問題，構建了最小化總成本的魯棒整數規劃模型。Liu等［26］針對災后考慮多品種多階段的救援物資分配問題，構建了最小化加權未滿足需求總和的魯棒整數規劃模型。Sabouhi等［27］針對災民疏散和救援物資分配集成優化問題，提出了最小化到達時間總和的混合整數規劃模型。Zhang 等［28］針對考慮資源再配置的人道主義救援網絡設計優化問題，提出了以最小化運輸時間總和的分布式魯棒優化模型。

總體而言，上述研究構建了救援物資分配單目標規劃模型，旨在從某個維度實現與時間、成本、死亡人數等相關的單個救援目標。然而，救援物資分配活動涉及多個決策主體，在救援過程中追求的救援目標不盡相同。此外，Holguín-Veras等［29］還強調了多目標優化在人道主義物流中非常受青睞。從這種意義而言，救援物資分配多目標優化問題更貼近實際，且仍需深入研究。

針對救援物資分配多目標優化問題，Cao等［1］構建的救援物資分配多目標混合整數非線性規劃模型，旨在最大化最小災民感知滿意度、最小化各需求點感知滿意度最大偏差與各階段感知滿意度最大偏差。Moreno 等［10］構建了以最小化物流成本、幸存者痛苦（采用掠奪/偏離成本衡量）的應急物資分配多目標混合整數規劃模型。Tzeng 等［30］構建了考慮同質災民、多需求點與多供應點的救援物資分配多目標整數規劃模型，以期實現最小化成本和時間、最大化最小滿意度的救援目標。Lin等［31］關注了考慮多車輛、單供應點和可拆分運輸策略的關鍵救援物資分配問題，構建了以最小化未滿足需求、運輸時間和滿意率的差異性為目標函數的多目標整數規劃模型。王旭坪等［32］建立了以最大化災民響應時間、需求和效用感知滿意度為目標函數的應急資源分配多目標非線性整數規劃模型。王旭坪等［33］還針對多供應點多需求點的應急物資優化調度問題，構建了最小化公眾心理風險感知、最小應急物資未滿足度的混合整數規劃模型。Huang 等［34］建立的救援物資供應公平服務多目標整數規劃模型，目標函數為最小化總成本、加權響應時間和不滿意需求。Wang 等［35］針對多災點、多出救點、異質車輛、不充分供應和需求可拆分的救援物資分配問題，構建了開放選址-路徑規劃非線性整數規劃模型，旨在最小化最大路徑運輸時間和總成本，以及最大化最小路徑可靠性。Huang 等［36］構建了以最大化生命挽救效用、最小化延遲成本與需求滿足率和理想需求率差的平方和的應急資源運輸與分配多目標優化模型。陳瑩珍等［37］針對考慮公平性原則、地區自救與互救的多類型多供應點多需求點的應急物資分配問題，構建了應急物資分配多目標整數規劃模型，旨在最大化物資需求滿足量、最小化最大運輸時間。針對考慮多供應點與同質災民的應急資源調度問題，Mohammadi 等［38］建立了以期望需求覆蓋率最大化、總成本最小化和滿意率最大偏差最小化為目標的混合整數非線性規劃模型；Zhou 等［39］提出了以未滿足資源所有類型的數量和運輸風險最小化為目標函數的整數規劃模型。王雷等［40］提出的應急物流調度多目標非線性整數規劃模型，旨在最小化未滿足需求、最大到達時間和掠奪成本。Yu 等［41］針對人道主義物流單供應點多需求點資源分配問題，構建了以總成本（包括獲得成本、掠奪/偏離成本、懲罰成本）最小為目標函數的整數規劃模型。Laguna-Salvadó等［42］針對救援物資采購與分配問題，建立了最大化需求滿足度、最小化采購與運輸成本、最小化碳排放量、最大化地方投資的多目標整數規劃模型。Ghasemi 等［43］針對地震疏散計劃中不確定性條件下多目標多品種多階段多車輛選址-分配優化問題，建立了以最小化總成本和救援物資短缺數量為目標函數的多目標混合整數規劃模型。Setiawan 等［44］針對災后救援物資分配與災民疏散優化問題，構建了三個數學規劃模型，分別為：建立了最小化加權未滿足需求數量總和的救援物資分配規劃模型；構建了以最小化最大痛苦加權總和與災區內未疏散受傷災民痛苦總和為目標函數的災民疏散規劃模型；針對救援物資分配與災民疏散過程中共用/共享的救援車輛分配優化問題，建立了最小化最大痛苦加權總和與最大痛苦總和的規劃模型。

綜上所述，表1 梳理了目標準則下數學規劃應用于救援物資分配優化問題中的相關文獻。特別地，在表1 中，“建模環境”是指研究問題的背景是確定還是不確定（如隨機、模糊）環境，是靜態還是動態環境。“可持續發展”表示是否明確考慮了可持續發展理念，并將其與數學規劃模型聯系起來。“目標函數”包括：經濟（如成本/費用），社會成本（如公平性、未滿足需求），速度（如運輸和分配救援物資的時間），挽救生命（如死亡人數、邊際效用），環境（如碳排放量）及其他（如風險）。“決策模式”表示在救援物資分配過程中管理者采用的決策模式，包括集中和分散兩類，分別用單層、雙層/多層規劃模型來刻畫。

根據表1 可知，已有成果：1）更多地關注與時間、成本、死亡人數相關的單目標函數最優化問題，但較少涉及綜合考慮與社會、經濟、環境和幸存者等相關的目標函數整體最優的多目標救援物資分配優化問題。2）聚焦于確定環境下的救援物資分配優化問題，或將不確定條件轉化為確定環境下的救援物資分配問題來研究，但較少關注不確定（如模糊）環境下的相關問題。3）靜態和動態環境下的救援物資分配問題都有所涉及，未發現明顯趨勢。特別地，救援物資分配動態特征通常可通過離散方式（如多階段）來刻畫，故動態模型可視為多個靜態模型在時間維度上的有機結合。在上述文獻中，動態建模環境下的應急物流優化問題均屬于確定性模型，但極少將動態環境下的相關問題刻畫為不確定性模型，原因可能在于盡管不確定性模型更貼近現實情況，但它也更為復雜。4）盡管涉及到了可持續發展理念的某個或兩個維度，但并未明確強調與可持續發展的關系，清晰綜合考慮社會、經濟和環境可持續績效的文獻相對缺乏。5）聚焦于以“供應點-分配中心-需求點”為主線的救援物資分配優化問題，但較少關注“分配中心-需求點-受影響具體區域”分配網絡中的相關問題。6）在集中決策模式下，聚焦于考慮同質幸存者的救援物資分配優化問題，但綜合考慮多供應點、多需求點、多品種、多車輛、多階段和異質幸存者的決策優化問題較少涉及。

表1 目標準則下救援物資分配文獻總結Tab. 1 Summary of the literatures about relief distribution under objective criterion

1.2 “府際”關系準則下的救援物資分配優化模型

曹策俊等［3］強調了“府際”關系是救援物資分配策略制定過程中產生持續作用的關鍵因素。“府際”關系是指政府間的關系網絡，包括橫向和縱向“府際”關系兩類。具體地，橫向“府際”關系是指區域內同層級政府間的關系。橫向“府際”關系視角下的決策主體擁有較大的權利，易于快速集中和調度救援物資來應對大規模突發事件，從而控制事件帶來的各種影響。將橫向“府際”關系考慮到救援物資分配策略中，在很大程度上可有效避免救援過程中出現“打太極”“踢皮球”和“多龍治水”等混亂現象。縱向“府際”關系是指中央、地方與基層等政府間的層級關系。在縱向“府際”關系中，高層級決策主體（起主導作用）對低層級決策主體進行有效控制和領導，低層級決策主體服從領導和接受監督。將縱向“府際”關系融入救援物資分配策略中，既可保證高層級決策主體的權威性，還能調動低層級決策主體的積極性，從而提高響應效率和解決不同層級決策主體間“聯動性不足”的問題。此外，“府際”關系準則下的救援物資分配數學規劃模型一般形式為：

其中：式（5）和式（7）都是目標函數，若刪除式（7），則為橫向“府際”關系視角下的單層規劃模型，否則為縱向“府際”關系視角下的雙層規劃模型；式（6）和（8）為各類約束條件；式（9）為決策變量。

針對橫向“府際”關系視角下救援物資分配優化問題，文獻［1，13-18，20-24，27，30-34，36，40-42，44］針對考慮不同因素的救援物資分配優化問題，分別構建了確定性單層數學規劃模型。為了閱讀的簡潔性，此處不贅述每篇文獻的主要工作，可參考第1.1 節。另一方面，文獻［10］針對考慮社會成本的應急物資分配優化問題，構建了單層多目標隨機混合整數規劃模型，以期最優化物流成本和幸存者痛苦。文獻［16］采用隨機數來刻畫需求、供應和能力的不確定性，提出了單層單目標規劃模型。文獻［19］在考慮震后初期救援階段對救援物資需求的不確定性和應急救援環境的特殊性的基礎上，建立了單層隨機混合整數規劃模型。文獻［25-26］在考慮需求和運輸時間不確定性的基礎上，提出了單層魯棒整數規劃模型。文獻［28］將需求、運輸時間、貨運不確定性因素考慮到人道主義救援網絡優化設計問題中，建立了單層單目標魯棒優化模型。文獻［35］運用可靠性來刻畫不確定性，構建了救援物資分配單層多目標非線性規劃模型。文獻［37］關注了考慮模糊需求和公平原則的應急物資分配問題，建立了單層多目標模糊整數規劃模型。文獻［38］考慮了需求與運輸成本不確定性因素，提出了救援物資分配單層多目標隨機非線性整數規劃模型。文獻［39］將路網不確定性因素融入應急資源動態調度問題中，建立了多階段整數規劃模型。文獻［43］考慮了地震疏散計劃中地震發生、避難場所和醫療中心失效的不確定性因素，建立了多階段單層混合整數規劃模型。此外，感興趣的讀者還可參考文獻［5，11，45-46］。

總體而言，上述文獻僅僅關注了在救援物資分配過程中，同層級不同部門決策主體的救援目標。然而，在大規模突發事件應對過程中，救援物資分配活動相當復雜，涉及的多個決策主體間除了存在橫向“府際”關系，還有層級或主從或縱向“府際”關系（如中央、地方和基層政府），且這些主體都有各自的救援目標。在救援物資分配策略制定過程中，需要適當地考慮或平衡縱向“府際”關系視角下的不同目標。

針對縱向“府際”關系視角下救援物資分配優化問題，在確定條件下，Camacho-Vallejo 等［8］構建的救援物資分配雙層整數規劃模型中，上層決策旨在最小化救援物資運輸總的響應時間，下層決策旨在最小化從其他國家和國際救援組織的運輸成本。Kongsomsaksakul 等［47］構建了大規模洪澇災害后避難所選址的雙層規劃模型，上層決策目標為最小化疏散時間總和，下層決策目標為最小化災民到避難所最少耗費時間。王蘇生等［48］針對多災點擁擠資源競爭和分配不均問題，構建了考慮及時性和公平性的雙層規劃模型。Duan 等［49］將應急救援響應和車輛總花費時間、未滿足需求懲罰作為上層決策的目標，將車輛再分配所耗費的時間作為下層決策的目標，進而構建應急車輛分配與再分配的雙層規劃模型。Gutjahr等［50］聚焦于人道主義物流救援物資分配中心選址問題，構建了雙目標雙層規劃模型，在上層決策中考慮了決策者最大化覆蓋率和最小化建設成本的優化問題，在下層決策中考慮用戶均衡因素。鄭斌等［51］針對震后多運輸方式的應急物流選址-聯運問題，構建了上層最大化物資運送時間滿意度，下層最大化物資分配公平性的雙層規劃動態模型。Chen 等［52］針對多供應點多需求點救援物資分配問題，構建了上層最小化加權分配時間，下層最大化分配公平性的雙層0-1 整數規劃模型。劉長石等［53］針對考慮公平和效率因素、受災群眾的非理性攀比心理的應急物資分配與運輸問題，構建了上層最小化所有需求點的損失攀比效應總和，下層最小化物資運達需求點的時間攀比效應總和、總運輸時間的混合整數規劃模型。

在不確定條件下，陳剛等［54］針對考慮模糊需求的應急物資配送中心與集散點選址以及車輛路徑規劃問題，建立了上層以最小化最晚運達時間、最小化配送總成本與最大化車輛載重利用率為目標，下層以運輸總成本最小為目標的0-1 整數雙層規劃模型。Safaei 等［55］針對需求和供應不確定的多供應多需求點救援物資供應-分配問題，提出了魯棒雙層整數規劃模型，上層最小化救援活動總成本，下層最小化供應風險總和。Safaei 等［56］還針對考慮需求不確定性和供應風險的應急物流規劃問題，構建了上層以最小化未滿足需求總和與總成本為目標函數，下層以最小化供應風險總和為目標函數的救援物資分配雙層雙目標整數規劃模型。曹策俊等［57］在考慮分配網絡中不確定供應、需求和行程時間、公平分配原則等特征基礎上，構建了上層最小化加權行程時間總和、下層最大化加權感知滿意度的雙層整數規劃模型。Gao［58］針對考慮不確定需求和運輸網絡可利用性的多種類救援物資再分配問題，建立了雙層隨機混合整數非線性規劃模型，上層優化問題最小化不滿意水平總和，下層問題最小化期望運輸時間總和。Li等［59］針對災后多階段應急資源（包括道路修復人員與救援物資）動態聯合配置問題，構建了上層最大化累計可達性，下層最小化總運輸時間和最大化救援物資分配公平性的雙層整數規劃模型。Kamyabniya等［60］針對人道主義救援中不確定條件下血小板物流規劃問題，構建了兩階段數學規劃模型：第1 階段建立了上層最小化總運輸時間、下層最小化總運作成本的模糊混合雙層整數規劃模型；第2 階段設計了能力共享機制改善第1 階段的結果。此外，感興趣的讀者還可參考文獻［61-63］。

綜上所述，表2 梳理了縱向“府際”關系準則下數學規劃應用于救援物資分配優化問題中的相關文獻，而橫向“府際”關系視角下的相關文獻見表1。在表2中，“上層目標函數”和“下層目標函數”分別表示上層和下層優化問題的目標函數；其他列所表示的含義與表1中的相同。

表2 縱向“府際”關系準則下救援物資分配文獻總結Tab. 2 Summary of the literatures about relief distribution under vertical intergovernmental relationship criterion

根據表1、2 可知，大部分學者：1）側重于從橫向“府際”關系視角解決同層級決策主體或不同部門在不同維度利益訴求的沖突問題，但較少從縱向“府際”關系視角關注如何平衡不同層級利益相關者在不同方面的利益訴求問題。2）更多地聚焦于縱向“府際”關系視角下靜態救援物資分配問題，但較少探索動態的救援物資雙層優化問題。3）聚焦于構建確定環境下考慮縱向“府際”關系的救援物資分配問題，但較少涉及不確定性環境下的相關問題。4）將靜態與動態、確定與不確定建模環境分別孤立考慮，但如何將兩個維度綜合交叉考慮需進一步探索。特別地，將不確定性因素與動態特征綜合考慮到救援物資雙層優化問題中的成果極少，這與橫向“府際”關系視角下的結論是一致的。5）關注傳統視角下考慮縱向“府際”關系的救援物資分配優化問題，但極少從可持續發展視角研究相關問題（與1.1 節得到的結論相似）。6）在分散決策模式下聚焦于研究考慮同質幸存者的分配中心選址、車輛調度、路徑規劃等問題，但未融入“以人為本”的理念，未考慮異質幸存者的救援物資跨區域分配雙層優化問題。7）建立了上層單目標、下層單目標的救援物資雙層規劃模型，且追求與成本、時間相關的救援目標，但較少構建上層多目標、下層單目標的雙層規劃模型。

1.3 救援物資分配模型的比較分析

盡管上述內容已從目標數量和“府際”關系兩個準則對救援物資分配數學規劃模型進行了分類，但仍較少涉及模型本身以及模型間的異同點。本節擬根據決策因素對已有的救援物資分配模型進行比較。特別地，決策因素是指在構建救援物資分配模型時需要考慮的影響因素。諸如建模環境、利益相關者間的“府際”關系、救援目標的數量等這類決策因素會直接影響分配模型的性質和求解難度，而諸如物資種類、供應點與需求點的數量、幸存者的異質性、運輸工具的數量等這類決策因素更多地直接影響仿真結果（即救援物資分配滿意方案）。另外，決策因素的個數在某種程度上體現了所構建模型對現實問題的抽象程度。通常情況下，模型中考慮的決策因素越多（少），表明其越接近（遠離）現實世界。在應急管理實踐中，數學規劃模型是現實案例的抽象。一方面，決策主體希望所構建模型能夠盡可能完美地刻畫現實案例，增加其適用性；另一方面，決策主體也希望能在盡可能短的時間內獲得分配方案，提高其時效性。這就要求所構建的模型復雜度不能太高，否則求解所耗時間或很長，甚至找不到滿意解。因此，在構建救援物資分配數學規劃模型時，需要綜合考慮模型的適用性與復雜性。

總體而言，在已有成果中，救援物資分配模型可以分為以下幾大類：確定性與不確定性、單層與多層、單目標與多目標、靜態與動態規劃模型。

就確定性與不確定性救援物資分配規劃模型而言，區別在于：前者的決策環境是已知的或可完全估計/預測的，而后者的決策環境是不能完全估計/預測的。例如，文獻［1，8，13-18，20-24，27，30-34，36，40-42，44，47-53］構建的決策模型屬于確定性救援物資分配模型，而文獻［10，16，19，25-26，28，35，37-39，43，54-60］建立的決策模型是不確定性分配模型。

就單層與多層救援物資分配規劃模型而言，區別在于：在方案制定過程中，前者的決策主體屬于同一層級，而后者屬于不同層級，具有主從關系。例如，文獻［1，10，13-28，30-44］提出的分配模型是單層規劃模型，而文獻［8，47-60］所建立的決策模型是雙層規劃模型。

就單目標與多目標救援物資分配規劃模型而言，區別在于：前者的決策主體僅僅考慮單個救援目標，而后者需要同時考慮至少兩個救援目標。例如，文獻［13-28］構建了救援物資分配單目標規劃模型，而文獻［1，8，10，30-44，47-60］建立了救援物資分配多目標規劃模型。

2 救援物資分配數學規劃模型求解算法

在大規模突發事件應急管理實踐中，為了向決策主體提供更為精確和針對性的決策支持，除需要依靠第1 章討論的各類數學規劃模型，還必須借助各類技術手段和工具來求解這些模型。為了應對大規模突發事件背景下救援物資分配優化問題與模型的高度不確定性、隨機性、復雜性，如何設計合理且高效的求解算法是應急管理的主要任務之一。

諸如 Cao 等［1］、Anaya-Arenas 等［4］和 Lu 等［61］學者指出求解應急資源配置模型的技術手段可分為精確算法和啟發式算法兩類。借鑒上述觀點，將求解救援物資分配數學規劃模型的方法也分為精確算法和啟發式算法。前者主要適用于救援物資分配優化小規模問題，包括分支定界法、原始-對偶算法等；后者主要適用于大規模問題，包括遺傳算法、模擬植物生長算法、差分進化算法等。特別地，問題規模大小的界定并沒有嚴格的統一標準，在實際問題中一般視情況而定。在黃金救援階段，由于可利用的救援物資的稀缺性，救援物資分配中心、救援物資數量相對較少。然而，在大規模突發事件背景下，應急需求點、應急任務的數量都相對較多。

2.1 求解救援物資分配模型的精確算法

近年來，有學者運用諸如分支定界法、原始-對偶算法、CPLEX 軟件等精確算法或內置精確算法的軟件求解相對簡單的救援物資分配數學規劃模型。例如，Barbarosoglu 等［16］運用通用代數建模系統（the General Algebraic Modeling System，GAMS）軟件求解了救援物資分配單層單目標規劃模型。Balcik 等［17］借助 GAMS/CPLEX 軟件求解了人道主義物流配送規劃模型。Sheu［20］運用實證和精確算法對災后救援物資服務集中物流分配單目標混合整數規劃模型進行了求解。Sung等［22］采用列生成法求解了應急醫療資源分配混合整數非線性規劃模型。Li 等［23］和 Huang 等［34］分別運用 CPLEX 軟件求解了災后汽油供應分配混合整數規劃模型、救援物資供應公平服務整數規劃模型。Liu 等［25］與 Zhang 等［28］借助 CPLEX 軟件分別求解了應急物流分配（再分配）魯棒整數規劃模型。Liu等［26］設計了基于魯棒預測控制和滾動窗口的框架，求解災后救援物資分配魯棒整數規劃模型。Tzeng 等［30］采用融入模糊邏輯思想的規劃方法對救援物資分配多目標整數規劃模型進行了求解。Yu 等［41］設計了動態規劃算法求解人道主義物流資源配置規劃模型，與循環運輸法相比較，該算法在求解效率方面具有顯著優勢。Laguna-Salvadó 等［42］針對可持續救援物資采購與分配整數規劃模型，提出了層次優化方法。Gutjahr等［50］針對救援物資分配中心選址雙層雙目標優化模型，提出了包括ε-約束、分支定界法和Frank-Wolfe 的精確算法對其進行求解。Camacho-Vallejo 等［8］針對救援物資分配雙層整數線性規劃模型，設計了以互補松弛條件為基礎的原始-對偶算法。在文獻［8］的基礎上，Safaei 等［55］將其運用于求解不確定條件下救援物資供應-分配魯棒雙層優化模型，而曹策俊等［57］將其運用于求解救援物資跨區域分配雙層整數規劃模型。Safaei 等［56］采用目標規劃方法求解了應急物流規劃雙層雙目標整數規劃模型。Gao［58］采用CPLEX 軟件求解了救援物資再分配雙層隨機混合整數非線性規劃模型。Kamyabniya等［60］提出了K-best算法求解血小板應急物流計劃模糊混合雙層整數規劃模型。通過梳理上述文獻發現，文獻［8，16-17，20，22-23，25-26，28，30，34，41-42，50，55-58，60］通過設計/考慮不同情景或視角，驗證了所設計算法在不同性能指標方面的潛在優勢。

總體而言，上述成果針對救援物資分配數學規劃模型，設計了不同的精確算法來獲得最優分配方案。然而，在大規模突發事件背景下，救援物資分配優化問題具有高復雜性和不確定性等特征，具體表現為多類型資源、多層級關系、多救援目標、多約束條件等的交叉關聯性。因此，在有限時間內，采用這些精確算法，很難找到此類問題的最優解。并且，隨著問題規模逐漸增大，精確算法的局限性更加凸顯，增加了獲得最優解甚至可行解的難度。基于此，需要引入啟發式算法來解決此問題。

2.2 求解救援物資分配模型的啟發式算法

為了克服精確算法的局限性，學者們嘗試采用諸如遺傳算法、模擬植物生長算法、差分進化算法等啟發式算法求解相對復雜的救援物資分配數學規劃模型。Cao 等［1］建立了可持續救援物資分配混合整數非線性規劃模型，提出了采用十進制矩陣編碼的遺傳算法求解此模型。仿真結果表明：滿意分配方案可在20 min 內獲得，體現了所設計算法的高效性。Moreno 等［10］設計了固定-優化、兩步啟發式算法求解應急物資分配隨機混合整數規劃模型，與其他不同求解策略下不同算例的仿真結果相比，其所設計算法具有良好的性能。Hwang［13］提出了遺傳算法和混合動態算法求解救援物資分配模型，并以朝鮮饑荒救援食物供應鏈為例驗證了所設計算法的潛在優勢。Fiedrich 等［14］采用模擬退火與禁忌搜索算法求解了大型救援設備分配模型，并通過算例結果比較驗證了所提出的算法在性能指標方面的優越性。?zdamar 等［15］提出了基于拉格朗日松弛法的迭代算法求解救援物資分配單目標優化模型，并利用小規模算例與實際地震案例驗證了所設計算法的收斂性。Zhang 等［18］設計了啟發式算法求解考慮次生災害的多供應點應急資源分配混合整數規劃模型，并通過與分支定界法進行對比，驗證了該求解算法在目標函數值和計算時間方面的優越性。劉亞杰等［19］設計了基于拉格朗日松弛的快速算法求解救援物資選址-分配隨機混合整數規劃模型，而且與CPLEX 軟件的求解結果進行比較的結果表明，該算法在求解效率和質量方面具有潛在優勢。2005 年，李彤等［64］首次正式提出了模擬植物生長算法。王旭坪等［21］將其運用于求解應急物資分配非線性整數規劃模型，與遺傳算法的比較結果驗證了該算法的優越性。Al Theeb 等［24］設計了啟發式算法/框架對人道主義物流中車輛路徑規劃和救援物資分配整數規劃模型進行求解，并通過與商業軟件的求解結果進行比較，驗證了所提出的算法具有較強的優越性。Sabouhi 等［27］提出了文化基因算法求解災民疏散與救援物資分配集成優化混合整數規劃模型，通過車輛數量和避難場所的容納能力兩個維度，驗證了所設計算法的有效性。Lin 等［31］設計了遺傳算法求解災后關鍵救援物資分配混合整數規劃模型，而且與分配與分解算法等方法的仿真結果進行比較，結果表明所提出的啟發式算法在不同問題規模中都具有潛在的優勢。王旭坪等［32］針對應急資源分配非線性整數規劃模型，采用了包括主要目標法、分層排序法、分散搜索算法在內的啟發式算法對其進行求解，并通過算例證明了其有效性。王旭坪等［33］還采用了包含遺傳算法的多層搜索算法對應急物資優化調度混合整數規劃模型進行求解，并通過與未考慮公眾風險感知的仿真結果相比較，驗證了所設計算法的有效性。Wang等［35］設計了帶精英策略的非支配排序遺傳算法和差分演化算法對救援物資分配非線性整數規劃模型，并通過汶川特大地震的算例驗證了該算法在性能指標上的優越性。Huang 等［36］設計了差分不等式算法求解應急資源運輸與分配優化模型，實驗結果表明，隨著問題規模的不斷增大，該算法仍能表現出較強的優勢。陳瑩珍等［37］設計了改進差分進化算法求解應急物資分配整數規劃模型，通過不同算例驗證了該算法對大規模問題的有效性。Mohammadi等［38］針對震后應急物資供應混合整數非線性規劃模型，提出了多目標粒子群優化算法，通過與修正時間變量的多目標粒子群算法、帶精英策略的非支配排序遺傳算法等求解方法獲得的仿真結果相比，所設計算法更優。Zhou 等［39］提出了基于分解的演化算法求解多階段動態應急資源調度整數規劃模型，與帶精英策略的非支配排序遺傳算法相比，該算法獲得的滿意解較優。王雷等［40］運用帶精英策略的非支配排序遺傳算法求解了應急物資分配非線性規劃模型，并通過比較不同應急策略下的結果驗證了該算法的高效性。Ghasemi等［43］針對震后選址-分配混合整數規劃模型，提出了多目標粒子群算法對其進行求解，并通過與ε-約束、帶精英策略的非支配排序遺傳算法的比較，驗證了所設計算法在求解質量和求解效率方面具有較強優勢。Setiawan 等［44］提出了基于v-長度和4 個點的啟發式算法求解救援物資分配與災民疏散數學規劃模型，并通過大規模與小規模算例的仿真結果驗證了所設計的求解策略的高效性。Kongsomsaksakul 等［47］針對避難場所選址與分配雙層整數規劃模型，設計了嵌套式遺傳算法對其進行求解，并從不同維度驗證了算法的有效性。王蘇生等［48］設計了動態優選策略求解應急資源配置雙層規劃模型，實驗結果表明該策略可以獲得全局最優分配方案。Duan等［49］設計了雙層混合蛙跳算法求解應急車輛分配與再分配雙層整數規劃模型，并通過與雙層粒子群算法的仿真結果進行比較，驗證了該算法在求解質量和求解效率性能指標上的優越性。鄭斌等［51］提出了混合遺傳算法求解應急物流動態選址-聯運混合整數雙層規劃模型，仿真結果表明該模型獲得滿意運輸方案的時間不超過20 min，所設計的算法效率較高。Chen 等［52］設計了改進差分演化算法求解自然災害救援物資供應配置雙層規劃模型，并通過與其他差分演化算法的比較結果驗證了該算法的高效。劉長石等［53］提出了混合遺傳算法求解應急物資分配-運輸雙層協同優化模型，能在5 min 內獲得滿意方案，表明該算法具有較高的求解效率。陳剛等［54］等運用自適應遺傳算法求解了應急物資配送中心、集散點選址與路徑規劃0-1 整數雙層規劃模型，且通過與傳統遺傳算法的比較驗證了該算法在效率指標方面的優越性。Li等［59］設計了穩態并行遺傳算法求解應急資源動態聯合配置雙層整數規劃模型，并從不同視角驗證了該算法能在合理的計算時間內獲得較高質量的滿意解。

2.3 救援物資分配模型求解算法存在的問題

綜上所述，表3 梳理了救援物資分配數學規劃模型求解算法的相關文獻。在表3 中，“求解算法/工具”表示文獻采用的具體求解方法或技術手段，可包括遺傳算法、模擬植物生長算法、差分進化算法、模擬退火算法、禁忌搜索算法，分支定界、動態規劃算法、原始-對偶算法、ε-約束、軟件求解器（如GAMS、CPLEX）等；“算法類別”包括精確算法和啟發式算法兩類。

根據表3 可知，大多數學者：1）在精確算法方面，更多地借助CPLEX 或GAMS 等軟件的內置算法求解救援物資分配數學規劃模型。特別地，針對雙層規劃模型，通常采用原始-對偶算法、塔克-庫恩條件將雙層轉化為單層規劃模型進行求解。2）在啟發式算法方面，聚焦于運用遺傳算法、粒子群算法、差分進化算法、模擬植物生長算法及其衍生算法等求解所構建的救援物資分配數學規劃模型。3）與精確算法相比，無論是針對救援物資分配單層規劃模型還是雙層（或多層）規劃模型，諸如遺傳算法的啟發式算法在求解過程中更受青睞。4）聚焦于將精確算法與啟發式算法應用于求解救援物資分配單層單目標或多目標規劃模型，但較少將其用于求解救援物資分配雙層規劃模型。基于此，如何設計支持“多準則決策建模、高不確定性和復雜性求解”的高效率啟發式算法求解救援物資分配模型，仍需深入研究。

在采用精確算法與啟發式算法求解救援物資分配優化問題的相關文獻中，文獻［1，10，13-28，30-44］設計的算法適用于求解單層數學規劃模型。文獻［8，47-60］所提出算法的適用范圍為雙層數學規劃模型；其中，文獻［8，47-53］所設計算法的適用范圍為確定性數學規劃模型，文獻［54-60］提出的算法適用于求解不確定性救援物資分配模型。此外，所設計的精確算法或采用的求解器更多地適用于小規模分配問題，所提出的啟發式算法在求解大規模分配問題時，其潛在優勢更明顯。

特別地，本文所涉及的文獻主要設計了遺傳算法、模擬植物生長算法、進化算法等，在設計新的求解算法時，應該從收斂性、收斂速度、適用范圍等方面來考慮。原因在于：第一，收斂性體現了算法的搜索深度，也決定了所獲得滿意解與最優解間的距離。在應急管理實踐中，較差的救援物資分配方案會給社會帶來更多的問題。第二，收斂速度決定了在有限時間內獲得滿意解所需的時間。時效性是大規模突發事件救援物資分配優化問題的典型特征，決策主體制定策略的時間越短，越有助于提高整體救援效果/績效。第三，救援物資分配優化問題具有典型的層級或主從關系，這要求所設計求解策略也需要考慮該特征。因此，將求解單層規劃模型的算法拓展為求解雙層甚至多層規劃模型的嵌套式算法，從而提高算法的適用范圍，是當前亟待解決的問題。第四，國內外學者更多地將所設計算法與其他算法的仿真結果進行比較，較少將已有算法與其他典型的算法相結合，構造出具有特色并適用的多方法集成算法以解決更復雜的救援物資分配優化問題，是值得研究的主題［12］。

3 研究結論與展望

3.1 研究結論

從目標數量、“府際”關系和求解算法三個維度，本文對基于數學規劃的救援物資分配優化模型及其求解算法進行了綜述。結合表1～3的結果，分析相關發展趨勢，結果表明：

1）從構建的救援物資分配優化模型的目標函數數量而言，相關研究從僅僅關注時間/成本/死亡人數等最優化的單目標規劃模型向綜合考慮社會、經濟和環境的多目標規劃模型延伸。

2）從救援物資分配活動中利益相關者間的“府際”關系而言，相關研究從僅考慮橫向“府際”關系的救援物資分配優化問題向綜合考慮橫向與縱向“府際”關系的相關問題領域拓展。

3）相關研究從確定條件下的救援物資分配優化問題向不確定（如模糊）條件下的相關問題領域發展；從傳統視角下的救援物資分配優化問題向融入救援過程可持續發展理念的相關問題領域發展；從靜態環境下的救援物資分配優化問題向動態環境下的相關問題領域發展。

4）從設計的求解算法而言，隨著救援物資分配問題規模不斷增大，問題復雜程度不斷增加，相關研究從精確算法設計向啟發式算法設計拓展，從單一算法設計向融入多種策略的復合算法設計發展。此外，從面向單層規劃模型的求解策略設計向面向雙層（或多層）規劃模型的求解算法設計發展。

5）相關研究聚焦于傳統技術在救援物資分配問題中的應用，較少關注新信息與通信技術（Information and Communications Technology，ICT）背景下數據驅動的救援物資 分配模型構建的應用研究。

表3 救援物資分配數學規劃模型求解算法文獻總結Tab. 3 Summary of the literatures about algorithms to solve mathematical models of relief distribution

綜上所述，基于數學規劃的救援物資分配優化問題可從以下幾個方面進行深入研究。

3.2 救援物資分配優化支撐框架構建

大多數文獻聚焦于救援物資分配數學規劃模型的構建、求解算法的設計等問題，但較少從根本上回答關鍵要素表達式建立、決策模型構建的內在機制。然而，曹策俊等［3］的研究顯示，戰略層面有效的機制分析對操作層面構建恰當且合理的數學規劃模型至關重要，可為其提供科學的理論依據。因此，如何抽象、識別與提取應急響應決策系統的關鍵要素及其關聯關系，如何有效刻畫利益相關者間的橫向與縱向“府際”關系，以及如何構建救援物資分配優化層次結構模型或支撐框架，這些都是未來值得研究的問題。

3.3 不確定環境下救援物資分配優化問題研究

已有研究成果更多地聚焦于探究確定條件下的救援物資分配優化模型構建和策略設計，然而，在大規模突發事件背景下，在黃金救援階段，受影響區域的物資需求量、供應點的物資庫存量，可利用的分配中心、應急需求點和供應點的數量都是不確定的［57］；并且，救援活動本身也具有不確定屬性。另一方面，研究表明不確定性可采用模糊理論、魯棒優化理論、隨機優化等理論、區間數等來刻畫。基于此，如何識別和量化救援物資分配活動的確定性特征，如何構建救援物資分配多目標模糊/魯棒/隨機規劃模型、兩階段模糊/魯棒/隨機規劃模型、雙層模糊/魯棒/隨機規劃模型，這些問題都是未來致力于解決的問題。

3.4 面向可持續發展的救援物資分配優化問題研究

研究表明，大多數學者聚焦于傳統視角下的救援物資分配優化問題，較少關注融入可持續發展理念的相關問題。盡管有些文獻已經涉及到可持續發展理念的某個或兩個維度，但也并未明確強調與可持續發展的關系。自聯合國頒布了包括《1994 年橫濱戰略行動計劃》和《2015 年可持續發展目標》等在內的綱領性文件后，學術界開始呼吁將可持續發展理念融入應急管理決策問題中。例如，Cao 等［1］、曹策俊等［3］和Laguna-Salvadó 等［42］、Zarei 等［65］、Li 等［66］、Song 等［67］從不同方面強調了救援過程的可持續發展理念與救援物資分配優化問題結合的重要性。此外，充分理解和詮釋救援過程的可持續發展理念，有助于促進該理念與救援物資分配優化問題的有機結合；運用OR/MS 方法定量刻畫救援過程的可持續發展理念，是將可持續目標與救援物資分配優化模型無縫銜接的前提條件和理論依據。基于此，如何刻畫突發事件情境下社會、環境和經濟維度的可持續發展績效，如何建立面向可持續發展的救援物資分配多目標規劃模型、兩階段規劃模型和雙層規劃模型，這些都是值得深入研究的問題。

3.5 求解救援物資分配雙層規劃模型的啟發式算法設計

曹策俊等［57］、Lu 等［61］指出即使雙層規劃模型是線性的，其求解也非常困難。為提高求解效率，設計針對性的啟發式算法是必要的和緊迫的。通過梳理文獻發現，遺傳算法和模擬植物生長算法分別作為經典和新的智能算法被廣泛應用于求解數學規劃模型。

具體地，現有研究主要針對救援物資分配單層規劃模型設計遺傳算法及其拓展算法，但較少關注如何設計支持“多準則決策建模、高不確定性和復雜性求解”的高效遺傳算法。具體地，針對救援物資分配雙層規劃模型，如何設計帶精英策略且下層采用分支定界法的嵌套式遺傳算法，如何設計帶精英策略且下層采用遺傳算法的嵌套式遺傳算法，如何提高遺傳算法求解雙層規劃模型的效率，以及如何將遺傳算法與其他算法融合形成新算法求解救援物資分配雙層規劃模型，這些問題都是需要進一步研究的方向。

針對模擬植物生長算法而言，它是學者李彤與王春峰于2005 年根據植物向光性動力機制和L-系統理論提出的全局類仿生算法［64］。該方法作為新的智能算法，憑借在時間和空間上的魯棒性等優勢，為求解各領域內的數學規劃模型提供了新的思路和技術手段。在應急管理領域，模擬植物生長算法現階段主要用于求解救援物資分配單層規劃模型，如何設計支持“多準則決策建模、高不確定性和復雜性求解”的模擬植物生長算法亟待深入研究。基于此，未來的研究工作需要解決以下問題：針對救援物資分配雙層規劃模型，如何設計帶精英策略且下層采用分支定界法的嵌套式模擬植物生長算法，如何設計帶精英策略且下層采用模擬植物生長算法的嵌套式模擬植物生長算法，以及如何提高模擬植物生長算法求解雙層規劃模型的效率。

3.6 基于新ICT的救援物資分配數學規劃模型構建研究

諸如云計算、大數據技術、數字孿生技術和區塊鏈等新ICT 的興起，對救援物資分配數學規劃模型的構建或應急管理提出了新的挑戰，但也帶來了機遇［68］。隨著時間的推移，新ICT 逐漸被廣泛應用于各個領域。在應急管理領域，陳迎欣等［69］借鑒云計算和雙目標優化思想，建立了基于任務-資源匹配的應急資源分配優化模型；Papadopoulos 等［70］利用非結構化和結構化大數據驗證了可持續災害供應鏈網絡的韌性；Prasad 等［71］通過對12 個人道主義價值流案例的定性研究，建立了相應的資源依賴模型，將大數據分析與卓越的人道主義績效聯系起來。

盡管國內外學者運用ICT 對應急管理問題進行了有意義的探索，但其仍處于起步階段；如何將大數據、數字孿生、區塊鏈等新ICT 與救援物資分配問題深度融合還需深入研究。具體地，大數據可為救援物資分配策略的制定提供良好的數據環境和技術手段，提高應急決策的精度和可靠性，從而實現“經驗驅動”向“數據驅動”決策模式轉變的目標［72-74］。數字孿生作為踐行智慧城市等先進理念的一種使能技術和方法，自2003 年在制造領域被提出后，得到了實踐界和學術界的廣泛關注［75-77］，為新時代救援物資分配優化建模提供了新的思路和方法。災害發生屬于無中心的事件，區塊鏈作為去中心化的技術為應對災害提供了有效的技術手段，可大幅度提高響應效率［78-79］。因此，以大數據為基礎，如何探究事前、事中和事后調用救援物資的規則，如何構建數據驅動的救援物資分配決策模型，如何構建救援物資物理子系統、虛擬子系統、智能決策服務系統，以及如何建立相應的孿生數據庫，如何理解和詮釋區塊鏈驅動的救援物資分配決策優化問題，以及如何構建基于區塊鏈技術的救援物資分配數學規劃模型，這些問題都是未來的研究方向。

4 結語

為了提高救援物資利用率，本文聚焦于數學規劃方法在救援物資分配優化問題中的應用（模型構建及其求解算法設計）研究現狀。從目標函數數量、“府際”關系兩個維度，對救援物資分配數學規劃模型的研究現狀進行了綜述；從精確算法和啟發式算法兩個方面，梳理了求解救援物資分配數學規劃模型的算法的研究進展；從支撐框架、不確定環境、可持續發展、啟發式算法和新ICT 五個方面，提出了救援物資分配優化問題的未來研究方向。總體而言，盡管學術界對基于數學規劃的救援物資分配優化問題進行了大量研究，但在新時代背景下其仍然面臨諸多挑戰。在未來研究中，需將應急管理理論與實踐更密切地結合，提高算法/軟件的求解效率，關注新的ICT（如區塊鏈、大數據）對救援物資分配帶來的沖擊，從而進一步完善和豐富理論研究成果。