基于二階近似積分不等式的時滯系統穩定性分析

王 楠, 龔德仁, 許光坦, 段登平

(上海交通大學航空航天學院,上海 200240)

時滯系統廣泛存在于工業過程、生物、電信、經濟、機械工程等諸多實際情況中。系統的時滯往往會引起系統的振蕩和不穩定性,這就促使了大量的研究人員致力于用不同的判據進行系統的穩定性分析[1-2]。定常時滯系統穩定性的分析已經得到了廣泛的研究,學者們提出了許多理論方法,如特征方程和特征值分析[3-4]。

對于離散時滯系統,早期的學者大多采用離散Jensen不等式[5-6]和自由加權矩陣[7]方法進行穩定性分析。針對線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)條件推導過程中存在的二重求和項,文獻[8-9]引入了時滯分割方法,文獻[10-11]等提出了最優分配方法,使時變時滯系統具有較低的保守性。后來,一些新的方法不斷被提出,如有限和不等式[12]、離散Wirtinger不等式[13]以及一些改進的求和不等式[14-18]、凸組合方法[19-20]等。文獻[15]建立了基于輔助函數的求和不等式,改進了基于亞伯引理的有限和不等式。文獻[20]推導出了改進的凸組合不等式,與擴展的凸組合不等式相比,引入了更少的松弛矩陣變量。

現提出一個新的積分不等式,稱為二階近似積分不等式,著名的Jensen和基于Wirtinger的不等式均為其低階近似。利用二階近似積分不等式(SAII)提出具有較低保守性新的時滯系統的穩定性判據,并通過數值算例驗證該方法在定常時滯系統中穩定性分析時的有效性和優越性。

1 二階近似積分不等式

(1)

偏差變量：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

證明定義如下一系列函數:

(7)

易得：

(8)

(9)

(10)

對t∈[a,b],定義以下函數：

(11)

因為R>0,于是有

(12)

將式(7)～式(11)代入式(12)得：

(13)

至此,可以得到不等式(6)成立,證明完畢。

注1: 將不等式(4)～式(6)右邊的項分別定義為

(14)

可以得到:

(15)

結果表明,與Jensen不等式和Wirtinger不等式相比,SAII具有更高的階近似。實際上,IJensen、IWirtinger和ISAII就是原點二重積分的零、一、二階近似。證明如下:

(16)

于是有

(17)

將式(17)代入式(3)得：

(18)

式(18)的逆為

(19)

(20)

(21)

(22)

2 定常時滯系統穩定性分析

考慮以下具有區間時變時滯的系統

加拿大各省和美國各州課標中的支股或條目往往不同，連名稱都不一樣.加拿大西部幾省的條目(organizer)，包括數的概念(算術)，模式與關系(代數)，形狀與空間(幾何)，以及概率統計等四項.每一條目下轄若干次級條目.支股也好，條目也好，從一年級引進，不論有無必要，課標中年年出現，直到小學畢業.[9] 傳統小學數學自成一個完整有機的體系；而發現式數學基本上是一個若干數學分支的混合.

(23)

式(23)中:x(t)∈Rn表示n維狀態向量;A和Ah是具有適當維數的實已知常數矩陣；連續可微函數φ(t)表示初始條件；h≥0是系統的定常時滯。

定理1如果存在矩陣P>0,Q>0和R>0滿足式(24)所示條件,則系統[式(23)]是漸進穩定的:

(24)

證明定義如下擴展向量χ(t):

(25)

擴展向量χ(t)可以表示用ξ(t)表示為

χ(t)=Bξ(t)

(26)

(27)

系統[式(23)]可以重寫為

(28)

式(28)中:

Ae=[AAh00]

(29)

對χ(t)求導得:

(30)

式(30)中:

(31)

為了分析系統[式(23)]的穩定性,考慮如下李雅普諾夫-克拉索夫斯基泛函(Lyapunov-Krasovskii functional，LKF):

(32)

對Vi(t)求時間導數得到:

(33)

式(33)中:

(34)

證明完畢。

3 算例

算例1考慮具有與文獻[21]算例相同系數矩陣的系統式[(23)]:

(35)

使用時滯掃描技術得到最大的時滯上界為hmax=6.172 5。表1給出了本文算法及最近許多使用Jensen不等式、基于Wirtinger的不等式的論文得到的最大允許時滯上界。根據比較結果可知,本文所提出的SAII得到的上界明顯優于其他文獻。

表1 最大允許時滯上界

算例2考慮在文獻[25]中研究的具有如下系數矩陣的動力學:

(36)

式(36)中：K為可變參數。

結果表明,與Jensen不等式和基于Wirtinger的不等式相比,SAII的穩定性區域更大,如圖1所示。當參數K≤0.295時,即使時滯很大(如h=500時),系統仍然是穩定的。

圖1 不同時滯下h的允許上界KFig.1 Allowable upper K with variable delay h

4 結論

提出了一個二階近似積分不等式(SAII)來分析時滯系統的穩定性,著名的Jensen不等式和Wirtinger不等式均為所提方法的低階近似。通過選擇適當的LKF,引入了新的具有較低保守性的穩定性準則。數值算例表明,與現有的時滯系統相比,該方法有較大的改進。