基于微分方程組的液態熔鹽堆堆芯出口溫度控制

曾文杰，姜慶豐，謝金森，于 濤,*

(1.南華大學 核科學技術學院，湖南 衡陽 421001；2.南華大學 核燃料循環技術與裝備湖南省協同創新中心，湖南 衡陽 421001)

熔鹽堆液體燃料鹽的流動特性，使其成為完全不同于傳統固體燃料反應堆的一種堆型。近年來，液態熔鹽堆的研究得到了許多研究者的廣泛關注。魏泉等[1]運用熔鹽堆點堆動力學程序，研究液態燃料熔鹽堆的運行物理特性；施承斌等[2]對 RELAP5 模型進行擴展，將其應用于液態燃料熔鹽堆的建模分析。周波等[3]運用Mathematica 7.0開展對熔鹽堆主回路衰變熱特性的研究。Vikram Singh等[4,5]針對MSBR(MSBR：molten salt breeder reactor)和液態熔鹽實驗堆開展了系統建模和動態仿真分析。W.H.Sides[6]針對MSBR開展了堆芯功率控制系統的設計研究。液態熔鹽堆中，液體燃料在主回路系統中流動，使得堆芯出口處燃料溫度成為直接表征堆芯運行狀態的參量。因此，開展液態熔鹽堆堆芯出口燃料溫度控制研究是必要的。

在設計堆芯出口燃料溫度控制系統前，需先建立液態熔鹽堆堆芯系統的數學模型。微分方程、傳遞函數和狀態空間表達是連續系統的3種數學表達形式。其中，狀態空間表達相當于微分方程線性化后忽略高階擾動項的矩陣形式，狀態空間和傳遞函數之間可以通過拉氏變換和反拉氏變換進行互相轉換。為開展液態熔鹽堆堆芯出口溫度控制研究，直接基于堆芯微分方程組，采用MATLAB/Simulink[7-9]建立堆芯仿真系統，基于該仿真系統設計堆芯出口處燃料溫度模糊PID控制器。以MSBR堆芯為對象，開展堆芯出口燃料溫度控制仿真。

1 堆芯模型的建立

1.1 堆芯非線性模型

考慮液態熔鹽堆液體燃料的流動性，依據圖1所示，采用集總參數法建立堆芯非線性數學模型[6,10]。

圖1 液態熔鹽堆堆芯建模劃分示意Fig.1 Modeling and partitioning of liquid molten salt reactor core

1.1.1 堆芯物理模型

基于點堆動力學模型，根據堆芯中子密度與緩發中子先驅核密度守恒原理，建立堆芯物理模型[6]。

(1)

(2)

公式(2)中，采用泰勒級數可以將時間延遲項轉化為[6]：

(3)

將公式(3)代入公式(2)中，可以得到：

(4)

對公式(1)、公式(4)進行歸一化處理可以得到：

(5)

公式(5)中[6]：

公式(1)～公式(5)中：中子相對密度Nr(t)=N(t)/N0；第i組緩發中子先驅核相對密度Cir(t)=Ci(t)/Ci0；N0、Ci0分別表示堆芯初始穩態中子密度、第i組緩發中子初始穩態先驅核濃度；t表示時間；ρ表示引入堆芯的總反應性；β表示緩發中子總份額；βi、λi分別表示第i組的緩發中子份額和緩發中子先驅核衰變常數；Λ表示中子代時間；τc、τl分別表示液體燃料在堆內流動時間和堆外流動時間。

考慮堆芯燃料的流動性造成反應性損失、控制棒移動引入反應性以及堆芯燃料、石墨的溫度反饋反應性，建立堆芯總反應性的計算公式[6]：

ρ=ρ0+ρrod+αf(Tf-Tf(0))+
αg(Tg-Tg(0))

(6)

公式(6)中：

(7)

式中：ρ——堆芯的總反應性；

ρ0——堆芯燃料流動造成的反應性損失；

ρrod——控制棒引入的反應性；

下標f、g——表示燃料熔鹽和石墨；

T——溫度；

α——溫度反饋系數；

T(0)——初始穩態時刻溫度。

1.1.2 堆芯熱工模型

依據圖1所示，基于堆芯系統能量守恒原理，建立堆芯熱工模型[6,10]。

(8)

式中：M——質量；

Cp——定壓比熱容；

Tf,in、Tf,out——堆芯進口處燃料溫度和堆芯出口處燃料溫度；

G——堆芯質量流量；

k——產熱份額；

P0——堆芯初始穩態功率；

U——燃料和冷卻劑間的換熱系數。

公式(5)、公式(8)共同構成液態熔鹽堆堆芯非線性模型。

1.2 堆芯微分方程組的實現

將堆芯微分方程組中每個變量看成：

X=X0+δX

式中：X0——系統變量穩態初始值;

δX——系統變量增量值，則可將堆芯微分方程組(5)、(8)轉化為:

(9)

將微分方程組(9)中的第一個公式兩邊同時積分可得：

(10)

方程組(9)中表示的是系統參數增量之間的關系，運用MATLAB/Simulink建模時，應先選取輸入輸出量。以公式(10)為例，以緩發中子先驅核相對密度、反應性、石墨溫度變化等作為輸入值，相對中子密度偏差作為輸出值，二者之間通過代數運算與積分運算相連接。在MATLAB/Simulink中對公式(10)進行模塊搭建，如圖2所示。

圖2 公式(10)的MATLAB/Simulink模型圖Fig.2 MATLAB/Simulink Model Diagram of Formula(10)

同理，將微分方程組(9)中的其他公式進行模塊搭建，依據堆芯燃料流動及傳熱的基本性質將各個模塊連接，建立堆芯仿真系統，如圖3所示。

圖3 基于MATLAB/Simulink液態熔鹽堆堆芯系統Fig.3 Core system of liquid molten Salt reactor based on MATLAB/Simulink

2 堆芯出口溫度控制系統設計

2.1 堆芯出口溫度控制策略制定

以熔鹽增殖堆MSBR堆芯為對象，其堆芯的基本物理參數如表1所示[6,10]。設計MSBR堆芯燃料出口溫度控制策略。

表1 MSBR堆芯的基本物理參數

堆芯燃料熔鹽溫度由系統外界如電網等所需的堆芯負荷功率決定。在設計液態熔鹽堆運行方案中，堆芯燃料出口溫度隨堆芯功率變化。為避免因燃料熔鹽溫度過低導致燃料熔鹽凝固或因堆芯燃料溫度過高難以保證堆內結構材料的完整性，因此無論是在高功率或是在低功率水平下，都必須保證堆芯出口溫度值保持在一個合理范圍內，確保熔鹽堆堆芯在整個功率水平范圍內安全運行。假設堆芯燃料出口溫度設定值是一個隨堆芯功率變化的函數[6]:

(10)

(11)

Prd——系統外界所需的堆芯相對功率值。

為了將堆芯燃料出口溫度設定值與堆芯燃料進口溫度測量值之間建立關系，假設堆芯相對功率設定值正比于兩者之差。即：

(12)

式中：Pr,set——堆芯相對功率設定值；

A——比例常數，與堆芯燃料質量流量成正比。

堆芯相對功率實際運行值Pr與堆芯相對功率設定值Pr,set之間的偏差如公式(13)所示。

e=Pr,set-Pr

(13)

利用堆芯相對功率偏差信號設計堆芯功率控制器。在堆芯功率控制過程中，設定堆芯控制棒引入反應性的速率如公式(14)所示。

(14)

2.2 堆芯出口溫度控制器設計

考慮到傳統PID控制器的控制器參數不具備自整定功能，無法根據實際控制情況對參數進行實時調整。在現有基礎上[11,12],基于熔鹽堆堆芯微分方程模型，設計堆芯出口溫度模糊PID控制器。模糊PID控制器結構圖如圖4所示，相對于傳統PID控制器，模糊PID控制器可實時根據誤差情況及誤差變化情況對PID控制器的參數進行調整，以到達更優的控制效果。

圖4 模糊PID控制器結構圖Fig.4 Structure Diagram of Fuzzy-PID Controller

為簡化堆芯燃料出口溫度控制器的設計，僅將棒速程序單元作為一個增益為Kc的線性環節。采用Matlab/simulink[7-9]編制程序進行模糊PID控制器計算，建立的堆芯燃料出口溫度控制系統如圖5所示。

圖5 基于模糊PID控制的堆芯出口溫度控制系統Fig.5 Core Outlet Temperature Control System Based on Fuzzy PID Control

3 堆芯動態仿真分析

在100%FP堆芯功率水平下，引入100×10-5、200×10-5階躍反應性時，得到如圖6所示的響應曲線。從圖中可知，在20 s時刻，引入階躍反應性，堆芯燃料出口溫度先急劇上升，后逐漸下降，最終穩定在堆芯出口溫度初始值。在此過程中，相對功率偏差先瞬間增大，后緩慢下降，最終穩定在零值，其原因是設計的模糊PID控制器作用于控制棒，控制棒移動引入負反應性，堆芯燃料、堆芯石墨的溫度反饋引入負反應性，抵消了引入的階躍反應性。對比微分方程與傳遞函數的圖形可知，在整個過程中，微分方程模型與傳遞函數模型的響應曲線相近。然而，微分方程的變化幅度略大于傳遞函數的變化幅度，在引入100×10-5、200×10-5反應性，二者相對功率之間的最大誤差分別為0.061 7、0.176 6。這是由于基于堆芯線性化方程組建立的傳遞函數模型忽略了二階及二階以上的微小擾動項，而在基于堆芯非線性模型建立的微分方程組模型中，未做任何簡化。

在100%FP功率水平下，引入堆芯燃料進口溫度階躍2 ℃、5 ℃擾動時，得到如圖7所示的響應曲線。從圖7中可知，引入堆芯進口溫度擾動時，無論是傳遞函數模型還是微分方程模型，堆芯出口溫度都在模糊PID控制器的作用下回到了初始堆芯出口溫度值。而相對功率水平存在小幅度的下降。根據公式(12)可知，這是由于堆芯進口溫度升高，而導致堆芯相對功率設定值降低。同時，由于整體變化幅度較小，故微分方程模型與傳遞函數模型變化趨勢相近?；谏鲜龇抡娣治隹梢姡诙研疚⒎址匠探M設計堆芯燃料出口溫度控制策略的方法是合理可行的。

圖7 100%FP功率下，堆芯進口溫度擾動響應Fig.7 Core inlet temperature disturbance response at 100%FP

為驗證仿真結果的可靠性，開展堆芯出口溫度跟蹤研究，通過設置堆芯出口溫度的運行參考值，將仿真結果與堆芯參考值進行對比。在100%FP堆芯功率水平下，模擬在100 s 以前，系統按初始穩態功率運行，此時堆芯燃料出口溫度設定值即為堆芯初始穩態出口溫度，在100 s 時刻，將出口溫度設定值按0.2 ℃/s的速率下降50 s后穩定運行150 s，在300 s時刻，設定值以同樣的速率回到初始穩態出口溫度水平，仿真結果如圖8所示。從功率響應圖可知，堆芯功率的運行參考值與堆芯功率模糊PID控制值相接近，未出現大的偏差。從溫度響應圖可知，系統在模糊PID控制下能實現對堆芯燃料出口溫度的良好跟蹤，可見采用模糊PID進行堆芯燃料出口溫度控制是可行的。

圖8 100%FP功率下，堆芯燃料出口溫度跟蹤響應Fig.8 Core fuel outlet temperature following response at 100% FP

4 結論

本文直接基于堆芯微分方程組設計液態熔鹽堆堆芯出口溫度控制系統。在Matlab/simulink中建立了堆芯仿真系統。以MSBR堆芯為對象，開展堆芯反應性擾動、堆芯進口溫度擾動、堆芯出口溫度跟蹤的仿真。結果表明，三種擾動情況下，通過模糊PID 控制器的作用，堆芯出口溫度、堆芯相對功率等參數最終達到穩定狀態，并且堆芯微分方程模型與堆芯傳遞函數模型的響應曲線相近。可見，基于堆芯微分方程組建立的液態熔鹽堆堆芯出口溫度控制是有效的。