基于綜合指標的最優(yōu)冗余陀螺配置確定方法

馮佳佳， 王佐偉

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190）

0 引言

陀螺（慣性姿態(tài)敏感器）是航天器高精度、高穩(wěn)定度控制系統(tǒng)中關(guān)鍵的姿態(tài)敏感器,陀螺配置主要指陀螺的類型、安裝數(shù)目、安裝結(jié)構(gòu)、冗余備份方式等。由于航天器的姿態(tài)性能指標（姿態(tài)確定精度、指向精度、姿態(tài)穩(wěn)定度）均與參與閉環(huán)的陀螺配置相關(guān),因此陀螺的配置對航天器控制系統(tǒng)的設(shè)計來說至關(guān)重要［1］。

目前,陀螺配置主要采取冗余措施［2］,且有一定的研究成果。文獻［3］、文獻［4］以可靠性為基礎(chǔ)對陀螺的冗余配置進行了研究,通過判別可靠性確定出了陀螺冗余配置的最佳安裝數(shù)目；文獻［5］～文獻［8］分別以導航特性、故障診斷性和測量精度為基礎(chǔ)對陀螺的冗余配置進行了研究,通過優(yōu)化陀螺的冗余配置結(jié)構(gòu)使得系統(tǒng)獲得了在某一方面的最優(yōu)特性；文獻［9］～文獻［11］分別以可靠性、精度、故障診斷性等指標為基礎(chǔ)對陀螺的冗余配置進行對比研究,通過指標對比確定出了陀螺在某些性能方面的最優(yōu)配置結(jié)構(gòu)。然而,目前的研究均針對幾種固定構(gòu)型的陀螺冗余配置,以單項指標或多項指標為基礎(chǔ)進行對比分析,沒有形成系統(tǒng)性、理論性的確定最優(yōu)冗余陀螺配置的方法。事實上,在實際的工程中,陀螺在進行配置時應系統(tǒng)性的考慮陀螺冗余配置的形式,并綜合考查可靠性、精度、質(zhì)量、成本等綜合指標,這樣才能確定出最優(yōu)的冗余配置。因此,以綜合指標為基礎(chǔ)對陀螺的冗余配置進行系統(tǒng)性的研究十分有必要。

本文首先以工程中普遍采用的陀螺均勻斜置式為對象,系統(tǒng)性給出陀螺斜置式的安裝結(jié)構(gòu),并以測量誤差最小為目標確定出確定數(shù)目的最優(yōu)陀螺冗余安裝結(jié)構(gòu),然后對陀螺冗余配置的綜合指標進行詳細的分析,最后利用優(yōu)化評價方法對不同數(shù)目的陀螺冗余配置進行綜合評價,從而確定出陀螺斜置式安裝的最優(yōu)配置,從理論上給出了最優(yōu)冗余陀螺配置的確定方法。需要說明的是,本文所研究的陀螺均為同一類型。

1 陀螺斜置式最優(yōu)安裝結(jié)構(gòu)的確定

陀螺在進行配置時,首先需要確定陀螺的最優(yōu)安裝結(jié)構(gòu)。由文獻［12］可知,目前工程上普遍采用斜置式安裝結(jié)構(gòu),即將n個陀螺的測量軸沿半錐頂角為β的錐面均勻分布安裝,該安裝結(jié)構(gòu)一方面便于進行規(guī)范化的測量轉(zhuǎn)換以及故障診斷、隔離和重構(gòu) （Fault Detection,Isolation and Reconfiguration,FDIR）設(shè)計,另一方面工程上也易于實現(xiàn)。圖1給出了4個陀螺的斜置式安裝結(jié)構(gòu)。

圖1 4個陀螺的斜置式安裝結(jié)構(gòu)Fig.1 Inclined installation structure for four gyroscopes

由安裝結(jié)構(gòu)可以得到n個陀螺的斜置式安裝矩陣H

式（1）中,α為初始安裝角,工程上一般取為 0°。

在冗余配置的系統(tǒng)中,冗余陀螺的輸出方程為

式（2）中,X∈R3為待測的狀態(tài)（通常為三軸角速度）,Z∈Rn為n個陀螺的量測值（n≥3）,H為陀螺的安裝矩陣,ε為零均值的Gauss白噪聲。

由文獻［13］可知,Harrison和Gai提出如下性能指標

當安裝矩陣H使得Fp取得最小值,則系統(tǒng)由噪聲所引起的誤差最小,系統(tǒng)可獲得最佳的特性。

因此,對于n個陀螺的斜置安裝結(jié)構(gòu),當半錐安裝頂角為

此時的安裝結(jié)構(gòu)為n個陀螺的斜置式最優(yōu)安裝結(jié)構(gòu)。

在陀螺安裝數(shù)目已經(jīng)確定的情況下,該安裝結(jié)構(gòu)為最優(yōu)冗余配置,但在陀螺的安裝數(shù)目不確定的情況下,陀螺的最優(yōu)冗余配置還不能確定。事實上,隨著陀螺數(shù)目的增加,系統(tǒng)的可靠性和精度都隨著增加,但相應的成本代價等指標也會相應的增加。

因此,下一步將確定出斜置式陀螺的最優(yōu)冗余安裝數(shù)目。

2 陀螺斜置式最優(yōu)安裝數(shù)目的確定

2.1 綜合指標

在陀螺最優(yōu)安裝數(shù)目確定之前,首先需要確定出工程中陀螺配置的綜合性能指標。

結(jié)合工程實際經(jīng)驗,對航天器控制系統(tǒng)設(shè)計中陀螺冗余配置進行詳細系統(tǒng)的分析,陀螺配置的綜合指標如圖2所示。

其各項指標的含義及計算公式為：

（1）基本可靠性

基本可靠性是指在規(guī)定條件下及規(guī)定時間內(nèi)的無故障工作能力,它反映的是對維修資源的需求［14］。在陀螺的冗余配置中,它與陀螺的工作狀態(tài)以及故障診斷與隔離等都密切相關(guān)。因此,在實際工程中,一般要求基本可靠性越高越好。在n個陀螺的冗余配置中,基本可靠性為

圖2 陀螺配置的綜合指標Fig.2 Comprehensive index of gyroscope configuration

式（5）中,R0為單個陀螺的可靠性。

（2）任務(wù)可靠性

任務(wù)可靠性是指在規(guī)定的任務(wù)剖面內(nèi)完成規(guī)定功能的能力,它反映的是對任務(wù)成功性的要求［14］。在實際的工程中,任務(wù)成功性是首要和主要追求的目標,一般要求任務(wù)成功性越高越好。在陀螺斜置式冗余配置中,由于任意3個陀螺均不共面,故只要有任意3個陀螺無故障就可以保證任務(wù)的成功,所以任務(wù)可靠性為

（3）測量精度

冗余陀螺的測量方程是一個含有隨機誤差的代數(shù)方程,一般情況將測量得到的冗余數(shù)據(jù)運用最小二乘估計進行處理。根據(jù)最小二乘估計原理,要求估計值能使所有測量值相對估計值的偏差平方和為最小。當所有冗余陀螺都正常工作時,滿足最小二乘判據(jù)的最佳值為

當陀螺采用無冗余正交安裝時,陀螺測量單元的3個軸向的測量精度就是陀螺的測量精度。當采用冗余配置后,陀螺測量單元的測量精度有無提高不能確定,需要引入指標函數(shù)來確定。由文獻［13］可知,可以采用如下的測量精度指標函數(shù)

式（8）中,Hp為確定安裝陀螺數(shù)目下的最優(yōu)安裝矩陣,可由式（1）～式（4）計算得到。Fm的數(shù)值越小,則測量精度越高。

（4）冗余度

冗余度是指陀螺的冗余程度,它反映的是系

式（10）中, ［·］的含義為取整計算。

（6）成本代價

成本代價是指陀螺冗余配置時所付出的所有代價,這里的代價是廣義的,它可以是價格、重量、體積、功耗、安裝難度、維護管理等,也可以是以上諸多因素的綜合［19］。因此,對于n個陀螺的冗余配置來說,成本代價可以定義為

成本代價函數(shù)與安裝的陀螺個數(shù)成指數(shù)函數(shù)關(guān)系,一般可根據(jù)工程實際進行確定。

2.2 優(yōu)化評價方法

在綜合指標確定后,下一步將確定出評價方法。目前的評價方法主要有兩類,一類為主觀評價方法,另一類為客觀評價方法。這兩類評價方法各有優(yōu)缺點,為了讓評價結(jié)果更加科學合理,同時又兼顧評估專家對指標的青睞,盡量減少主觀隨意性,故采用優(yōu)化評價方法［20］。優(yōu)化評價方法以最小二乘為工具對主觀評價方法和客觀評價方法進行優(yōu)化,以各方案對正負理想方案的貼近度為依據(jù)從而確定出方案的優(yōu)劣。

（1）指標數(shù)值歸一化

由于綜合指標中的量綱各不相同,需要進行統(tǒng)工作模式的備份數(shù)［15］。n個陀螺中只要有3個無故障,便可保證系統(tǒng)正?？煽康毓ぷ?。因此,根據(jù)文獻［15］,冗余度可定義為

（5）故障隔離度

故障隔離度是指當系統(tǒng)中的陀螺出現(xiàn)故障后能有效進行隔離的程度。從故障診斷與隔離的角度來分析,在3維空間中,當陀螺的冗余配置數(shù)為4時,只能檢測出故障而不能隔離出故障陀螺；若使系統(tǒng)具有隔離P個單故障陀螺的能力,則至少需要（P+3+1）個陀螺。當其中1個陀螺發(fā)生故障時,在其沒有完全被隔離的情況下另1個陀螺也發(fā)生了相似的故障,則不能按上述的方法進行配置。當K個陀螺同時發(fā)生故障時,如果系統(tǒng)具有故障檢測與故障隔離的能力,則至少需要有（2K+3）個陀螺［16-18］。本文主要考慮能被隔離出同時發(fā)生故障的陀螺數(shù),從這個角度可以定義故障隔離度為規(guī)范化處理［21］。

設(shè)有a個評價對象及b個評價指標,以xij表示第i個待評對象的第j個評價指標值,構(gòu)成矩陣為X=（xij）a×b, 將其轉(zhuǎn)換成規(guī)范化矩陣R=（rij）a×b。 其中,對越小越優(yōu)性指標采用如下轉(zhuǎn)換形式

對越大越優(yōu)性指標采用如下轉(zhuǎn)換形式

（2）安裝數(shù)目的確定

在a個評價對象及b個評價指標中,設(shè)主觀評價方法給出的指標權(quán)重為U=［u1u2…ub］T,客觀評價方法給出的指標權(quán)重為V=［v1v2…vb］T,各指標優(yōu)化組合權(quán)重為W=［w1w2…wb］T。

第i個評價對象的評價值為

對評價指標而言,主客觀評價值的偏差越小越好。因此,建立最小二乘模型［22］

對式（15）作Lagrange函數(shù),可得

令

式（17）、 式（18）用矩陣可表示為

由式（19）可得

將規(guī)范化矩陣R按列單位化,則得到單位化矩陣Z=（zij）a×b。

取各指標的最大值構(gòu)成正理想方案,即

取各指標的最小值構(gòu)成負理想方案,即

定義

式（23）、 式（24）中,Li、Di分別為方案Ai（i=1,2,…,a）對正理想方案A+和負理想方案A-的貼近度。

評價系數(shù)Fi定義為

通過評價系數(shù)Fi對不同陀螺的安裝數(shù)目進行評價,Fi的數(shù)值越大,則冗余陀螺配置越優(yōu),從而可以確定出最優(yōu)的冗余陀螺安裝數(shù)目,即最優(yōu)的冗余陀螺配置。

3 陀螺斜置式的分析與計算

為了尋得最優(yōu)的冗余陀螺配置,需要綜合評價出n≥4時的斜置式陀螺冗余配置情況。對于由斜置式陀螺冗余配置組成的系統(tǒng),當n無限增大時,會大大增加系統(tǒng)的體積、質(zhì)量、成本和控制復雜度,這不利于實際應用,所以本文只考慮n∈［4,15］的情況。表1給出了n取不同值時各項指標的情況。

表1 n變化時的各項指標Table 1 Index values when n changes

由于基本可靠性、任務(wù)可靠性、冗余度、故障隔離度都為越大越優(yōu)型指標,測量精度、成本代價為越小越優(yōu)型指標,則將指標進行規(guī)范化可得

采用層次分析（Analytic Hierarchy Process,AHP）方法［23］確定的主觀權(quán)重U為

采用熵方法［21］確定的客觀權(quán)重V為

通過式（20）計算得到的優(yōu)化權(quán)重W為

最后, 利用式（21）～式（25）得到的計算結(jié)果如表2所示。

表2 計算結(jié)果Table 2 Calculation results

由表2可知,n=7時的F數(shù)值最大,即當陀螺的安裝數(shù)目為7時的冗余配置為陀螺斜置式的最優(yōu)冗余配置。

事實上,一方面隨著陀螺安裝數(shù)目的增加,任務(wù)可靠性、測量精度等也會增加,不過隨著數(shù)目增加到一定程度,它們增加的幅值不是很明顯,但是基本可靠性會顯著降低,成本代價會顯著增加,故陀螺安裝數(shù)目不能取較大值；另一方面本文引入了故障隔離度這一指標,對于陀螺安裝數(shù)目較小時,不能有效的隔離故障,而且任務(wù)可靠性、測量精度等也會很低,從這個角度來說,7個陀螺的斜置安裝為最優(yōu)冗余配置,該結(jié)論對工程實際應用具有指導作用。

需要說明的是：1）目前在航天器實際工程中,陀螺的冗余配置數(shù)量一般根據(jù)航天任務(wù)的可靠性指標進行確定,較少考慮其他指標因素,本文的研究可以作為在滿足航天任務(wù)可靠性的前提下確定最優(yōu)冗余陀螺配置的方法。2）綜合指標包括很多因素,有些因素可能還引入主觀因素在里面,如成本代價。此外,單個陀螺的基本可靠性需要有足夠的樣本支撐,基本可靠性選取的不同會影響最終結(jié)果。3）工程上為了陀螺故障定位（短期時間內(nèi)僅考慮單陀螺故障,一般不考慮多陀螺故障）一般會開啟5個陀螺,且用于測量的陀螺數(shù)目可能為3～5個,所以文中無論是理論分析的精度指標還是任務(wù)可靠性指標均與實際應用有所差別。因此,本文的理論研究均是在一定的前提下實現(xiàn)的,對工程具有理論指導意義,但不能完全等同于工程。

4 結(jié)論

本文提出了一種確定最優(yōu)冗余陀螺配置的方法,該方法綜合考慮了陀螺配置的各項綜合性能指標,并利用該方法對斜置式陀螺冗余配置進行了分析和計算。結(jié)果表明,當陀螺的安裝數(shù)目為7時為最優(yōu)冗余配置,該結(jié)論對工程實際具有指導作用。同時,本文所提出的方法也可以用于不同陀螺構(gòu)型冗余配置的對比分析,為陀螺的冗余配置提供系統(tǒng)性的理論方法和依據(jù)。