站在核心素養的視角看立體幾何問題的解答

◇ 甘肅 王二強

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出了高中數學核心素養,包括數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析這六個方面.立體幾何內容是考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養的有效載體.本文以2019年全國卷Ⅲ中一道立體幾何問題的求解為例,就其中所考查的數學學科素養進行分析.

(1)證明：圖2中的A,C,G,D 四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-GC-A 的大小.

圖1

圖2

立體幾何與空間向量的解答題通常以棱柱、棱錐為載體,或通過將平面圖形折疊為多面體進行考查.第(1)問一般考查空間中的平行或垂直關系的證明,第(2)問計算幾何體的表面積、體積、空間角或空間距離.以空間角的求解為例,求解方法主要有定義法、向量法和面積投影法.本文利用這幾種方法,從核心素養的視角,探究第(2)問的解法.

1 定義法

定義法,即利用平行、垂直原理構造空間角的平面角,利用解三角形的有關公式、定理求解.

解法1如圖3 所示,取CG 的中點M,連接DM.因為DE∥AB,故由(1)知DE⊥平面BCGE,所以DE ⊥ME,所以△DEM 為直角三角形.由菱形BFGC 可知,BE＝2,∠FBC＝,所以EM ＝,又DE＝AB＝1,所以DM ＝＝2.又因為GM ＝,所以DM2＋GM2＝DG2,DM ⊥GC,所以∠DME 即為二面角B-GC-A 的平面角,所以,二面角B-GC-A 的大小為.

圖3

2 向量法

向量法,即通過建立空間直角坐標系,利用直線的方向向量、平面的法向量之間的夾角來求解.此法是求解空間角問題的常用方法.

解法2取BC 的中點M,連接EM,由菱形BFGC 可知,BE＝2,∠FBC＝,所以EM ⊥BC,且EM ＝.由(1)知 平 面ABC ⊥平 面BCGE,所 以EM ⊥平面ABC.

以M 為坐標原點,建立如圖4 所示的空間直角坐標系M-xyz,則A(－1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),所以

圖4

3 投影法

投影法是將構成二面角的兩個面中的一個面投影到另外一個面上,利用投影面積與該面面積的比例關系與二面角的余弦關系進行求解.

解法3如圖5所示,連接CD,CE,則所求二面角即為平面BEC 與平面ADC 所夾的角.

圖5

因為AB⊥BE,AB⊥BC,所以AB⊥平面BCE,DE⊥平面BCE,所以△ADC 在平面BCE 上的投影為△BCE.取AD 的中點N,取CG 的中點M,連接CN,DM.由定義法可知CN ∥DM,CN ⊥AD,且CN＝DM ＝2,又AD＝2,所以△ADC 的面積為×2×2＝2.

總之,在立體幾何與空間向量模塊的備考中,要加強審題能力的培養,理清點、線、面之間的關系；強化解題的規范性,公式、性質、定理的運用要有理有據,關注邏輯的嚴謹性,作、證、求缺一不可,力求計算的準確性,避免出現會而不對,對而不全等現象.