淺談高中數學課程中數列教學設計思路及實施方法

◇ 甘肅 郝大偉

數列是高考考查的重要內容.數列起源于生產與生活,人們在生活中能發現許多有規律的現象,這些現象大多數與數字有關.例如人們去銀行存款的利率,它隨著存款方式、存款年限的不同而發生變化.要發現這些規律,就需要用到數列的相關知識.

1 數列的定義(概念)

古希臘的一些數學家們經常研究一些數學問題,例如,他們研究1,3,6,10,…,發現這些數的排列都是有規律的,1可以看成是1顆石子；3可以分2層,第一層1顆石子,第二層2顆石子,一共3顆石子；6可以分3層,第一層1顆石子,第二層2顆石子,第三層3顆石子,一共6顆石子；10可以分4層,第一層1顆石子,第二層2顆石子,第三層3顆石子,第四層4顆石子,一共10顆石子等.這些石子可以擺成三角形點陣,按照這個規律排列下去,會得到一列數,數學家們就將其稱為三角形數.同理1,4,9,16,25,36,…,被稱為正方形數,因為這些數量的石子可以擺成正方形點陣.

數列的定義就是一列按照一定順序排列的數,這一列數中的每一個數稱為這個數列的項.例如,在數列中,排在第4位的數稱為這個數列的第4項,…,排在第n 位的數稱為這個數列的第n 項.一般地,數列可以寫成下面的形式：a1,a2,a3,…,an,…,項與項之間用逗號隔開.一般地,a1,a2,a3,…,an,…,這樣的數列可以記為{an}.

2 數列的分類

由于不同數列是按不同規律排布的,所以數列也各不相同.有些數列可以找到某些規律,按照數列的排列規律可以把數列分成幾類,分析某一類數列相同的特征有助于我們更好地認識這一類數列.

按照數列中項數的個數是否有限,可以把數列分成有窮數列和無窮數列；按照數列的每一項的大小關系可以把數列分成遞增數列、遞減數列、常數列以及擺動數列.顧名思義,一列數越來越大,例如1,2,3,4,5,6,7,8,這樣的數列是遞增數列；一列數越來越小,例如100,99,98,97,96,95,94,93,這樣的數列是遞減數列；一列相等的數,例如25,25,25,25,25,這樣的數列是常數列；一列數有的大,有的小,可能前一個大,后一個小,到第三個又大了,例如32,－25,64,－98,25,－32,這樣的數列是擺動數列.

高中數學課程中主要研究兩種特殊的數列,即等差數列和等比數列.

3 數列的通項公式

我們知道了數列的前幾項,能不能推出它的后面幾項呢? 這就需要知道這個數列的通項公式.數列與函數有著一定的聯系,例如一個函數的解析式為y＝7x＋9,當x＝1,2,3,4,…時,此時函數值為16,23,30,37,…,通項公式可以看成是數列的函數解析式,利用通項公式我們可以研究數列的性質.

4 數列的教學設計思路

在高中數學課程的數列教學中,可以先用現實生活中的例子引出對數列整體的認識,例如：人民幣按面額可以構成數列：100,50,20,10,5,1,0.5(單位：元).

2019年某高中高一(1)班至高一(20)班入學人數也可以構成數列：62,61,58,59,60,62,66,59,58,60,61,53,57,60,61,62,59,57,62,56.

以現實生活中的例子引導學生直觀理解數列這一概念,當學生對數列已經有所認識之后,再引導學生對項和項數進行理解.數列分類的依據不同,一種是依據數列的項數的個數,一種是依據數列的項的大小.

教學數列的通項公式時,剛開始只要求根據一個數列的前幾項找規律,再寫出這個數列的通項公式,讓學生先對數列的通項公式有整體的認識和了解.等到研究等差數列、等比數列的時候再細細研究通項公式.另外還可以通過舉例子的方法,給學生講解求數列通項公式的方法——遞推公式法.

如果已知數列的第1項(或前幾項),且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)(n≥2)間的關系可以用一個公式表示,這個公式就是這個數列的遞推公式.

特別要注意的是并不是所有的數列都有遞推公式.當學生認識和了解這些基礎概念后,再著重給學生講解數列的重點內容：等差數列和等比數列.

5 等差數列的教學實施方法

等差數列和等比數列有許多相類似的地方,本文主要闡述等差數列的教學實施方法.

研究數列項與項之間的關系、運算和性質可以先從一些特殊數列入手,數學研究常用的方法就是從特殊入手研究數學對象的性質,再逐步擴展到一般.于是在數列教學中,可以用現實生活中遇到的特殊的數列入手來研究.

案例1一個水庫的水位為18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5.5m,那么從開始放水算起,水庫每天的水位能組成數列：18,15.5,13,10.5,8,5.5.

案例22000年,在奧運會上,女子舉重被正式列為比賽項目,其中較輕的4個級別體重組成數列：48,53,58,63(單位：kg).

案例3我國的儲蓄制度規定銀行以單利的方式支付存款利息,按照單利計算本利和的公式是本利和＝本金×(1＋利率×存期).

例如,按活期存入一萬,年利率是0.72%,那么按照單利,5年內各年末的本利和如表1.

表1

各年末的本利和組成了數列：10072,10144,10216,10288,10360.

讓學生觀察上面的4個數列,找一找它們共同的特點.這個時候給學生時間,讓學生展示自己觀察的成果,互相交流自己所觀察到的特點.這些數列都有一個共同的特點：從第2項開始,每一項與前一項的差都等于同一個常數.從而引出所要講授的等差數列的概念,這個常數就是這個等差數列的公差,公差常用字母d來表示,而上面的3個數列都是等差數列,公差分別是－2.5,5,72.

特別地,需要注意的還有等差中項的概念與性質,由3個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列,這時,A叫作a和b的等差中項,另外還有2A＝a＋b,這是等差中項的性質.接著就可以繼續探索等差數列的通項公式等有關知識了……

給學生講解完畢之后,接下來的環節是例題講解,習題鞏固,小結.學生記住了知識,還要讓他們學會運用,所以練習題要找好,練習題也要適合學生的實際情況,這樣才能達到學會運用的目的.