談“運算對象”理解性障礙對運算的影響
——以數列問題的求解為例

◇ 安徽 石 敏

1 問題提出

“數學運算”是數學學科核心素養之一,是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括理解數學運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.數學運算是一種思維過程,是學生通過數學學習逐步形成的關鍵能力和必備品格,能從側面反映學生的思維品質.這種品質體現在數學學習的過程中,培養學生用數學的眼光發現和提出問題、用數學的方法分析和解決問題.注意到,運算對象是體現數學運算素養的載體,其來自于具體問題的抽象,對它進行深入理解可以拓寬其應用領域,體現出數學廣泛的應用性.運算對象背景、概念形成過程、應用形式的正確理解,是提升運算能力、發展數學運算素養的基礎.

錯誤地理解運算對象或不明確運算方法,都會對數學運算有影響.表現為運算法則的偏離、運算思路的卡頓、運算方法的覆是為非、運算程序的雜亂無章、運算結果的謬誤百出等.本文以數列問題求解中的運算對象的理解性障礙為例,談其對數學運算的影響.旨在強化數學運算過程中,對運算對象理解的意識,繩愆糾違.

2 數列問題中，運算對象理解性障礙舉隅

1)忽視數列中變量n 的適用范圍,盲目使用運算法則

數學運算是一種邏輯推理,應在嚴密的運算法則下進行.每種運算的運算法則都有其適用范圍,有其實際的意義和作用,蘊含著問題解決的基本思想.運算對象應在其適用的法則下進行運算才能獲得正確的結果,對運算對象適用范圍理解的障礙,會導致在法則的選擇上張冠李戴.

A.(－∞,3) B.(－∞,3]

C.(－∞,2) D.(－∞,2]

錯解注意到二次函數f(x)＝x2－λx,開口向上,對稱軸為x＝,而n∈N*,所以{an}為遞增數列等價于函數f(x)在[1,＋∞)單調遞增,即≤1,所以λ≤2,故選D.

分析數列是特殊的函數,它與一般函數又不同,它是定義在正整數集(或其子集)上的函數,如果用函數的方法運算數列問題,需對這一特殊運算對象重新定位.沒有理解清楚運算對象需在正整數集的范疇下進行,把實數集上的運算法則直接移植過來,是導致上述求解錯誤的原因.

正解1對錯解的修訂.

錯解中λ≤2是{an}為遞增數列的充分非必要條件, 除 此 之 外, 注 意 到, 當即得2＜λ＜3 也符合條件,綜上,λ∈(－∞,3).故選A.

正解2正確理解運算對象,選擇恰當的運算法則.

注意到,an＋1－an＝(n＋1)2－λ(n＋1)－n2＋λn＝2n＋1－λ.因為{an}為遞增數列,所以an＋1－an＞0,即2n＋1－λ＞0恒成立,所以λ＜2n＋1,只需λ＜(2n＋1)min,即λ＜2×1＋1＝3,所以λ＜3.故選A.

數列作為運算對象,其單調性的判斷若采用函數的方法處理,需兼顧運算對象的特殊性,即自變量是正整數這一特點.數列的特殊性也決定了其單調性的判斷有數列自身的方法,數列{an}為遞增數列等價于an＋1－an＞0,數列{an}為遞減數列等價于an＋1－an＜0.

例2已知數列{an}的前n 項和為Sn,a1＝1,Sn＋1＝2Sn(n∈N*),則a10＝____.

錯解由Sn＋1＝2Sn,得Sn＝2Sn－1,兩式相減得an＋1＝2an,所以數列{an}是以2為公比的等比數列,所以a10＝a1×210－1＝512.

分析運算的對象是數列的前n 項和Sn、數列的遞推公式以及它們之間的關系,Sn和an的關系滿足(n∈N*),an＝Sn－Sn－1在n≥2的條件下才適用,得到的結論an＋1＝2an只能說明該數列從第2 項開始成等比數列.沒有注意an＝Sn－Sn－1的適用范圍,是導致上述求解錯誤的原因.

2)不理解數列中的相關符號,導致運算程序混亂

具體問題中,為了達到概括性、準確性、一般性的要求,描述運算對象的語言必然是抽象的、難以理解的.讀懂抽象的數學語言,揭示運算對象的內涵,數學運算才能有序展開.反之,則會在運算程序上出現缺失、顛倒、重復、混亂等不同現象.

(1)判斷數列{a2n}是否為等比數列,并說明理由,若是,寫出其通項公式；

以第(1)問為例,說明問題.

錯解1數列{a2n}不是等比數列.由an＋2＝(1＋,得a3＝7,可見,所以數列{a2n}不是等比數列.

分析沒有理解{a2n}的內涵,導致運算程序錯誤.

錯解2數列{a2n}成等比數列.由條件知3,所以{a2n}為等比數列,且其通項公式為

分析錯在用特殊代替一般.運算程序的構建從特殊開始,運算方法的探尋從直覺開始,這都是對的,但在此基礎上構建理性的運算程序才是最終的目標,用特殊和直覺代替邏輯推理,是解法致誤的根本原因.

錯解3數列{a2n}是等比數列.由

分析數列{a2n}是等比數列的證明完全正確.問題在通項公式的求解中,a2n是數列{a2n}的第n 項而非2n 項,所以其通項公式為a2n＝a2×3n－1＝3n.

把數學運算抽象為符號運算,是數學表達最具創新性、最具革命性的一步,是近代數學得以發展的基礎.數學表達中用字母符號代替數字符號,才能得到更加一般、具有普適性的結論.作為學習者而言,只有完全理解用字母所描述的運算對象的內涵,才能使數學運算的程序符合邏輯地有序展開.理解并應用好抽象的符號所描述的運算對象,問題才能正確求解.鑒于此,具體問題中,正確理解符號所描述運算對象的內涵,才能設計并執行恰當的運算程序,合理地解決問題.

3)實際問題中抽象不出具體數列,致使思維卡頓

在很多情況下,數學運算是在一定的情境中進行的,結合具體情境,抽象出運算對象是解決問題的首要任務.明確運算對象,用字母符號代替運算對象,才能得到更一般的結論.在此基礎之上,才能談及運算方法的選擇、運算程序的設計、運算結果的檢驗.否則數學運算就會成為無本之木,問題的解決亦會無的放矢.抽象不出運算對象的直接結果就是問題解決中思維的卡頓,甚至束手無策.

A.440 B.330 C.220 D.110

“算得對、算得準”并不是數學運算素養的全部,尤其是在計算機和信息技術高度發展的時代.發展學生的運算素養是一個系統的過程,至少應從以下幾個方面展開：理解運算對象,掌握運算法則,學會運算的應用,概括通性通法,感悟運算的思想方法.其中,正確理解運算對象是前提和基礎,是發展數學運算素養的載體.