極限求解的模型化思維

唐國平 崔金超 王勇

[摘 要] 高等數(shù)學(xué)是理工科大學(xué)生的必修課，極限是整個高等數(shù)學(xué)課程的根基所在，既是課程的重點也是難點，根據(jù)多年高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，針對學(xué)生在極限運算中容易出現(xiàn)的問題，提出了“形神兼顧”“多種方法聯(lián)合使用”的求極限策略，對學(xué)生理解極限和求極限起到了很好的作用。

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)極限;極限模型;模型化思維

[基金項目] 2018年度國家自然科學(xué)基金項目（11802103）;2019年度國家自然科學(xué)基金項目（11972122）;2019年度廣東醫(yī)科大學(xué)博士學(xué)? ? ? 位人員科研啟動基金項目（B2019021、B2019042）

[作者簡介] 唐國平（1978—），女，河南安陽人，理學(xué)碩士，廣東醫(yī)科大學(xué)講師，主要從事數(shù)學(xué)模型教學(xué)與競賽、序貫概率統(tǒng)計研究;崔金超（1983—），男，山東泰安人，理學(xué)博士，廣東醫(yī)科大學(xué)副教授，主要從事幾何力學(xué)研究;王 勇（1973—），男，陜西人，理學(xué)博士，廣東醫(yī)科大學(xué)副教授，主要從事力學(xué)問題中的現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標(biāo)識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）34-0282-02 ? ?[收稿日期] 2019-10-08

一、引言

極限是整個高等數(shù)學(xué)大廈的基石，無論是函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的微分或是積分，本質(zhì)上都是極限問題，而高等數(shù)學(xué)又是眾多后繼課程的基礎(chǔ)，因此，特別是理工科學(xué)生進入大學(xué)以后，學(xué)好極限是非常有必要的。高等數(shù)學(xué)中會學(xué)到兩類重要極限，在課堂及各類考試中時常出現(xiàn)兩類重要極限的變形[1]。多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生特別容易出現(xiàn)兩種情況，一是對一些簡單問題，容易只看“外表”不看“內(nèi)在”而導(dǎo)致錯誤;二是難以識別所求極限是否是重要極限的“變形”?？紤]到學(xué)生對《西游記》有著不同程度喜愛這一事實，在教學(xué)過程中，常常呼吁學(xué)生要向?qū)O悟空學(xué)習(xí)，練就孫悟空那樣的火眼金睛，無論白骨精如何變化，都逃不過孫行者的法眼，而妖魔鬼怪就是那千變?nèi)f化的極限。細心的人不難發(fā)現(xiàn)，這些變化似乎都有一個萬變不離其宗的根本，若能抓住根本以不變應(yīng)萬變，豈不快哉！那么問題來了，不變的究竟是什么？變的又是什么？該如何去做呢？這正是本文的目的所在.

二、兩類重要極限的推廣

為敘述方便，稱極限的函數(shù)表達式為“形”，稱極限過程（自變量的變化過程）為“神”，學(xué)過極限的讀者都知道，“形和神”二者之一發(fā)生變化，極限就會隨之改變。只有當(dāng)一個極限在“形和神”都與某一重要極限一致，才能斷定其屬于此類重要極限的變形，這里就包含了一個不變的根本——極限模型。只要能夠牢牢抓住極限模型的不變性，解決問題的方向確定了，第一步就成功了。注意：以下各命題中出現(xiàn)的lim都表示自變量同一變化過程中的極限。

四、多種方法聯(lián)合使用，提升求極限的效率和準(zhǔn)確率

經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)和討論，學(xué)生基本練就了“辨別重要極限的火眼金睛”，但是，怎么能夠快速高效地解決問題還是要講究一些策略，這也是在考查學(xué)生是否真正掌握了這些求極限的方法。在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)了這樣一個奇怪的現(xiàn)象：或許是因為在某種程度上用求導(dǎo)的方法求極限比較簡單，學(xué)完洛必達法則求極限的方法之后，多數(shù)同學(xué)會“瞬間忘記”了在第一章中學(xué)過的各種求極限方法，遇到不定式極限，就直接用洛必達法則，暫且不說洛必達法則無能為力的極限問題，就洛必達法則能求解的極限而言，也是錯誤百出，大致有以下幾個原因：（1）在反復(fù)多次使用洛必達法則的過程中，容易形成“慣性”，當(dāng)條件不滿足時繼續(xù)使用洛必達法則，導(dǎo)致錯誤。（2）忽略了多種求極限方法的綜合靈活運用。（3）計算過程中缺少應(yīng)有的耐心，耐不住“寂寞”。（4）忽視了求極限之前盡可能化簡和有理化的環(huán)節(jié)。

事實上，等價無窮小量代換、兩個重要極限、消去零因子、有理化和洛必達法則等方法的綜合運用，才能使計算量大大降低，同時計算的效率和正確率大大提高。

五、結(jié)語

兩類重要極限名不虛傳，變化多端，要做到形神兼顧，方可穩(wěn)坐“中軍帳”決勝千里之外。對于不定式極限問題，洛必達法則未必總是最好的方法，靈活運用多種求極限方法才是制勝法寶?？傊瑪?shù)學(xué)就是由一個個模型構(gòu)成的，在學(xué)習(xí)極限時若能充分發(fā)揮極限模型的強大功能，學(xué)習(xí)極限便能駕輕就熟。

參考文獻

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.