錯因分析見本質(zhì) 合理教學(xué)促提高

周可

[摘 要]文章從六個方面分析初中生數(shù)學(xué)解題的過程中常見的出錯原因，并基于這些原因進行相關(guān)思考，后給出改善學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的教學(xué)策略，旨在提高學(xué)生解題能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)解題;錯因分析;自我監(jiān)控;數(shù)學(xué)焦慮

[作者簡介]周 可（1985—），女，河南新蔡人，云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2019級學(xué)科數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)教育。

[中圖分類號] G622.41[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）32-0308-04[收稿日期] 2020-01-15

一、研究背景

解題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)知識學(xué)以致用的具體體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有些學(xué)生常常把自己解題出錯歸結(jié)于自己計算粗心或?qū)忣}不清;在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些教師通常會把學(xué)生解題出錯原因歸結(jié)于馬虎粗心或基礎(chǔ)不牢，并未深層次挖掘錯因的本質(zhì)。基于探求錯因本質(zhì)，筆者對初中生進行了深入訪談和觀察，以此提出幾點粗淺的想法與同行交流分享。

二、錯因分析

（一）缺乏知識積累，無法形成知識網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)解題的實質(zhì)是對有關(guān)數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗的綜合應(yīng)用，學(xué)生已具備的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗與當(dāng)前問題相關(guān)性越大，突破問題的可能性就越大。如果缺乏數(shù)學(xué)必備知識，解題就無從談起。由于數(shù)學(xué)學(xué)科知識具有系統(tǒng)性、連貫性等特點，所以已學(xué)知識一旦出現(xiàn)漏洞沒有及時填補，就會與后續(xù)知識斷層。最終知識鏈斷裂太多，知識網(wǎng)絡(luò)缺失聯(lián)結(jié)，導(dǎo)致積重難返，解題更加困難。但積累基礎(chǔ)知識只是成功解題的前提之一，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的不同也會影響問題解決。學(xué)生具備數(shù)學(xué)知識后，還需對知識進行合理重組建構(gòu)，使知識具有空間結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化，才能長久記憶并在需要時快速有效地提取知識，加速問題解決。

案例1：已知，求x3y-xy3的值。

生1錯解：審題后，直接求x3再和y相乘，再用同樣方法求xy3，導(dǎo)致計算復(fù)雜，最終該生沒有得到正確答案。

生2錯解：認(rèn)真觀察題目后，發(fā)現(xiàn)x3y-xy3可以進行因式分解，得到x3y-xy3=xy（x+y）（x-y），易得問題答案。

問題分析：生1只是看到了x3y-xy3，就開始動筆操作，以為題目只考二次根式知識，并表明自己是會因式分解的，但想不到使用。生1在解題中無法對所學(xué)知識靈活地進行結(jié)構(gòu)重組，遷移能力不夠。生2是觀察到x3y-xy3比較復(fù)雜，就先考慮有什么方法可以化簡，前后聯(lián)系已學(xué)知識，采用因式分解的方法解決問題，事半功倍。由此可見，知識是否結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化造成了不同學(xué)生在解題質(zhì)量和解題效率上的差異。

（二）缺乏通性經(jīng)驗，無法應(yīng)對變式

有些學(xué)生在解題時“一葉障目不見泰山”，無法透過現(xiàn)象看本質(zhì)，把握不住問題內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律，容易被題目表象變化所迷惑。題目稍加變式就看不出解題的通性通法，難以從條件的變化中探求解法不變的規(guī)律，導(dǎo)致思路受阻，解題困難。

案例2：已知，在△ABC中，AB=5，AC=3，D為BC邊的中點，連接AD。求AD的取值范圍。

學(xué)生錯解：畫出圖形后，考慮利用“三角形兩邊之和大于第三邊”這個性質(zhì)來解決問題，但因BC的長度未知，問題卡殼，解題進行不下去。

問題分析：在本案例中，學(xué)生只聯(lián)想到有關(guān)中線的概念性知識，缺乏解決此類題的基本思維經(jīng)驗即“倍長中線法”，輔助線作不出，解題思路受阻。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果學(xué)生能積累解題的基本經(jīng)驗即通解通法，并將這些通法內(nèi)化并正向遷移到自己的解題過程中，可以降低思維負(fù)荷，提高解題效率。

（三）缺乏認(rèn)知能力，無法有效自我監(jiān)控

解題中，通常會生成不止一條解題路徑，故需要學(xué)生能及時運用元認(rèn)知能力對自我操作進行適當(dāng)監(jiān)控和調(diào)節(jié)[1]（P321）。有些學(xué)生沒有解題中進行自我監(jiān)控的意識和習(xí)慣，思路不通時不能有條理地分析原因;解題后只關(guān)心答案是否正確，就題論題，不善于及時反思?xì)w納解題思路出現(xiàn)偏差的深層原因。因此，要實現(xiàn)有效自我監(jiān)控這一過程，需提醒學(xué)生注意以下三個環(huán)節(jié)：解題前，需仔細(xì)審題核對問題表征是否有誤;解題中，需自我監(jiān)控解題思路，及時調(diào)整解題策略;解題后，需及時反思，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)。

案例3：把根號外的因式移到根號內(nèi)：

問題分析：學(xué)生在解題時，未注意運用二次根式定義判斷x范圍，導(dǎo)致運算符號出錯。在聽完教師講解后，該生總結(jié)說在做此題時因忘記判斷x的范圍，導(dǎo)致對1-x的正負(fù)情況判斷失誤。五天之后，該生再次遇到變式問題（2），解法如下：

學(xué)生錯解：

問題分析：據(jù)該生描述，自己在第一次出錯后只是當(dāng)時明白問題癥結(jié)所在，并未及時反思整理錯題，真正梳理錯因總結(jié)方法，并未真正弄懂此題的本質(zhì)規(guī)律。在解題錯誤第一次被更正后，沒有及時去解決此類題暴露出的解題方法和相關(guān)知識點的問題，優(yōu)化解題思路，故在第二次遇到同類題依然出錯。

（四）缺乏宏觀決策，無法流暢思維

訪談中了解到一些學(xué)生數(shù)學(xué)估算能力缺乏，難以快速檢索出解題思路，缺乏解題的宏觀決策。數(shù)學(xué)解題過程，就是在目標(biāo)導(dǎo)向下選擇適當(dāng)?shù)年愂鲂灾R進而轉(zhuǎn)成具體的操作程序，并通過小程序相互交叉組合最終凝聚成解題大程序的過程。在這個過程中，既有基于數(shù)學(xué)估算的宏觀決策，又有基于數(shù)學(xué)精算的微觀演繹。宏觀決策的過程本質(zhì)是把當(dāng)前的問題狀態(tài)與已有經(jīng)驗中的問題模式進行匹配選擇的過程。如果學(xué)生無法從宏觀視野中選擇解決問題的基本方向，也就不能構(gòu)建從問題起點到問題目標(biāo)終點的確切思路，最終導(dǎo)致思維無法流暢進行。

案例4：已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a>0）與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側(cè)點B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB。

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值;

（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上。是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

學(xué)生解法：對于第（1）問學(xué)生順利找到了C點坐標(biāo)（0，-3），接著把B、C坐標(biāo)代入解析式求出了未知數(shù)a、c的值。

對于第（2）問，該生想到把四邊形的面積分成兩個三角形的面積之和去做，并很快求出了△ABC的面積，但對于△ACD的面積就無從下手，該生描述說找不到AD邊的高，思考之后并未轉(zhuǎn)換思路，最終放棄。對于第（3）問，該生粗略瀏覽題目，認(rèn)為自己不會做就主動放棄了。

問題分析：該生表示自己在解題時，對二次函數(shù)問題本身心存恐懼，對于簡單的問題還可以“按題索驥”，對于稍復(fù)雜題目不知道如何著手分析問題，更無法對問題解決方向做出宏觀決策時，仍草草動筆。思維定式僵化，沒有形成清晰的解題思維。

（五）缺乏細(xì)心審題，無法逃脫定勢思維

多數(shù)學(xué)生認(rèn)為自己解題中較大障礙就是審題不細(xì)心，題目分析不到位。導(dǎo)致審題不清的因素主要有以下兩個：一是閱讀能力弱。閱讀能力較弱的學(xué)生對于題目較長的數(shù)學(xué)問題在語意理解上出現(xiàn)困難，無法分析出題目所給數(shù)量關(guān)系，找不到突破口。有些學(xué)生在讀題時有時已知條件太多不知如何關(guān)聯(lián)，還有些學(xué)生把重要條件信息漏讀、錯讀，導(dǎo)致題意理解出現(xiàn)偏差。二是思維定式。部分學(xué)生粗略讀完題目片面認(rèn)為和以前所做習(xí)題相似，就主觀臆斷憑借記憶套用以往經(jīng)驗，草率動筆，最后可能會和問題方向背道而馳。

案例5：為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌粽子，每盒進價是40元。物價局規(guī)定每盒售價不得多于50元。根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒。

（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？

生1錯解：

（1）y=700-20x

（2）P=（45-40+x）（700-20x）。

學(xué)生描述在做題時，誤認(rèn)為是提高的價錢。據(jù)學(xué)生反映之前老師練習(xí)這種題型太多了，自認(rèn)為和之前一樣沒再仔細(xì)審題。最終，第二問連鎖出錯。

生2錯解：

（1）y=700-20（x-45）=-20x+1600

（2）P=（-20x+1600）（x-40）=-20x2+1680x-64000

=-20（x-60）2+8000。

即時，P最大為8000元。

據(jù)該生描述，老師之前講過的就是在頂點處取得最值，審題時沒注意“每盒售價不得多于50元”這個條件的限制，導(dǎo)致最值求錯。

問題分析：以上兩位學(xué)生的解答過程，充分暴露了學(xué)生審題不清，思維固化的弱勢。根據(jù)相似的問題情境，單憑主觀臆斷，沒有深入理解題目中未知數(shù)的含義，簡單地套用解題方法，導(dǎo)致問題出錯。

（六）缺乏學(xué)習(xí)信心，無法避免數(shù)學(xué)焦慮

大多數(shù)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時普遍存在數(shù)學(xué)焦慮，在解題過程中遇到難題就會出現(xiàn)不安、緊張、畏懼等焦慮狀態(tài)，導(dǎo)致缺乏解題信心，認(rèn)為自己在數(shù)學(xué)方面不擅長，不可能解決出來難題，缺乏嘗試的勇氣，主動放棄解題機會[2]（P143）。另有一些學(xué)生因過分關(guān)注解題結(jié)果導(dǎo)致心理壓力比較大，在解決問題的過程中，突然出現(xiàn)思維真空，解題思路受阻，平時學(xué)得比較好的知識卻怎么也想不起來，更有甚者把草稿紙上的答案都抄錯。數(shù)學(xué)焦慮過多就會產(chǎn)生相應(yīng)的負(fù)效應(yīng)，在解題時會引發(fā)干擾性思維占用過多的認(rèn)知資源，加重認(rèn)知負(fù)荷，限制解題能力的正常發(fā)揮，影響解題策略的正確規(guī)劃。

三、思考與建議

學(xué)生解題能力的提高遵循由低到高螺旋上升的規(guī)律，它需要教師在深層剖析學(xué)生錯因的基礎(chǔ)上，不斷地反思教學(xué)方法、合理安排教學(xué)的過程中才能得以升華。針對以上六個方面的常見錯因，筆者提出以下幾點粗淺的建議和促進學(xué)生解題能力的措施。

（一）厚度教學(xué)，引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是建立在深刻理解知識的基礎(chǔ)之上，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)是和教師的厚度教學(xué)是相互依存的。只有教師教學(xué)達(dá)到一定厚度，學(xué)生學(xué)習(xí)才能達(dá)到一定深度。教師可以通過深度理解教材、合理拓展開發(fā)教材，從學(xué)生已有知識經(jīng)驗出發(fā)合理創(chuàng)設(shè)問題情境、設(shè)計數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生主動探究的積極性。學(xué)生參與課堂的程度越深，對知識的理解就越深刻。通過引導(dǎo)學(xué)生整體參與學(xué)習(xí)，體驗知識的生成、發(fā)展、應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生思維由感性上升到理性、由特殊上升到一般，由直觀表象上升到抽象概括，促進學(xué)生形成高水平認(rèn)知，最終達(dá)到深度理解目的。只有在深度理解知識的基礎(chǔ)上，才能靈活遷移知識、運用知識解決問題。例如，在學(xué)習(xí)“相遇和追及問題”時，教師可以發(fā)動學(xué)生在課堂上實時演繹相遇過程和追及過程，學(xué)生通過“觀察討論，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)”找到等量關(guān)系、列出方程、解決問題。通過自身觀察、感受、歸納得到的公式更易理解和運用，更易在解題中形成數(shù)學(xué)直覺，更能快速聯(lián)想并提取有效知識解決問題。

（二）關(guān)注閱讀，優(yōu)化題目表征

正如波利亞所說：“對你所不理解的問題做出答復(fù)是愚蠢的。”事實上，閱讀能力的強弱直接影響問題解決。閱讀和審題是獲得題目關(guān)鍵信息的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，只有通過語義理解學(xué)生才能正確表征問題，明確解題目標(biāo)[3]（P136）。依據(jù)波利亞的“怎樣解題表”的理論[4]（P4），教師可以引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時應(yīng)該從題目的敘述開始，盡可能清晰、生動地使整個題目形象化。學(xué)生必須去理解該題目的語言陳述，從而理解題目、熟悉題目，并將目標(biāo)印入腦海激發(fā)和題目相關(guān)記憶，為解題做好鋪墊。例如，教師可以讓學(xué)生嘗試逐句分析題目已知條件及其背后的隱性信息，幫助學(xué)生整體正確表征題目，優(yōu)化課堂教學(xué)。

（三）強化通性，注意變式鞏固

教師可以通過對例題和習(xí)題進行歸納總結(jié)，分類整理出解決同一類問題的最合理、最基本、最常見的操作方法，即通性通法[5]。同時，注意適度地引導(dǎo)并訓(xùn)練學(xué)生理解運用這些數(shù)學(xué)方法，并在此基礎(chǔ)上運用變式教學(xué)能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)方法、概念、原理的理解。可以從以下兩個方向進行變式：①概念變式，促進深度理解。圍繞概念的內(nèi)涵和外延，多維度設(shè)計系列變式，引導(dǎo)學(xué)生全方位理解概念本質(zhì);②過程變式，促進通法掌握。提供有變化性條件解題練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情境做出判斷和規(guī)劃的能力[6-7]。同時，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)。但在教學(xué)中，我們還應(yīng)注意避免不顧概念或原理的形成過程而進行的“題型+技巧”，避免讓學(xué)生死記硬背模型或方法，避免把解題活動當(dāng)成“刺激—反應(yīng)”的條件反射過程，避免過度強調(diào)模型使學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)概念或原理產(chǎn)生“功能固著”和“思維定勢”等情況出現(xiàn)。

（四）優(yōu)化策略，注重自我監(jiān)控

有些學(xué)生遇到難題時就跳過或不管正確與否把能寫的都寫出來，解題缺乏策略，針對這種情況教師可以訓(xùn)練學(xué)生對從以下過程進行調(diào)節(jié)。首先，在解題前要辨清題目類型。例如，分析題目是屬于“代數(shù)”“函數(shù)”還是“幾何圖形”或是“圖形變換”;然后，根據(jù)題型提取相關(guān)知識;接著，在制定和執(zhí)行解題計劃中，要明確解題目標(biāo)，并不斷監(jiān)控解題過程是否達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，并做出相應(yīng)調(diào)節(jié);最后，反思解答過程、總結(jié)經(jīng)驗，并對問題進行歸納整理，以提高解題能力。此外，教師還應(yīng)該提供有效的課堂反饋，在提供各種不同類型問題的練習(xí)后，對學(xué)生的操練結(jié)果給予積極評價，并給出標(biāo)準(zhǔn)解題示范，有助于學(xué)生及時調(diào)整自己的策略。

（五）表達(dá)數(shù)學(xué)，內(nèi)化知識框架

讓學(xué)生體驗由“做數(shù)學(xué)”到“說數(shù)學(xué)”，在表達(dá)數(shù)學(xué)的過程中提升思維水平，減少思維盲目性[8]。學(xué)生在組織思路并將其可視化的過程中，就會不斷思考問題、發(fā)散思路、優(yōu)化解題方法。美國國家訓(xùn)練實驗研究證實，不同的學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效率完全不同。其中，學(xué)生學(xué)習(xí)后主動轉(zhuǎn)教別人，學(xué)習(xí)吸收率高達(dá)90%。基于此，教師可以創(chuàng)設(shè)和諧民主的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生愿意分享、交流、大聲表達(dá)自己的觀點。數(shù)學(xué)課堂由大量動筆練習(xí)，轉(zhuǎn)向“動筆+動口”，多種練習(xí)模式協(xié)同促進學(xué)生建構(gòu)知識框架，提高學(xué)生解決問題的速度。例如，鼓勵學(xué)生表達(dá)自己解題的思路過程、鼓勵學(xué)生互相討論等，在課堂交流中內(nèi)化知識、理解知識。

（六）設(shè)計活動，增強數(shù)學(xué)自信

新課標(biāo)中提出“四基”，即“基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”[9]（P9），而“基本活動經(jīng)驗”在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中比較缺乏。在訪談中，有些學(xué)生因缺乏生活經(jīng)驗，導(dǎo)致不理解題意。例如，在遇到二次函數(shù)關(guān)于擲鐵餅問題時，有些學(xué)生沒有自身體驗甚至鐵餅運動是什么都不知道，就談不上問題解決了[10-11]。筆者認(rèn)為教師可以合理設(shè)計多種形式的數(shù)學(xué)實踐活動，幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)。多元化評價學(xué)生實踐過程，多角度觀察學(xué)生活動表現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的自我效能感，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

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