高等數學慕課翻轉課堂教學中的經典案例設計與研究

譚艷祥 胡海軍 諶躍中

[摘 要]慕課教學在現代大學教學中應用越來越廣泛，尤其是今年受疫情的影響，網絡教學發揮了極其重要的作用。結合高等數學慕課教學的特征，在翻轉課堂教學中如何設計案例，既達到教學目的的要求，又能符合翻轉課堂教學課時少、綜合性強的特點，顯得非常重要。該文就如何在三角函數定積分的計算中設計經典的例題、如何通過一個例題達到教學要求展開了研究。

[關鍵詞]慕課;翻轉課堂;高等數學;案例設計

[基金項目]2016年度湖南省教育廳教研教改項目“基于慕課的翻轉課堂教學模式實踐研究—以‘高等數學課程為例”（JG1621）;2019年度長沙理工大學專業認證示范課程建設項目“高等數學金課建設”（60）

[作者簡介]譚艷祥（1980—），男，湖南茶陵人，博士，長沙理工大學數學與統計學院講師，主要從事微分方程及其應用研究。

[中圖分類號] G642[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）33-0276-02[收稿日期] 2020-04-08

一、高等數學慕課翻轉課堂教學中經典案例設計的必要性

（一）課程特征

高等數學課程是大學理工科學生的一門必修課程，而該門課程是理工科專業學生學習后續專業課程的一門基礎課程，如果高等數學沒有學好，對后續專業課程的學習影響很大。由于高等數學教學課時長、內容多，大部分同學對高等數學的學習存在畏難和恐懼的心理，因此在高等數學教學過程中有必要設計經典的案例。

（二）慕課教學特征

慕課教學與傳統的課堂教學一個很大的區別在于，學生利用網絡資源已經對教學內容中基本概念、基本方法、基本理論有了一定的掌握，一些基礎的計算問題學生能夠通過慕課學習而掌握，因此需要教師設計一些經典的案例來進行教學[1，2]。

（三）翻轉課堂特征

在學生通過慕課學習以后，教師在組織翻轉課堂教學時需要對教學內容進行濃縮串講以及對學生存在問題進行高度的總結和分析。然而，翻轉課堂教學的課時數已經大大減少，所以如果能通過一道經典的例題把學生學習的內容和存在的問題分析清楚，那是最好不過的事情了[3]。

下面我們就翻轉課堂教學中關于“被積函數為三角函數時定積分計算”這一知識點如何通過一個例題來組織教學進行教學設計。

二、高等數學慕課翻轉課堂教學中的經典案例設計與研究

1.例題的選取。本文將通過以下例題來組織“被積函數為三角函數時定積分計算”慕課翻轉課堂教學。

經典例題：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .（n為自然數）

2.方法一：取特殊值法1。

解：不妨取n=0，原式

【方法小結】（1）此法能快速地得到問題的一個答案。（2）此法能順帶復習定積分的性質：被積函數為1時，定積分等于區間長度。（3）此法的弊端是這僅僅是一個特殊的情況，引導學生思考：n取別的自然數時答案會不會改變？答案是否與n有關？

3.方法二：取特殊值法2。

解：不妨取n=2，

或者（華里士公式）

【方法小結】（1）此法也能比較快速地得到問題的一個答案;（2）此法能順帶復習三角函數定積分的降冪法（半角公式）以及華里士公式;（3）此法的弊端是這也僅僅是一個特殊的情況，但是結果和前面方法一樣，引導學生思考：此題結果是否真的與n無關？

4.方法三：特殊值法3。

解：不妨取n=1，

【方法小結】（1）此法也能得到問題一個答案。（2）此法能順帶復習的知識點有：正弦函數與余弦函數導數之間的關系;待定系數法進行裂項;一些基本的積分公式鞏固。（3）此方法一個最大的作用是能啟迪學生進一步探索一般情況：，可作為學生課后思考的問題，提高課程學習的高階性和學生探索知識的能力。（4）同樣，此法也僅僅是一個特殊的情況，但是結果前面方法一樣，進一步引導學生思考：此題結果是否真的與n無關？一般情況下應該如何處理？

5.方法四：常規方法。

解：換元法，設，

所以：

故：

【方法小結】（1）通過常規方法得到了該題的解答。（2）此法能順帶復習的知識點有：定積分換元法的基本步驟;定積分只與被積函數和積分區間有關，觀察兩者的特點，是我們解決定積分的突破口;定積分計算的線性性質;定積分與被積函數用哪個字母表示沒關系，等等。（3）此方法的應用與推廣：對于，我們可以令做換元，

從而：

此種換元法的最大優點是：換元前后能確保積分上下限保持不變，從而可以利用積分的線性性質求其和的一半來計算，當被積函數滿足一定的性質時，往往會有不一樣的效果。比如，當積分區間關于原點對稱、被積函數具有奇偶性的時候就是學生慕課學習時候的特殊情況。另外，還可以通過該問題的幾何解釋，來提高學生的學習興趣，極大地滿足了不同學生的需求。（4）問題探索：能否考慮“萬能公式”換元法來解決該問題？可作為學生進行慕課學習的下一個任務，在下一次翻轉課堂教學中進行講解，起到了承上啟下的作用。

三、融入課程思政元素

通過對該問題的分析和講解，我們可以給學生傳達這樣的思想：做科學研究沒有一步到位的成果，引導學生在學習和科研當中要腳踏實地、由易到難、由特殊到一般，充分發揮艱苦奮斗的精神，永攀高峰，不要畏難，堅持到最后一定會取得滿意的結果。

四、結束語

本文就高等數學慕課翻轉課堂教學中的“被積函數為三角函數時定積分計算”展開了設計和研究，通過合理選擇經典的例題，不僅能在翻轉課堂上串講、鞏固、歸納基本知識點，也能激發學生學習的興趣，在作者的教學實踐過程中取得了不錯的教學效果。

參考文獻

[1]陳靈波.微課和翻轉課堂在高等數學教學中的應用[J].黑龍江科學，2020，11（3）：25-27.

[2]劉彩云.基于微課的翻轉課堂在高等數學教學中的研究[J].銅陵職業技術學院學報，2018，17（4）：93-96.

[3]馮倩倩.基于微課的高等數學翻轉課堂教學模式的研究與實踐[J].科技視界，2018，（1）：66-67.

The Design and Research of Classic Cases in Flipped Classroom Teaching

of MOOC in Higher Mathematics

TAN Yan-xiang， HU Hai-jun， CHEN Yue-zhong

（School of Mathematics and Statistics， Changsha University of Science & Technology，

Changsha， Hunan 410114， China）

Abstract： MOOC is becoming more and more widely used in modern university teaching. Because of the impact of the epidemic this year， online teaching has played a very important role. Teaching design not only needs to meet the requirements of teaching goals， but also needs to meet the characteristics of flipped classroom teaching with less hours and strong comprehensiveness. In flipped classroom teaching， it is very important to design cases based on the characteristics of Advanced Mathematics MOOC teaching. This article has launched a research on how to design classic examples in the calculation of definite integrals of trigonometric functions， and how to achieve teaching requirements through an example.

Key words： MOOC; flipped classroom; Advanced Mathematics; case design