HPM視野下高中立體幾何教學研究

俞文銳

摘要：立體幾何教學在培養學生幾何知識與空間想象力等方面有著關鍵性的作用。文章在分析HPM視野下，高中立體幾何教學的價值的基礎上，以《空間中直線與直線的位置關系》為例，探索HPM視野下高中數學立體幾何教學策略。

關鍵詞：HPM視野 高中數學 立體幾何

立體幾何擁有悠久的歷史，不僅能夠培養學生的空間想象能力，發展學生的空間觀念，而且立體幾何也是平面幾何的延伸，是空間解析幾何的基礎，在教學中起著承上啟下的作用。然而，隨著向量的引入，立體幾何在培養學生空間想象和鍛煉學生綜合思維能力方面有所減弱。而且，在課堂教學中很少融入文化元素，致使學生在利用傳統幾何中的邏輯推理解答立體幾何題目時，往往死記硬背、機械操作，而數學史（HPM）能夠有效激發學生學習的興趣，澄清數學知識的本質，有助于在科學和人文之間建立橋梁。因此，在HPM視角下探究高中立體幾何教學具有重要的意義。

一、HPM視野下高中立體幾何教學的價值

1.激發學生探索興趣，改善課堂氣氛

“興趣是最好的老師。”不同于傳統教授式的學習方式，數學史更加注重學生的探究過程，能夠促使學生感受到主動探索知識的樂趣，積累基本活動經驗，從而讓課堂氣氛變得更加活躍。以《空間中直線與直線的位置關系》為例，數學史的融入能夠激發學生關于公理與定理之間關系的討論，促使學生思考直線在空間中的形象，從而引導學生探索空間中直線與直線的位置關系。

2.探尋發生過程，促進知識理解

陶行知先生說：“先生所教授的知識，不是僵化的、死的知識，應要引導學生不僅要知其然，還要知其所以然。”在立體幾何教學中融入數學史，能夠讓學生明白，數學思想和方法不是直接得到的，而是由無數數學家不斷演化、探索獲得的，從而促使學生探尋知識本源，探尋知識發生過程。以《空間中直線與直線的位置關系》為例，數學史的融入能夠讓學生明白一個公理需要相當數量的數學家經過演算和推理才能建立，也就是“平行于同一條直線的兩條直線平行”這條公理是有根可循的，完全是可以證明的。

3.品味數學文化，培養正面情感

數學史的融入能夠讓學生體會數學知識與生活之間緊密的聯系，認識不同數學文化形成的多元文化。同時，激勵學生學習眾多數學家的探索精神，拓寬學生的思維，有效培養學生的正面數學情感。以《空間中直線與直線的位置關系》為例，數學史的融入可以讓學生體會到轉化、化歸、反證法等數學文化，認識到歐幾里得等數學家的數學精神和信念。

4.經歷數學抽象，加強空間想象

數學史的融入能夠讓學生經歷公理化、形式化等抽象定義的過程，能夠有效鍛煉學生數學抽象等能力。以《空間中直線與直線的位置關系》為例，教師可以引導學生通過增添輔助線、勾勒草圖等方式對定理進行推導證明，從而有效鍛煉學生的空間想象和空間推理等能力，發展學生的空間觀念。

二、HPM視野下高中立體幾何教學實踐

HPM視野下高中數學立體幾何教學理應是理論聯系實際的，而異面直線處于立體幾何的入門階段，在實踐方面，需要多觀察實物模型；在理論方面，需要與平面幾何知識做對比和類比。因此，為了研究的深入，筆者以《空間中直線與直線的位置關系》為例，探索HPM視野下高中立體幾何教學策略。

1.復習舊知，引出課題

為了更好地研究空間中直線與直線的位置關系，教師應通過考一考、問一問的方式組織學生回顧已學知識。例如，平面的兩個特性、三條公理以及公理的推論，促使學生理解公理與定理之間的區別，理解平面沒有厚度、無限延伸的兩個特性，以及如何確定一個平面以及兩個平面如何相交。在此基礎上，從而引出線線之間的關系，進而引出課題。

2.直觀感知，建構概念

為了初步建構概念，教師應以日常生活中常見的物體為例初步感知。如圖1所示的正方體是我們日常教學中常見的圖形，要求學生在回顧平面中線線之間平行和相交兩種關系的基礎上，引出平面AA1DD1中直線DD1與平面BB1CC1中直線BC既不相交也不平行的新型位置關系，即異面直線，并要求學生對照上述異面直線的特性，列舉日常生活中常見的異面直線情形。例如，天安門廣場上，旗桿所在的直線與長安街所在的直線；教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線等。

同時，要求學生通過畫一畫的方式，思考如何在數學中表述出異面直線，并在學生探究的基礎上，通過演示的方式呈現出了以下兩種異面直線規范畫法，如圖2、圖3所示。

隨后，引導學生總結得出異面直線的定義，特別是對于一些不嚴謹的說法，教師應鼓勵其他學生通過反例的形式加以討論和證明。例如，有學生總結出異面直線就是不在同一個平面上的兩條直線，此時，教師應及時引導學生通過反例的形式加以驗證，從而得出如下異面直線的定義，即不在任意一個平面中的兩條直線就是異面直線。

3.探究概念，引出定理

對于初次接觸異面直線的學生來說，上述定義較為抽象。教師可以組織學生利用教具擺出不同位置的兩條異面直線，然后要求觀察所呈現異面直線之間的區別。與此同時，引導學生回顧在平面角教學中是如何表示兩種不同的傾斜狀態，并以日常生活中建造立交橋為例，思考不同角度下的立交橋，從而引出異面直線所成角的概念。

隨后，引導學生思考異面直線所成角的概念與平面中夾角概念之間的區別和聯系，并在此基礎上得知異面直線所成角的概念實質上就是平面中夾角概念的推廣。并思考異面直線所成角概念中由于點o是任意選取的，那么是否對于所成角的角度有影響，從而引出等角定理，并通過如圖4所示的圖形讓學生探索證明方法，從而展現出歷史上歐幾里得的證明。

4.設置疑問，歷史重現

在上述等角定理證明過程中，如果兩條直線和同一條直線平行，那這兩條直線就平行。這樣的結論在平面幾何中是正確的，那么在空間幾何中是否還能成立？因此，教師應以此為疑問，要求學生以所學知識為根基，思考是否可以將上述結論推廣到空間幾何中，并思考如何嘗試證明。顯然，對于這樣的疑問，學生利用現有知識是無法正確解答的。因此，教師可以通過視頻的形式重現歷史上空間平行線的傳遞性質探究過程，即呈現歐幾里得與幾何原本，重點突出歐幾里得的幾何無“王者之道”。然后講述Playfair、Legendre、Thompson等數學家對于空間平行線傳遞性質的證明，最后講解歷史上出現過的兩個錯誤證明，鼓勵學生要在學習過程中養成探索和質疑的意識。

5.鞏固練習，總結提升

以本節課程的收獲和疑惑為主題，要求學生總結出本節課程的知識點，指出空間中直線與直線的位置關系經歷了漫長的發展歷程，要求學生深刻體會這些歷史上做出貢獻的數學家的數學精神，并要求學生獨立完成如下練習題目：

如圖5所示，已知空間四邊形ABCD，AE=EC，BF=FD，若AB⊥EF，AB=2，CD=4，試求EF與CD之間的夾角。

三、HPM視野下高中立體幾何教學反思

在具體實踐教學中，HPM視野下的空間中直線與直線的位置關系課堂教學還需要注重以下幾個問題：

一是在角的概念推廣過程中，有極少部分學生對于兩條異面直線所形成的夾角概念存在一定的疑惑，兩者是否存在歷史相似性還有待考證。若兩者確實存在歷史相似性，則在設計異面直線概念時應體現更多元素。

二是在數學史素材融入教學材料分析時，可采用附加、點綴、復制、順應、重構等方式融入，可以從趣味、科學、可學、有效和新穎等方面對史料進行挑選，從而有效增加文化和人文元素。

三是在重現空間平行線的傳遞性質等視頻時，教師應鼓勵學生充分挖掘歷史上數學家在探究過程中所涌現的精神，而不是只停留在感興趣的層面上，只注重他們做出的具體貢獻等。

四是由于缺乏具體的實驗，學生的注意力難以長時間集中。因此，教師應在引導學生總結得出定義和定理時，通過適當的提問引起學生的注意力。同時，在課堂教學過程中，要在聽、說、讀、寫、畫等方面不斷轉換。

總之，HPM視野下高中立體幾何教學能夠激發學生學習的興趣，培養學生邏輯思維和空間想象能力。在具體教學實踐中，教師應充分借鑒歷史、呈現歷史、開發對數學及其社會背景的深刻意識，并通過附加、復制、順應、重構等方式，體現數學史的文化之魅、方法之美、探究之樂、能為之助、德育之效、知識之諧等價值。在理解立體幾何基本內容知識點之外，解決很多歷史上的“為什么”問題，從而有效提高高中立體幾何教學質量和水平。

參考文獻

[1]曾澤群，賴寶禧.HPM視角下的“勾股定理”教學設計[J].數學教學，2019（9）.

[2]汪曉勤，王苗，鄒佳晨.HPM視角下的數學教學設計：以橢圓為例[J].數學教育學報，2011（10）.